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4.1 数列——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．记数列前n项和为，且数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2．现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数.
其中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3．设是公差为d的无穷等差数列，则“”是“，”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在数列，，，2，，…中，第9个数是( )
A. B.3 C. D.10
5．已知数列的通项公式，则( )
A. B.0 C.1 D.2
6．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的( ).
A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项
7．已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是( )
A.4 B.12 C.24 D.32
8．数列3，5，9，17，33，…的通项公式( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若数列对任意满足，若，则可能是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
三、填空题
10．将正整数N分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，即为6的最优分解，当，是N的最优分解时，定义，则数列的前100项和为___________.
11．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有______个点.
12．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______.
13．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入了“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，（，），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则______.
四、解答题
14．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.
（1），，，；
（2），，，；
（3）3，4，3，4；
（4）6，66，666，6666.
15．已知数列的前n项和是，且，求的通项公式.
16．已知数列的前n项和为，.求数列的通项公式.
17．已知数列的前n项和.求数列的通项公式.
参考答案
1．答案：D
解析：由题设，，，，，…
所以是下标周期为4的数列，且，
则.
故选：D.
2．答案：B
解析：对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为0.1、0.01、0.001、0.0001、…得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，，，等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看作是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B.
3．答案：A
解析：，则等差数列为递增数列，故当k足够大时，总有，
但若，，公差或，比如，满足，
但公差为，
综上：“”是“，”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为，故可得，，则.
故选：D.
6．答案：D
解析：因，，，，因此符合题意的一个通项公式为，
由解得：，
所以是这个数列的第15项.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意，，.
故选：B.
8．答案：B
解析：由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由得，或，
由，若，，，则，
由，若，，，，
由，若，，，
由可知要么为3，要么为2，可以为5，6或者4，可以为7，10，8，12，6，故不可能为9，
故选：ABD.
10．答案：
解析：当时，由于，此时，
当时，由于，此时，
所以的前100项和为.
故答案为：.
11．答案：91
解析：图（1）只有1个点，无分支；
图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；
图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；
图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点……
猜想第n个图除中间1个点外，有个分支，每个分支有个点，
故第n个图点的个数为，
故第10个图点的个数为.
故答案为：91.
12．答案：
解析：因为，所以，即.
当时，，
当时，，
显然不满足上式.
所以.
故答案为：.
13．答案：1348
解析：因为数列是“兔子数列”被2整除后的余数构成的一个新数列，所以可得
，，，，，，，，，…，
从而可得数列是以3为周期的数列，所以数列的前2022项的和为：
.
故答案为：1348.
14．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）4个项都是分数，它们的分子依次为2，，，，分母是正奇数，依次为，，，，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为1，2，3，4，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，，，，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
15．答案：
解析：当时，；
当时，，显然满足上式，
；
16．答案：
解析：由得：，
相减得，
当时，也满足上式，
.
所以数列的通项公式为.
17．答案：
解析：因为，故当时，，
两式相减得，
又当时满足上式，
从而的通项公式为.
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4.2 等差数列——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．设为等差数列的前n项和，已知，，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2．数列满足，且，，是数列的前n项和，则( )
A. B. C. D.
3．等差数列的首项，公差，的前n项和为，则( )
A.28 B.31 C.100 D.145
4．在中国古代，有一道“八子分棉”的名题：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.则第一个孩子分到的棉是( )
A.65斤 B.82斤 C.167斤 D.184斤
5．已知为等差数列的前n项和，若，，则( )
A.450 B.400 C.350 D.225
6．已知等差数列的前n项和为，若，且，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．在等差数列中，若，则数列的前7项和( )
A.15 B.20 C.30 D.35
8．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到( )
A.2022年10月底 B.2022年9月底
C.2022年8月底 D.2022年7月底
二、多项选择题
9．若等差数列的前n项和为，且，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.当且仅当时，
10．已知等差数列的前n项和为，，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.当且仅当时，取得最大值
11．已知，，，且a，ab，b成等差数列，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.ab的最大值是1 D.的最小值是
12．下列关于等差数列的命题中，正确的有( )
A.若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，若，，则___________.
14．设等差数列的前n项和为，若，，则公差d为___.
15．设等差数列的前n项和为，若，则_________.
16．已知数列的前n项和，则__________.
四、解答题
17．在等差数列中，，.
(1)求的值；
(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
18．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会因故不能举行，届数照算.2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
19．已知正项数列的前n项和为，，且.求数列的通项公式；
20．已知在数列中，，(，)，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知可得，，解可得，
，
，
故选：C.
2．答案：B
解析：数列满足，则数列是等差数列，
设等差数列的公差为d.
因为，，
所以，即.
所以，
所以，，
，
所以，.
故选：B.
3．答案：C
解析：由题意得，
故选：C.
4．答案：A
解析：记8个子女依次分棉斤、斤、斤、…、斤，
则数列为公差为17的等差数列.
因为棉的总数为996斤，所以，
解得.
故选：A.
5．答案：D
解析：由解得，
所以.
故选：D.
6．答案：B
解析：方法一：，，
，
，
，
方法二：由于是二次函数，当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选：B.
7．答案：D
解析：.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40，
假设要经过k个月，则，
解得：，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底，
故选：B.
9．答案：ABC
解析：因为在等差数列中，所以.又，所以，，所以，，故A，B，C正确；因为，故D错误.故选ABC.
10．答案：AC
解析：设等差数列的公差为d，则，解得，所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选AC.
11．答案：AB
解析：因为a，ab，b成等差数列，所以.又，，所以，故A正确；由，得，，则，则，故B正确；，则，当且仅当时取等号，所以ab的最小值是1，故C错误；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故D错误.故选AB.
12．答案：BCD
解析：对于A，取，，，可得，，，显然，，不成等差数列，故A错误；对于B，取，可得，故B正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以，所以，即，，成等差数列，故C正确；对于D，若，则，故D正确.故选BCD.
13．答案：6061
解析：设等差数列的首项为，公差为d，
则，
解得：，，
所以.
故答案为：6061.
14．答案：2
解析：由题设，解得.
故答案为：2.
15．答案：20
解析：由题意得，故.
故答案为：20.
16．答案：11
解析：因为数列的前n项和，所以；
故答案为：11.
17．答案：(1)8082
(2)2022是数列中的第506项
解析：(1)由题意，设等差数列的首项为，公差为d.
由，，即解得.
所以，数列的通项公式为.
所以.
(2)令，解得，所以，2022是数列中的第506项.
18．答案：第29届，不举行
解析：由题意可知：奥运会的年数成等差数列，且公差为4，首项为1896，故通项为，
当，故2008年是第29届奥运会，
若2050是奥运会年，则，则不是整数，所以2050年不举行奥运会.
19．答案：
解析：，数列是以公差为3的等差数列.
又，，，.
20、
（1）答案：证明见解析
解析：因为，，
所以当时，
.
又，所以数列是以为首项、1为公差的等差数列.
（2）答案：当时，取得最小值-1；当时，取得最大值3
解析：由(1)知，，
则.
设函数，易知在区间和上为减函数.
当时，取得最小值-1；
当时，取得最大值3.
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4.2.2 等差数列的通项公式——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．数列中，，，且数列是等差数列，则等于( )
A. B. C.1 D.
2．已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为( )
A. B.3 C. D.5
3．数列{}中，，则该数列中相邻两项乘积为负数的是( )
A. B. C. D.
4．已知在等差数列中，，，则( )
A.8 B.10 C.14 D.16
5．已知等差数列满足，，则的公差为( )
A. B.2 C.4 D.6
6．等差数列中，若，，则( )
A.16 B.18 C.20 D.22
7．一个等差数列共有项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是( )
A.4 B.8 C.12 D.20
8．76是等差数列4，7，10，13，…的第( )项
A.25 B.26 C.27 D.28
二、填空题
9．请写出一个首项是1，且单调递减的等差数列的通项公式_____.
10．在等差数列中，若，，则公差______.
11．在数列中，，，则___________.
12．在等差数列中，，，则公差______.
三、解答题
13．已知数列满足，首项.求数列的通项公式；
14．在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）判断96是不是数列中的项？
15．已知等差数列满足，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和.
16．已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.求等差数列的通项公式.
参考答案
1．答案：D
解析：数列中，，，且数列是等差数列，
数列的公差，，
，解得.
故选：D.
2．答案：B
解析：设公差为d，则由得，解得.
故选：B.
3．答案：C
解析：依题意，，
所以，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由得，
所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：设公差为d，
则，解得，
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：设公差为d，因为，所以，
所以，所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：，，
，解得，
.
故选：B.
7．答案：B
解析：根据等差数列的性质得：，，
解得：，故该数列的项数为.
故选：B.
8．答案：A
解析：设该等差数列为，
由题意可知，首项为4，公差为3，
则
故，
得.
故选：A.
9．答案：（答案不唯一）
解析：由题意，只要满足首项是1，公差小于0即可，可取公差为，
则可得.
故答案为：（答案不唯一）.
10．答案：2
解析：由题意，.
故答案为：2.
11．答案：6
解析：，，
数列是以为首项，2为公差的等差数列，.
故答案为：6.
12．答案：5
解析：设等差数列的公差为d.
因为，，
所以，解得：.
故答案为：5.
13．答案：，
解析：数列满足，
，，
为常数，
数列是首项为、公差为1的等差数列，
，.
14．答案：（1）
（2）不是
解析：（1）设等差数列的公差为d，则，而，于是得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，由得：不是正整数，
所以96不是数列中的项.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
，则由，得，
解得，
所以；
（2）由题可得，
所以
.
16．答案：或
解析：设等差数列的公差为d，则，.
由题意得，解得或，
所以由等差数列的通项公式可得
或.
故或.
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4.2.3 等差数列的前n项和——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．为等差数列的前n项和，如果，那么的值为( )
A.12 B.24 C.36 D.48
2．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，，则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3．2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱.据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )
A.10秒 B.13秒 C.15秒 D.19秒
4．设等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.60 B.62 C.63 D.81
5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈=十尺=一百寸）( ).
A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸
6．设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为( )
A. B. C. D.
7．已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.-110 B.-115 C.110 D.115
8．设等差数列的前n项和为，若，则( )
A. B.45 C. D.90
二、填空题
9．已知等差数列的前n项和为，若，则_________.
10．等差数列的前n项和为，若，，则______.
11．在等差数列中，，，则______.
12．已知，则______.
三、解答题
13．已知数列的前n项和为，且，.求：
（1）数列的通项公式；
（2）的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得，
解得，
故选：B.
2．答案：C
解析：由，得，
故选：C.
3．答案：D
解析：设每秒钟通过的路程构成数列，
则是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有，
解得.
故选：D.
4．答案：C
解析：设等差数列的公差为d，
由题可得，即，解得，
所以数列的通项公式，
所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意知：
从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为d，
冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，
，解得，，
芒种日影长为（寸）尺5寸.
故选：B.
6．答案：A
解析：设这个等差数列的公差为d，首项为，
则，，解得：.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意知，，，
得，解得，
所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：由等差数列的性质可得：，则.
故选：B.
9．答案：15
解析：由题知，
故答案为：15.
10．答案：7
解析：方法一：设公差为d，由，
，
又，，
，
.
方法二：由已知得，
，
又，
所以.
故答案为：7.
11．答案：130
解析：设等差数列的公差为d，则，
所以
，
故答案为：130.
12．答案：100
解析：由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，
所以，
故答案为：100.
13．答案：（1）因为，
所以，所以，
所以.
当时，.
又，所以.
（2）.
又，所以当或时，最小，最小值为-90.
解析：
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4.3 等比数列——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．在各项均为正数的等比数列中，，，则数列的公比为( )
A.1 B.2 C.4 D.
2．在等比数列中，，且，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3．已知等差数列的公差，其前n项和为，，且，，成等比数列，若，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4．在数列中，，且，则( )
A. B. C. D.
5．等比数列中，，，则( )
A.64 B.32 C.16 D.8
6．等比数列中，若，则( )
A.2 B.3 C.4 D.9
7．在正项等比数列中，，则( )
A. B.8 C. D.16
8．已知等比数列的各项均为正数，且，，若，则( )
A.4044 B.2023 C.2022 D.1011
二、多项选择题
9．已知等比数列，，，则( ).
A.数列是等比数列 B.数列是递增数列
C.数列是等差数列 D.数列是递增数列
10．若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( )
A. B.（其中且） C. D.
11．已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12．已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是( )
A.数列的通项公式为
B.若，则
C.数列为等比数列
D.
三、填空题
13．已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则______.
14．正项递增等比数列，若，，则______.
15．已知数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列，则______.
16．设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为_________
四、解答题
17．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知是公差为1的等差数列，为数列的前n项和，是正项等比数列，，，试比较与的大小，并说明理由.
18．已知正项数列的前n项和满足：.求数列的通项公式.
19．已知等差数列满足，前4项和.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式.
20．已知数列是等比数列.
（1）如果，，求公比q和；
（2）如果，，求公比q和.
参考答案
1．答案：B
解析：正项等比数列中，，，根据等比中项的性质，则，，公比.
故选：B.
2．答案：A
解析：在等比数列中，，且，
所以，，
所以，即，解得：.
当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.
故选：A.
3．答案：A
解析：由题得，则，得，
又.则，解得，，
所以，所以，
故，又，所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：，，，.是公比为的等比数列，
.
故选：B.
5．答案：C
解析：设的公比为q，则，，
故选：C.
6．答案：C
解析：等比数列中，若，所以，
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：由，得，
又，则，
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：，，
，
，
，
，
，
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由，得，，所以数列是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确；
，数列是递增的等差数列，故C，D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：因为等比数列，设其公比为q，则有，
对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；
对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；
对于C，是非零常数，是等比数列，C是；
对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.
故选：ABC.
11．答案：AB
解析：若公比有，，，
此时，故公比，
由题意，
化简有，两边同时乘以，可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
选选：AB.
12．答案：ABD
解析：对于选项A，，则，又，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故A正确；
对于选项B，，则为等比数列，所以，故B正确；
对于选项C，由，得，又，则数列不是等比数列，故C错误；
对于选项D，易得，即，故D正确.
故选：ABD.
13．答案：-1
解析：因为是等差数列，且是数列的前n项和，所以，解得，
因为是等比数列，所以，
则.
故答案为：.
14．答案：
解析：，解得，或，
因为是正项递增的等比数列，所以，即.
故答案为：.
15．答案：20
解析：设公差为d，则，即，化简得，
解得或，又，故，则.
故答案为：20.
16．答案：
解析：设公差为d，则各项为：，，，…，若去掉第一项，，解得，不合题意；若去掉第二项，，化简得，解得，等比数列不能出现0，不出现等比数列中，即，数对为；若去掉第三项，，化简得，解得，此时数列为，，，，即，数对为；若去掉第四项或以后项，，解得，不合题意；故满足题意的数对只有，.
故答案为：.
17．答案：答案见解析
解析：因为是公差为1，首项为1的等差数列，所以，
设等比数列的公比为q，则，
若选①，由，，则，
所以，，，
当时，；当时，；
若选②，由，得，则，
所以，，，所以；
若选③，由，得，得，则，则，
，则，则.
18．答案：
解析：，，
，，
两式相减得到，.
当时，可得，
又，是首项为2，公比为2的等比数列，
的通项公式为.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设等差数列首项为，公差为d.
，
，
解得：.
等差数列通项公式.
（2）设等比数列首项为，公比为q，
，
，
解得：，
即或，
等比数列通项公式或.
20．答案：（1），
（2），
解析：（1）由已知
.
即，；
（2）由已知，
即，.
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4.3.3 等比数列的前n项和——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知等比数列为递增数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为20，则( )
A. B. C. D.
2．已知数列满足，，则( )
A.57 B.31 C.32 D.33
3．已知等比数列的公比，且前4项和为40，，则( )
A.9 B.18 C.81 D.36
4．已知数列的通项公式为，若前n项和为9，则项数n为( )
A.99 B.100 C.101 D.102
5．已知等比数列的前n项和为，若，，则( )
A. B.1 C.2 D.4
6．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为( )
A. B. C. D.
7．在等比数列中，，，设是数列的前3n项和，是数列的前n项和，若，则t的值为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
二、多项选择题
8．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.是数列中的最大值 D.数列无最大值
9．在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法中正确的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
三、填空题
10．已知数列满足奇数项成等差数列，公差为d，偶数项成等比数列，公比为q，且数列的前n项和为，，，，.若，则正整数__________.
11．已知等比数列的前n项和，则______.
12．已知等比数列的前n项和为，且，，则_________.
13．已知等比数列的前n项和为，且，则______.
四、解答题
14．已知数列满足：，，数列的前n项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
15．设是等差数列，，是它的前n项和，是等比数列，其公比的绝对值小于1，是它的前n项和，如果，，，求，的通项公式.
16．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，，，，，，，，，，……求数列中前40项的和.
17．已知数列为等比数列.
（1）若，，求.
（2）若，，，求.
参考答案
1．答案：B
解析：设该等比数列的通项公式为（），
由题意知，即，
解得，，
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，
所以，，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所以，
.
故选：A.
3．答案：C
解析：，，即，.
又，.
由，解得.
则.
故选：C.
4．答案：A
解析：假设数列的前n项和为，
因为，
则数列的前n项和为，
当前n项和为9，故，解得，
故选：A.
5．答案：B
解析：当时，，即，，不成立；
当时，，即，解得.
，.
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意得，该马第天走的里程数构成公比为的等比数列，
则，解得，故该马第六天走里路.
故选：C.
7．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，则，解得，所以，数列是首项为1，公比为8的等比数列，则，则.
8．答案：AC
解析：由题意，得，，所以，等比数列是各项都为正数的递减数列，即.因为，所以，故A正确；因为，所以，即，故B错误；根据，可知是数列中的最大项，故C正确，D错误.故选AC.
9．答案：BC
解析：由题意，得，，又等比数列是递增数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；，故C正确；因为，所以数列是公差为的等差数列，故D错误.故选BC.
10．答案：2
解析：由题意知，，，
因为，，
所以得，①
由得，即，②
联立①②解得，，
所以，
当时，由得，
解得，此时;
当时，由得，
此等式左边为偶数，右边为奇数，则方程无解.
故答案为：2.
11．答案：9
解析：因为当等比数列的公比时，，
又，故可得，，，解得，，
故，，则.
故答案为：9.
12．答案：64
解析：设等比数列公比为q，首项为，由已知，可得
，解得，，
所以，.
故答案为：64.
13．答案：8
解析：等比数列的前n项和为，且，
，
，，故等比数列的公比为2.
在中，
令，可得，，则.
故答案为：8.
14．答案：（1），
（2）
解析：（1）由题知
，，
是以2为公比的等比数列，
，
的前n项和，
时，
，
当时，，
故，
综上:，.
（2）由（1）知，，
，
，①
，②
②-①可得：
故.
15．答案：，
解析：设的公比为q，，首项为，
则①，
设的公差为d，因为，则，
因为，所以②，
因为，所以③，
由①②③得：或（舍去），
故，，
所以，.
16．答案：（1），
（2）
解析：（1）由题设得：，
，则，故是首项，公差为2的等差数列，
，
当时，得：，
当，由①，②，
由①－②整理得：，，
，故，
数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项.
由，（）得：，
新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，；
.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为，，所以，得
当时，，
当时，.
（2）因为，，
得，，解得，，所以，
所以，得，所以.
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4.4 数学归纳法——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知是关于正整数n的命题.小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2．用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
3．用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是( )
A. B.
C. D.
4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：时，若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要再证( )
A.时等式成立 B.时等式成立
C.时等式成立 D.时等式成立
5．如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是( )
A.对所有的正整数n成立
B.对所有的正奇数n成立
C.对所有的正偶数n成立
D.对所有大于1的正整数成立.
6．记凸k边形的内角和为，则凸k＋1边形的内角和( )
A. B. C. D.
7．用数学归纳法证明＝ ，在验证当时，左边计算所得的式子是( )
A.1 B.1＋a C. D.
8．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为( )
A.1 B. C. D.
二、填空题
9．已知，用数学归纳法证明时，比多了______项.
10．已知，则______，______，______，______，猜想______.
11．用数学归纳法证明第一步应验证________.
12．已知，证明不等式时，比多的项数是______.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知，对都成立，
假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，
因此m的最大值可以为：3.
故选C.
2．答案：C
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
3．答案：D
解析：当时，即证明
故选：D
4．答案：B
解析：为正偶数，（且k为偶数）之后的下一个正偶数为，
还需要再证时等式成立.
故选：B.
5．答案：C
解析：由于若命题对成立，则它对也成立. 又已知命题成立，
可推出 均成立，
即对所有正偶数都成立
故选：C.
6．答案：B
解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形，故.
故选：B
7．答案：B
解析：当n＝1时，左边的最高次数为1，
即最后一项为a，左边是1＋a，
故选：B.
8．答案：B
解析：当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
9．答案：
解析：因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
10．答案：；；；；
解析：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此猜想：,
故答案为：；；；；
11．答案：n＝3时是否成立
解析：n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立.
故答案为：n＝3时是否成立
12．答案：2k
解析：观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
，
而.
因此比f(2k)多了2k项.
故答案为：2k
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