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5.1 导数的概念——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从到的平均速度为( )
A.-5 B.5 C.-6 D.6
2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3．已知函数，则在上的平均变化率为( )
A. B. C.2 D.3
4．函数在区间上的平均变化率等于( )
A. B. C. D.
5．函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化率为，则( )
A. B. C. D.不确定
6．设函数，当x由1变到10时，的平均变化率为( )
A. B. C. D.
7．物体运动的位移与时间的关系为，则物体在这段时间内的平均速度为( )
A. B. C. D.
8．若一质点按规律运动，则在一小段时间内的平均速度是( )
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
二、填空题
9．当时，函数在附近的平均变化率为______.
10．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为__________.
11．已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.
12．设函数，当x由1变到10时，的平均变化率为___________.
三、解答题
13．求经过函数图象上两点A，B的斜率：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
14．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
15．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为，求小球在时间段内的平均速度.
16．分别根据下列条件，确定的符号：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：A
解析：由题得该质点从到的平均速度为.
故选：A.
2．答案：A
解析：因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A.
3．答案：A
解析：在上的平均变化率为：
，
故选：A.
4．答案：C
解析：函数在区间上的平均变化率等于
.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题得，
.
所以，因为的正负不确定，所以与的大小关系也不确定.
故选：D.
6．答案：A
解析：当x由1变到10时，的平均变化率为.
故选：A.
7．答案：B
解析：平均速度为：.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意，平均速度.
故选：B.
9．答案：
解析：由题意，.
故答案为：.
10．答案：2
解析：根据题意，函数在区间上的平均变化率为：
，
，
解得：.
故答案为：2.
11．答案：5
解析：函数在区间上的平均变化率为.
故答案为：5.
12．答案：
解析：当x由1变到10时，的平均变化率为.
故答案为：.
13．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）由函数，当时，可得，即，
当，可得，即，
所以直线的斜率为.
（2）由函数，当时，可得，即，
当，可得，即，
所以直线的斜率为.
（3）由函数，当时，可得，即，
当，可得，即，
所以直线的斜率为.
（4）由函数，当时，可得，即
当，可得，即，
所以直线的斜率为.
14．答案：乙的经营成果好
解析：由题意，甲的平均每月的获利为万元，乙的平均每月的获利为万元，
因为，乙的平均收益高于甲的平均获利，
所以乙的经营成果较好.
15．答案：
解析：因为小球在t内所经过的距离为，
所以在时间段内的平均速度为.
16．答案：（1）负
（2）正
解析：（1），则，
在上单调递减，则，
的符号为负；
（2），则，
在上单调递减，则，
的符号为正.
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5.2 导数的运算——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知函数，则( )
A. B. C. D.
2．若在R上可导，，则( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
3．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4．函数的导数为( )
A. B. C. D.
5．函数的导函数为( )
A. B. C. D.
6．设，则( )
A. B. C. D.
7．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，则气球在时的瞬时膨胀率为( )
A. B. C. D.
8．已知下列四个命题，其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．若过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的值可能是( )
A.0 B. C.-5 D.e
11．曲线过点的切线方程是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数，则曲线在点（）处的切线方程为______.
13．曲线在点处的切线方程为_____________.
14．已知函数，是的导函数，则__________.
15．函数的导函数___________.
四、解答题
16．已知函数，其中，求.
17．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
18．已知函数的导函数为，且满足.
（1）求及的值；
（2）求在点处的切线方程.
19．设函数（a，），曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）求函数的解析式.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D.
2．答案：D
解析：由，可得，
所以，解得.
故选：D.
3．答案：C
解析：对于A，，故A不正确；
对于B，，B错误.
对于C，，C正确
对于D，，D错误.
故选：C.
4．答案：C
解析：，
故选：C.
5．答案：D
解析：.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为，所以，
故选：C.
7．答案：C
解析：因为,
所以气球在时的瞬时膨胀率为.
故选：C.
8．答案：B
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
9．答案：BC
解析：，，，
，故AD错误，BC正确.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：设切点坐标为，易得，所以当时，，所以切线方程为，将点代入可得，化简得，因为过点作曲线C的切线有且仅有两条，所以方程有两个不同的实数解，则，解得或，故实数a的取值范围是.
结合选项可知B、C、D正确.故选BCD.
11．答案：AD
解析：，设切点坐标为，曲线在处的切线斜率为，故切线方程为，由切线过点，得，
所以或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.故选AD.
12．答案：
解析：，，，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
13．答案：
解析：，则，故切斜方程为：，即，
故答案为：.
14．答案：1
解析：，则.
故答案为：1.
15．答案：
解析：.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）由题设，，故，可得，
所以.
（2）由（1）知：切点为且切线斜率为，
所以切线方程为，即.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，则，
由已知可得，解得，因此，.
所以.
（2）由（1）可知.
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5.2.3 简单复合函数的导数——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．已知，为的导函数，则的值为( )
A.0 B. C. D.
2．下列函数不是复合函数的是( )
A. B.
C. D.
3．下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
4．下列导数公式正确的是( )
A. B.
C. D.
5．下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6．已知函数，则( )
A. B.0 C. D.1
7．函数的导数为( )
A. B. C. D.
8．函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9．曲线在点处的切线方程为______.
10．函数的图像在点处的切线方程为_________.
11．已知函数，其导函数为，则_____.
12．函数.的图象在点处的切线的斜率为___________.
三、解答题
13．已知函数.求：
（1）函数的导函数；
（2）函数的图象在处的切线倾斜角的大小
参考答案
1．答案：C
解析：，，
.
故选：C.
2．答案：A
解析：A中的函数是一个多项式函数；
B中的函数可看作函数，的复合函数；
C中的函数可看作函数，的复合函数；
D中的函数可看作函数，的复合函数.
故选：A.
3．答案：C
解析：，错误，
为常数，，错误，
，正确，
，错误，
故选：C.
4．答案：D
解析：对于A，，A错误；对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：，，故A错误；
，，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B.
6．答案：B
解析：，所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为，
故.
故选：B.
8．答案：A
解析：.
故选：A.
9．答案：
解析：，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，即，
故答案为：.
10．答案：
解析：，，
则切线方程为：，整理得：，
故答案为：.
11．答案：
解析：，.
故答案为：.
12．答案：
解析：因为，所以.
故答案为：.
13．答案：（1）.
（2），设该函数的图象在处的切线的倾斜角为，则.又，所以.
解析：
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5.3 导数在研究函数中的应用——高中数学苏教版（2019）选择性必修一同步课时训练
一、选择题
1．函数在区间上( )
A.有极大值和极小值 B.有极大值，无极小值
C.有极小值，无极大值 D.没有极值
2．若函数在处取得极值，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．若是函数的极值点，则a的值是( )
A. B.0 C.1 D.e
4．函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数( )
A.无极大值点、有四个极小值点
B.有三个极大值点、一个极小值点
C.有两个极大值点、两个极小值点
D.有四个极大值点、无极小值点
5．函数的极大值为( )
A.-2 B.2 C. D.不存在
6．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是( )
A.在内是增函数 B.在内是增函数
C.在时取得极大值 D.在时取得极小值
7．已知函数，则( )
A.函数的极大值为，无极小值
B.函数的极小值为，无极大值
C.函数的极大值为0，无极小值
D.函数的极小值为0，无极大值
8．已知函数，则的极大值为( )
A.10 B. C. D.0
二、多项选择题
9．已知函数的导函数为，若，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10．下列命题中是真命题有( )
A.若，则是函数的极值点
B.函数的切线与函数可以有两个公共点
C.若函数在区间上有零点，则k的值为0或3
D.若函数的导数，且，则不等式的解集是
11．对于函数，下列选项正确的是( )
A.函数的极小值点为，极大值点为e
B.函数的单调递减区间为，单调递增区间为
C.函数的最小值为，最大值为
D.函数存在两个零点1和
12．关于函数，下列结论正确的是( )
A.函数的定义域为 B.函数在上单调递增
C.函数的最小值为e，没有最大值 D.函数的极小值点为e
三、填空题
13．函数的极小值为______.
14．若是函数的一个极值点，则______.
15．函数的极大值与极小值的和为_______.
16．若的两个极值点为，，则_______.
四、解答题
17．设函数在处取得极值-1.
（1）求a、b的值；
（2）求的单调区间.
18．设函数，求的极大值点与极小值点.
19．已知.
（1）当时，求；
（2）当，求的极值.
20．已知函数（m为实数）.
（1）m是什么数值时，y的极值是0？
（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线上，画出、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论；
（3）平行于的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.
参考答案
1．答案：C
解析：由，得，
令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以是在上的极小值点，无极大值，
故选：C.
2．答案：A
解析：因为函数在处取得极值，，
所以，解得，
检验当时，函数在处取得极大值，
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：的定义域为，
，
因为是函数的极值点，
所以，即，所以，
当时，，
令，得，令，得，
所以在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
故选：A.
4．答案：C
解析：设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，，，，
当或或时，，
当或时，，
所以函数在，和上递增，
在和上递减，
所以函数的极小值点为，，极大值点为，，
所以函数有两个极大值点、两个极小值点.
故选：C.
5．答案：A
解析：.令得或（舍）.
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值.
故选：A.
6．答案：B
解析：由图可知，在区间，上，单调递减；
在区间，上，单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B.
7．答案：A
解析：的定义域为，
，
在，，递增；在，，递减，
所以的极大值为，没有极小值.
故选：A.
8．答案：B
解析：函数的定义域为，
，
令，解得或，
故
x 1 3
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极大值为，
故选：B.
9．答案：BD
解析：，，得或，
所以函数有两个极值点，分别是和，满足条件的只有BD.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故0不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：函数在区间上有零点，故，则，明显，代入，得，不符合零点存在定理，故C错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
11．答案：AD
解析：当时，，求导得：，当时，，求导得：，
当或时，，当或时，，
因此函数在，上单调递减，在，上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，A正确；
函数的单调递减区间、增区间都是两个不连续的区间，不能用并集符号连接，B不正确；
函数的极小值为，极大值为，当时，的取值集合为，
当时，的取值集合为，则在定义域上无最大、最小值，C不正确；
由，即得：，解得，因此函数存在两个零点1和，D正确.
故选：AD.
12．答案：BD
解析：对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；
对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；
对于C，令，则，故的最小值不为e，故C错误；
对于D，令，得或，所以在和上单调递减，
令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.
故选：BD.
13．答案：
解析：由题设，
当时，递减；
当时，递增；
所以的极小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由，
得，
依题意可得，解得，
当时.，，
令，解得，
列表
x 1
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以在处取得极小值，
故答案为：.
15．答案：
解析：因为，
所以
，
令，则，所以在区间上单调递增；
令，则或，所以在区间，上单调递减；
所以极小值为，
极大值点为，
所以的极大值与极小值之和为，
故答案为：.
16．答案：0
解析：由可得，
令解得或，令解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为和1，则.
故答案为：0.
17．答案：（1），
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为
解析：（1），由题意得：，，
解得：，，
此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，
所以，.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为
18．答案：极大值点为，极小值点为
解析：.
令，得；
令，得或，
故的单调增区间为，单调减区间为及.
当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值，
故函数有极大值点为，极小值点为.
19．答案：（1）60
（2）极小值为-7，极大值为-3
解析：（1），
当时，；
（2）时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极大值，有极小值.
20．答案：（1）
（2）证明见解析，图象见解析
（3）答案见解析
解析：（1）用配方法得：，
所以y的极小值是，当时，得，
即当时，y的极小值是0.
（2）由（1）可知函数的顶点坐标为
设直线上的点为，即，
两式相减可得，故直线的为，
草图如下：
（3）设平行于的直线L：，
联立方程：，化简可得：，
配方可得：，当，即时，直线L与抛物线相交，当时直线L与抛物线相切，时，直线L与抛物线不相交
当直线L与抛物线相交时，不妨设交点的横坐标分别为，，
所以可得直线被抛物线截得线段长度为：，
由此可知线段长度与m无关，即当且时，与直线平行的直线L：被各抛物线截出的线段都相等.
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