选择必修 第二章 2.2.2 直线的两点式方程 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.2直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 1.直观想象素养和逻辑推理素养.
2.会选择适当的方程形式求直线方程． 2.逻辑推理素养和数学运算素养.
3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题． 3.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
2.直线的斜截式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
任取P1，P2中的一点，例如，取点P1(x1,y1)，由直线的点斜式方程，得，
当x1≠x2时，经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) 的直线的斜率.
由经过两点P1，P2的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题.
当y1≠y2时，上式可写为
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点P(x,y)，它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系. 这一关系是什么呢？
x
y
l
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
O
.
不利于点斜式方程，你能求出两点式方程吗？
新知探究
这就是经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式(two point form).
在P1(x1,y1)，P2(x2,y2)中，如果x1=x2或y1=y2，则直线P1P2没有两点式方程.
当x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x-x1=0，即x=x1；
注意：
当y1=y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y-y1=0，即y=y1.
.
x
y
l
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
O
①这个方程由直线上两点确定;
②对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关
知新探究
【例1】⑴已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3,5)，求直线l的方程；
⑵直线l在y轴上的截距是－3，且经过点(－2,1)，求直线l的方程．
解：
⑴由直线两点式方程得
⑵由直线两点式方程得,
即,3x－2y＋1＝0.
即2x＋y＋3＝0.
知新探究
【例2】已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)其中a≠0，b≠0，求这条直线l的方程．
解：
将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式，得
，
即
.
新知探究
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是.方程由直线在两条坐标轴上的截距与确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式(intercept form).
①截距式适用的条件是横、纵截距都存在且都不为0,即a≠0且b≠0.也就是直线不垂直两个坐标轴且不经过原点.
注意：
②求直线在坐标轴上的截距的方法：令x = 0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.
.
③截距式方程是特殊的两点式方程.
知新探究
【例3】已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC、边AC以及边BC上的中线所在的直线的方程.
解：
过B(3,－3)，C(0，2)的两点式方程为
这就是BC边所在直线的方程.
,
整理得 5x+3y-6=0.
过A(－5，0)，C(0，2)的截距式方程为
,
整理得 2x-5y+10=0,
这就是AC边所在直线的方程.
知新探究
【例3】已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC、边AC以及边BC上的中线所在的直线的方程.
解：
边BC上中线是顶点A与边BC中点M所连线段.
即M(,),
(),
由中点坐标公式，得点M的坐标为
过A(－5，0)，M()的直线的两点式方程为
,
整理得 x+13y+5=0,
这就是边BC上的中线AM所在直线的方程.
新知探究
【例4】求过点，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解：
当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为，
解得a＝－7.
将A(－3,4)代入上式，有，
故所求直线l的方程为x－y＋7＝0或4x＋3y＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
将A(－3,4)代入方程得4＝－3k，，
即k=,
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
∴直线l的方程为,即4x+3y=0.
新知探究
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式.
另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义.事实上，对于直线上的四个不同点
,由确定的直线方程与由确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？
初试身手
1.已知△ABC三个顶点坐标，，，求三角形三条边所在的直线方程.
∵，，，两点横坐标相同，直线与轴垂直，
解：
∴边AB所在直线的方程为.
∵，，由直线方程的两点式可得，
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为，
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
即x+2y-6=0.
初试身手
2.若点在过点，的直线上，则_______.
由直线方程的两点式得,
解：
即，
∴直线的方程为y+1=-x-2,
∵点在直线上，
∴，得.
-3
初试身手
3.求过点且在轴上截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.
当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为,
解：
又∵过点，
∴,解得,
∴的方程为
当直线在坐标轴上的截距均为0时，方程为,即.
综上所述，直线l的方程是或.
课堂小结
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
y-y0=k(x-x0)
直线不垂直x轴(斜率k存在)
y=kx+b
直线不垂直x轴(斜率k存在)
.
直线不垂直两个坐标轴
.
直线不垂直两个坐标轴且不经过原点
作业布置
作业：
P67 习题2.2 第1⑷⑸⑹，3，4，7,8⑵⑶题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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