2025届新高三第一次月考联合测评
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．若，则复数z的虚部（ ）
A．4 B． C． D．
3．已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
4．在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
5．已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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7．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
8．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）
A．在是单调递增
B．是偶函数
C．的最大值是
D．是的对称中心
10．已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
13．已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
14．已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.
16.（本小题15分）
古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
17.（本小题15分）
在中，把，，…，称为三项式系数.
(1)当时，写出三项式系数，，，，的值；
(2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
(3)求的值（用组合数作答）.
18.（本小题17分）
如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.（本小题17分）
已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.2025届新高三第一次月考联合测评解析版
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【详解】由且可知，可以取，则可取，
即，故集合的真子集个数为.
故选：C.
2．若，则复数z的虚部（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，
，，解得或或
所以复数z的虚部为．
故选：C.
3．已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
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【答案】A
【详解】因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A.
4．在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【详解】由题意知，以为原点，为轴建立直角坐标系，
设，，，，
则，，
因为，
则，
整理可得，，
可知动点的轨迹为抛物线.
故选：B
5．已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在等差数列中，由，得.
故选：D
6．已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆可得圆心，半径，
因为直线，恒过直线和的交点，
即，解得：，，即直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，
设圆心到直线的距离为，则弦长，
当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径，
当最大时，这时，
所以弦长的最小值为，
所以弦长的范围为，
故选：B.
7．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【详解】由得，
因为，，所以事件与相互独立，
无法判断事件与是否互斥.
故选：C.
8．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减
【答案】C
【详解】由，
可得，可设
由，即，则可取，即进行验证.
选项A： ，故选项A不正确.
选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.
选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确.
选项C：,又，故此时为其一条对称轴.
此时选项C正确,
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）
A．在是单调递增
B．是偶函数
C．的最大值是
D．是的对称中心
【答案】ABD
【详解】因为，
因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以增区间由不等式，即，，
当时，A满足条件，故正确；
是偶函数，故B正确；
的最大值是2，故C是错的；
，，故D正确
故选：ABD.
10．已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】BCD
【详解】方体外接球的体积为.设外接球的半径为，则，解得.
设正方体的棱长为，则.
对于，在平面中，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧.故点的轨迹的长度为.故错误；
对于B，利用异面直线的判定定理可以判断直线与是异面直线.故正确；
对于，在正方体中，有平面平面平面平面.故C正确；
对于，在正方体中，平面为定值.故D正确.
故选：BCD
11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【答案】AD
【详解】A.由题意可知，，，
得，故A正确；
B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
D.在椭圆中，，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
【答案】8
【详解】如图所示：
设，易求，作轴于点E，
因为 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ，
解得 或 舍去
所以线段MF的长为8.
故答案为：8
13．已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
【答案】/
【详解】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯”
则，于是，
所以所求概率为.
故答案为：
14．已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由于是焦点在轴上的抛物线，故设其焦点为，
则,所以,
故求到上一点的最小距离即可，
设，则，
记，则
由于函数在单调递增，且，
故当时，因此在单调递减，
当时，因此在单调递增，
故，
因此，故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由可得，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和;
即可得.
16.（本小题15分）
古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)；，（其中）
【详解】（1）设，则，
由材料可知，，
即，解得，
所以线段长度的最大值为；
（2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
17.（本小题15分）
在中，把，，…，称为三项式系数.
(1)当时，写出三项式系数，，，，的值；
(2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
(3)求的值（用组合数作答）.
【答案】(1)，，，，
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）因为，
所以，，，，；
（2）因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）
，
其中系数为，
又
而二项式的通项（且），
由，解得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
18.（本小题17分）
如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，
所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）过作交于点，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即,
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
19.（本小题17分）
已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】(1)椭圆 的方程为 , 离心率 .
(2)
(3)
【详解】（1）是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
（2）由题意得双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得:，即，
.
（3）由题易知，则联立，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
