四川省成都西藏中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试卷（含答案）

四川省成都西藏中学2023—2024学年度上学期
高二年级数学学科半期测试试题
年级__________班级___________姓名_________________
注意事项：
1、本试卷分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2、本堂考试120分钟，满分150分。
3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，若有机读卡请用2B铅笔填涂。
4、考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．以下一些说法，其中正确的有(　　)
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
4.已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ）
A. 19和2 B. 19和4 C. 19和8 D. 19和16
5.若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A. B. C. D. 或
6．直线和直线平行，则（ ）
A． B．2或 C．3 D．或3
7. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.75
8. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9. AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述正确的是(　　)

A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90 D．从4日到9日,空气质量越来越好
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10. 直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ）
A 3 B. 0 C. D. 1
11. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与对立 B. 与互斥 C. D. A与相互独立
12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
不存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置。
13.数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是________．
14. 已知正方体的棱长为1，P在正方体内部且满足，则点P到直线AB的距离为 .
15．已知l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0(m∈R)过定点A，则点A到直线n：x＋y＝1的距离是________．
16.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0四、解答题：本题共6小题，共70分。其中17题10分，其他题目每题12分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 已知的两顶点坐标为，，是边AB的中点，AD是BC边上的高。
（1）求BC所在直线的方程；
（2）求高AD所在直线的方程；
18.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
19.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”，按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：，，，，
，得其频率分布直方图如图所示.
（1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数约是多少；
（2）从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率.
20.在棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
21.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例
赋分区间
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；
（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；
（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.
22. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，.求二面角所成平面角的正弦值；
参考答案：
1-5：DACBD 6-8：ADB
9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.CD
13.　8.05 14. 15. 16.
17.【答案】（1）因为是边AB的中点，所以，,
所以BC所在直线的方程为：
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为，所以，
因此高AD所在直线的方程为：；
18【答案】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题” ．
由已知，，，．
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
19.【答案】（1）由直方图可知，初中生中课外阅读时间在小时内的学生人数的频率为，则学生人数为.
高中生中课外阅读时间在小时内的学生人数的频率为，则学生人数为.
估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数约是人.
（2）抽样比例为，则初中生应抽取人，高中生应抽取人，
在课外阅读时间不足小时的样本学生中，初中生有人，记为，，；高中生有人，记为，.
从这人中任取人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共个.
其中至少有个初中生的结果有：，，，，，，，共个.至少有个初中生的概率.
20.【答案】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，所以，
故，，
所以， 所以，
因为平面，平面，
所以，又， 所以平面，
又因为平面，所以；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，所以与平面所成角的正弦值为.
21.【答案】（1）由，可得，
此次化学考试成绩平均值为分．
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，
因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．
由，解得，该学生的等级分为91分．
22.【答案】（1）如图，取的中点D，连接,
∵面,,∴,则,
又,∴,
面,面,∴面,
∵分别为的中点，∴,
面,面,∴面,
,面,
∴面面,
又平面，所以平面
（2）以A为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，所以，
又，，所以，
则，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量，则，
令，则，所以，
所以.
设二面角的大小为，则.