2024—2025学年上学期高三数学第一次月考
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合，，则（ ）
已知复数，则（ ）
已知向量，，且，则（ ）
已知，则（ ）
在中，角的对边分别是，且，，则（ ）
一纸片上绘有函数一个周期的图像，现将该纸片沿轴折成直二面角后，原图像上的最高点和最低点之间的空间距离是，则（ ）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于（在第一象限）两点，为坐标原点，若，则的面积是（ ）
已知直线是函数图像的切线，则的取值范围是（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
某地农研所为研究新的大豆品种，在面积相等的块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量（单位：），将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图：
则下列结论正确的是（ ）
这块豆田的亩产量的中位数低于
这块豆田的亩产量的极差不高于
在这块豆田中，亩产量不低于的豆田所占比例为
这块豆田的亩产量的第百分位数高于
若函数与在区间上的单调性相同，则称区间是函数的“稳定区间”。下列函数存在“稳定区间”的是（ ）
如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，点是上的动点，则（ ）
三棱锥的体积为定值
三棱锥外接球的表面积为
平面截该正方体所得的截面图形的周长是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
若是定义在上的奇函数，且当时，，则 。
《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭，，体积为，则该方亭的高是 。
已知双曲线的左焦点为，直线过点，在第四象限与双曲线的渐近线交于点，且直线与圆切于点，若，则双曲线的离心率是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分）
已知等差数列的前项和为，且，。
（1）求的通项公式；
（2）已知，数列的前项和为，求的值。
（分）
如图，在四棱锥中，，，平面，，分别是棱的中点。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值。
（分）
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了有奖竞容活动，班主任将竟容题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取道题作答。已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否容对相互独立。
（1）求学生甲恰好答对道题的概率；
（2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望。
（分）
已知椭圆的离心率为，分別是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，面积的最大值是。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，且直线与直线分别交于两点。①求的纵坐标之积；
②试判断以为直径的圆是否过定点。若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。
（分）
若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数"，其中称为在上的中值点。
（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点。
①求的取值范围；
②证明：。高三数学考试参考答案
1.B由题意可得A={xx<2},则A∩B={x|一12.C由题意可得x=4-4i+i-6=-3-4i,则|x|=√(-3)2十(-4)=5.
3.B由题意可得k一b=(一k一1,2k+1),2a十b=(一1,3)，则(ka一b)·(2a十b)=k十1+
3(2k+1)=0,解得及=一号·
4D因为sim(e+)=-os。-专，所以os。=-号
5.B由余弦定理可得a2=B+2-2c0sA=4+22-2×4×2×}=16,则a=4.
6.D由题意可得√2+（名）+=23，解得w受
y=2px,
7.C
设直线1：x=my+号，A(M),B(x),联立
x=my+
整理得y2一2pmy一p2=
2
0,则yy2=一p2.因为AB引=3|BF|,所以y1=一2y2>0,则y=√2p,所以1=p.因为
1AB1=3BF=9,所以AF=6,所以√2p2+4P2=6,解得p=4,则△0AB的面积S=
210F1lm-=2×2×(42+22)=62.
8.A设切点为(%)(x>0).因为f(x)=e-7ar2+2x-3,所以f(x)=e-ax十2，则
fm)=w-a+2=2,即a=岩设8x)=号(>0)，则gx)a）心由g'(x>0,
T=
得x>1,则g(x)在(1，十oo)上单调递增，由g(x)<0,得0减，故g(x)≥g(1)=e,即a≥e
9.BC因为(0.005+0.010+0.025)×10=0.4<0.5,0.4+0.040×10=0.8>0.5，所以这80
块豆田的亩产量的中位数不低于180kg,则A错误.因为210一150=60,200-160=40，所以
这80块豆田的亩产量的极差高于40kg,且不高于60kg,则B正确.在这80块豆田中，亩产
量不低于190kg的豆田所占比例为(0.015十0.005)×10×100%=20%，则C正确.因为
(0.005+0.010+0.025)×10=0.4<0.75,0.4+0.040×10=0.8>0.75,所以这80块豆田
的亩产量的第75百分位数不低于180kg.当亩产量在[180,190)内的豆田的亩产量都是
180kg时，这80块豆田的亩产量的第75百分位数为180kg,则D错误
10.AD因为f(x)=x+3与f(一x)=|一x+3在区间（一∞，一3]上单调递减，在[3，十∞）
上单调递增，所以f(x)=x十3存在“稳定区间”，则A符合题意.因为f(x)=4+2是R
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