一.导数与函数的单调性
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数:如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数;如果在这个区间内=0,那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。
要关注导函数图象与原函数图象间关系。
二.导数与极值
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:
1.极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。
5.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 =0。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。
若x0满足 =0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值。
6.求极值的步骤:
①确定函数的定义域;
②求导数;
③求方程 =0的根;
④检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(最好通过列表法)
三.函数的最大值与最小值
1.最值与极值的区别与联系:函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的。
2.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数。求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值。
3.在解有关函数最值的实际应用问题时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性。
4.在区间[a,b]上求函数y=f(x)的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的导数;
(2)求函数y=f(x)在(a,b)内的圾值;
(3)将函数y=f(x)在(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。
导数应用的知识网络结构图:
例1.求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调递增区间。
解: =6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令6(x-1)(x-2)>0
解得:x>2或x<1。
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1),(2,+∞)。
例2.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。
解: =3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
令 =0
解得:x1=-1,x2=3。
由于x<-1时, >0;-1
3时 >0。
∴f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22。
例3.(2004湖南12)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
g(x)+f(x) >0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
(A)(-3,0)∪(3,+∞) (B)(-3,0)∪(0,3)
(C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(0,3)
分析:令F(x)=f(x)g(x),则F(x)为奇函数,且F(3)=f(-3)=0
由于x<0时, = g(x)+f(x) >0,所以F(x)为(-∞,0)上的单调递增函数,由对称性,
F(x)在(0,+∞)上也单调递增,故选D。
例4.(2004浙江11)设 是函数f(x)的导函数,y= 的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
分析:观察y= 的图象,当x∈(0,2)时, <0,f(x)在该区间上单调递减;
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, >0,f(x)单调递增,故选C。
例5.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值。
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程。
解:
(1) =3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即
解得a=1,b=0
∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
令 =0,得x=-1,x=1。
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 >0,故
f(x)在(-∞,-1)上是增函数,
f(x)在(1,+∞)上增函数。
若x∈(-1,1),则 <0,故
f(x)在(-1,1)上是减函数。
所以,f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值。
(2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上。
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足 .
因
注意到点A(0,16)在切线上,有
化简得
所以,切点为M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0。
例6.已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间。
解: =2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax。
(Ⅰ)当a=0时,若x<0,则 <0,若x>0,则 >0
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数。
(Ⅱ)当a>0时,由2x+ax2>0,解得
由2x+ax2<0,解得
所以,当a>0时,函数f(x)在区间 内为增函数,在区间 内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;
(Ⅲ)当a<0时,由2x+ax2>0,解得
由2x+ax2<0,解得
所以当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间 内为增函数,在区间 内为减函数。
例7.设a>0,求函数
解:
当a>0,x>0时,令 >0,则
(1)当△=4-4a<0即a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)当△=4-4a=0即a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(3)当△=4-4a>0即0 故 上单调递增,在 上单调递减。
例8.如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积。
解:设B(x,0)(0 S矩形ABCD(x)=(4-2x)(4x-x2)
S′(x)=[(4-2x)(4x-x2)]′=6x2-24x+16
令S′(x)=0,得
∵x1∈(0,2)
例9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设0 解:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞)
令f′(x)=0,解得x=0
当-10,
当x>0时,f′(x)<0 又f(0)=0
故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值为0。
(Ⅱ)
证法一:
由(Ⅰ)结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0),
由题设
所以
又
综上
证法二:g(x)=xlnx,g′(x)=lnx+1
设
则
当0 当x>a时,F′(x)>0,因此F(x)在(a,+∞)上为增函数。
从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)。
因此F (a)=0,b>a,所以F(b)>0,即
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,
则
当x>0时,G′(x)<0,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数。
因为G(a)=0。b>a。所以G(b)<0
即
课后练习
1. f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为( )
A. B. C. D.
2.设y=8x2-lnx,则此函数在区间(0, )和( ,1)内分别为( )
A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增
C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减
3.若函数y=x﹒2x且y′=0,则x=( )
A. B. C.-ln2 D.ln2
4.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A. 5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16
5.y=x2ex的单调递增区间是_______
6.函数y=x+2cosx在区间 上的最大值是_____。
7.设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
(1)求常数a、b的值;
(2)判断函数在x=-2,x=4处的值是函数的极大值还是极小值,并说明理由。
8.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积价格为b元,问锅炉的直径与高的比为多少时,造价最低?
9.设函数 ,为使f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,求a的取值范围。
10.已知椭圆 ,(a>b>0)的长轴为AB,以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD,求此等腰梯形面积的最大值。
11.已知函数 ,求f(x)的极大值与极小值。
参考答案:
1-4:D C A A
5.(-∞,-2)与(0,+∞)
6.
7.a=-3,b=-24,f(-2)为极大值,f(4)极小值
8.
9.a≤-1/2
10.
11.若a>0,则当x=-a时,f(x)的极大值为5a3。当a=3a时,f(x)的极小值为-27a3;若a<0,则当x=3a时,f(x)的极大值为-27a3;当x=-a时,f(x)的极小值为5a3