1.3 探索三角形全等的条件
知识点一 三角形的稳定性
◆三角形的稳定性：三角形具有稳定性.
知识点二 全等三角形的概念
◆全等三角形的概念：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）
◆全等三角形的表示方法：
①△ABC≌△DEF（读作：三角形 ABC 全等于三角形 DEF）
②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）
③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：
a.点 A 与点 D 为对应顶点，点 B 与点 E 为对应顶点，点 C 与点 F 为对应顶点；
b.∠A 与∠D 为对应角，∠B 与∠E 为对应角，∠C 与∠F 为对应角；
c.AB 与 DE 为对应边，AC 与 DF 为对应边，BC 与 EF 为对应边。
【注】找对应角对应边的方法：
①图形特征法；
②字母顺序确定法
知识点三 全等三角形的性质
◆全等三角形的概念：
①对应边、对应角相等
②周长、面积相等
③对应边上的中线、角平分线、高相等
【注】
①平移、翻折、旋转都是全等变换；
②缩放不是全等变换
知识点四 全等三角形的判断
◆全等三角形的判定定理：
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
⑤HL 斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为 HL）．
题型一 三角形具有稳定性
解题技巧提炼
三角形具有稳定性．
1. （2023 秋 五莲县期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定门框 ABCD ，使其不变形，这种做
法的根据是 ( )
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
2. （2023 秋 梁山县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是 ( )
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
3. （2023 秋 岚山区期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构
成三角形，这是利用三角形的 ( )
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性
4. （2024 春 青州市校级月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理
是 ( )
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5. （2024 沂源县二模）杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学
原理是 ．
题型二 利用全等三角形的性质求度数
解题技巧提炼
全等三角形的对应角相等．
1. （2024 张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则 E 的度数为 ( )
A．80° B． 70° C． 60° D．50°
2. （2024春 长清区期中）如图，DABC @ DBAD，如果 CAB = 35° ， CBD = 30° ，那么 DAB 度数是 ( )
A． 60° B． 65° C． 75° D．85°
3. （2023 秋 定陶区期末）如图，已知 DABC @ DDBE ，点 D 恰好在 AC 的延长线上， DBE = 20° ，
BDE = 41° ．则 BCD 的度数是 ( )
A． 60° B． 62° C． 61° D． 63°
4. （2023 秋 金乡县期末）已知图中的两个三角形全等，则 1等于 ( )
A．50° B．58° C． 60° D． 72°
5. （2023 秋 嘉祥县期末）如图，DABC @ DDBE ， C = 45° ， D = 35°， ABD = 40° ，则 ABE 的度
数是 ( )
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
6. （2023 秋 海阳市期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则 1+ 2 + 3 = ( )
A．160° B．180° C． 200° D． 240°
7. （2023 秋 费县期末）如图，DABC @ DDEC ，点 E 在线段 AB 上， B = 75°，则 ACD 的度数为 ( )
A． 20° B． 25° C．30° D． 40°
8. （2023 秋 成武县期末）如图所示， AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE ， 1 = 25°， 2 = 30°，则
3 = ．
题型三 利用全等三角形的性质求长度
解题技巧提炼
全等三角形的对应边、周长、面积相等．
1. （2024 春 济南期中）如图，点 B 、C 、 D 在同一直线上，若DABC @ DCDE ， DE = 4 ， BD = 13，则
AB 等于 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2. （2023 秋 夏津县期末）如图，点 B 、C 、 D 在同一直线上，若DABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
则 DE 等于 ( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
3. （2023 秋 宁津县期末）如图，DACE @ DDBF ， AD = 8， BC = 2，则 AC = ( )
A．2 B．8 C．5 D．3
4. （2023 秋 长汀县期中）如图，DABC @ DDEC ， B 、C 、 D 在同一直线上，且CE = 5， AC = 7 ，则 BD
长 ( )
A．12 B．7 C．2 D．14
5. 如图，DABC @ DDCB ，若 AC = 7 ， BE = 5，则 DE 的长为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6. （2023 秋 定陶区校级月考）如图， DEFG @ DNMH ， E ， H ，G ， N 在同一条直线上， EF 和 NM ，
FG 和 MH 是对应边，若 EH = 1.1cm ， NH = 3.3cm ，则线段 HG 的长为 ( )
A．1.1cm B． 2.2cm C．3.3cm D． 4.4cm
题型四 判定三角形全等
解题技巧提炼
全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
1. （2023 秋 邹平市期末）如图， AB = AC ，若要使DABE @ DACD，则添加的一个条件不能是 ( )
A． B = C B． BE = CD C． BD = CE D． ADC = AEB
2. （2023 秋 任城区期末）如图，在 DABC 和 DDEC 中，已知 AB = DE ， B = E ，添加一个条件，不
能判定DABC @ DDEC 的是 ( )
A． ECB = DCA B． BC = EC C． A = D D． AC = DC
3. （2024 春 市中区校级期中）如图，已知 1 = 2 ，要说明 DABD @ DACD ，还需从下列条件中选一个，
错误的选法是 ( )
A． ADB = ADC B． B = C C． DB = DC D． AB = AC
4. （2024 春 天桥区期中）如图：OB = OD，添加下列条件 ( )不能保证DAOB @ DCOD．
A．OA = OC B． AB = CD C． A = C D． B = D
5. （2023 秋 无棣县期末）如图，点 E ， F 在 BC 上， BE = CF ， BED = AFC ，添加一个条件，不能
完全证明DABF @ DDCE 的是 ( )
A． B = C B． A = D C． AF = DE D． AB = DC
6. （2023 秋 滨城区期末）如图，若 AB = AC ，则添加下列一个条件后，仍无法判定DABE @ DACD的是 ( )
A． B = C B． AE = AD C． BE = CD D． AEB = ADC
7. （2023 秋 曲阜市期末）如图， AB 平分 DAC ，增加下列一个条件，不能判定DABC @ DABD的是 ( )
A． CBA = DBA B． BC = BD C． AC = AD D． C = D
题型五 全等三角形的综合题
解题技巧提炼
利用三角形的全等的性质和判定做题．
1. （2023 秋 临沭县期末）如图，在 DABC 中， AB = AC ， B = 40° ， D 为线段 BC 上一动点（不与点
B 、点 C 重合），连接 AD ，作 ADE = 40° ， DE 交线段 AC 于点 E ．以下四个结论：①
CDE = BAD；②当 D 为 BC 中点时， DE ^ AC ；③若 AD = DE ，则 BD = CE ；④当 DADE 为等腰
三角形时， EDC = 30°．其中正确的结论有 .（填写正确结论的序号）
2. （2023 秋 高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图 1，在 RtDABC中，
ABC 90 BD E ABC BE BA E C DE 2 = °， 是高， 是 D 外一点， = ， = ，若 = BD ， AD = 16 ，
5
BD = 20，求DBDE 的面积．同学们可以先思考一下 ，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 BD
上截取 BF = DE ，（如图 2) ．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得 DBDE 的面积
为 ．
3. （2024 春 即墨区期中）如图，点 B 、 E 在 AF 上，已知DABC @ DFED， A和 F 是对应角，CB 和 DE
是对应边．
（1）再写出其他的一组对应边和一组对应角；
（2）判断 AC 与 DF 的位置关系，并说明理由；
（3）若 AF = 8 ， BE = 2，求 AB 的长．
4. （ 2024 春 乳山市 期末） 如图 ，在 DABC 中， AC = AB ， AD ^ BC ，过 点 C 作 CE / / AB ，
BCE = 50°，连接 ED并延长 ED交 AB 于点 F ．
（1）求 CAD ；
（2）证明：DCDE @ DBDF ；
（3）求证： AC = AF + CE ．
5. （2024 高青县校级一模）如图，点 E 在 CD上， BC 与 AE 交于点 F ， AB = CB ， BE = BD ，
1 = 2 ．
（1）求证：DABE @ DCBD；
（2）证明： 1 = 3．
6. （2024 春 郓城县期中）如图， DE ^ AB于 E ， DF ^ AC 于 F ，若 BD = CD 、 BE = CF ，
（1）求证： AD 平分 BAC ；
（2）已知 AC = 20 ， BE = 4，求 AB 的长．
7. （2024 高青县校级模拟）如图， BAD = CAE = 90°， AB = AD， AE = AC ， AF ^ CB ，垂足为
F ．
（1）求证：DABC @ DADE ；
（2）求 FAE 的度数；
（3）求证：CD = 2BF + DE ．
8. （2023 秋 潍城区期末）如图，DABC 是等腰三角形， AB = AC ，点 D 在边 BC 上运动（与 B ，C 不重
合），点 E 、 F 分别在边 AB ， AC 上，且始终有 DB = DE ， DC = DF ，连接 BF ，CE ，设 BF 与CE
交于点G ．
（1）求证： BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，随着点 D 的运动， EGF 的大小是否为定值？如果是定值，请求出 EGF 的度数；
如果不是定值，请说明理由．
题型六 全等三角形的动点问题
解题技巧提炼
动点问题最重要的就是用利用动点表示线段长．
1. （2024 春 垦利区期末）如图， AE 与 BD相交于点C ， AC = EC ， BC = DC ， AB = 6cm ，点 P 从点 A
出发，沿 A B A 方向以3cm / s 的速度运动，点Q从点 D 出发，沿 D E 方向以1cm / s 的速度运动，
P ，Q两点同时出发．当点 P 到达点 A时， P ，Q两点同时停止运动．设点 P 的运动时间为 t s ．
（1）求证： AB / /DE ；
（2）连接 PQ，当线段 PQ经过点C 时，求 t 的值．
2. （2023 秋 铁锋区期末）综合与实践：
已知：如图，在DABC 中， AB = AC = 12厘米， BC = 9 厘米，点 D 为 AB 的中点．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q在线段CA 上由C 点向 A点
运动，运动的时间 t 秒．
①若点Q的运动速度与点 P 的运动速度相等， t = 1时， DBPD 与 DCQP是否全等 （填“是”或“否
)；
②若点Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当 DBPD 与 DCQP全等时，请直接写出点Q的运动速度为
．
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿DABC
三边运动，则经过多长时间，点 P 与点Q第一次在DABC 的哪条边上相遇？此时相遇点距离 B 点的路程是
多少？
3. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为10cm，点 E 在 AB 边上， BE = 6cm ．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4cm / s 的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q在线段CD上由C 点向 D 点运
动．
①若点Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，DBPE 与DCQP是否全等．请说明理由．
②若点Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使DBPE 与DCQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正方形
ABCD 四边运动，求经过多长时间点 P 与点Q第一次在正方形 ABCD 边上的何处相遇？相遇点在何处？
4. （2022 春 神木市期末）如图 1， AE 与 BD相交于点C ． AC = EC ， BC = DC ．
（1）求证： AB / /DE ；
（2）如图 2，过点C 作 PQ交 AB 于 P ，交 DE 于Q，求证：CP = CQ；
（3）如图 3，若 AB = 8cm，点 P 从点 A出发，沿 A B A 方向以 3cm / s 的速度运动，点Q从点 D 出发，
沿 D E 方向以1cm / s 的速度运动， P 、Q两点同时出发．当点 P 到达点 A时， P 、Q两点同时停止运动，
设点 P 的运动时间为 t(s) ．连接 PQ，当线段 PQ经过点C 时，求出 t 的值．1.3 探索三角形全等的条件
知识点一 三角形的稳定性
◆三角形的稳定性：三角形具有稳定性.
知识点二 全等三角形的概念
◆全等三角形的概念：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）
◆全等三角形的表示方法：
①△ABC≌△DEF（读作：三角形 ABC 全等于三角形 DEF）
②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）
③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：
a.点 A 与点 D 为对应顶点，点 B 与点 E 为对应顶点，点 C 与点 F 为对应顶点；
b.∠A 与∠D 为对应角，∠B 与∠E 为对应角，∠C 与∠F 为对应角；
c.AB 与 DE 为对应边，AC 与 DF 为对应边，BC 与 EF 为对应边。
【注】找对应角对应边的方法：
①图形特征法；
②字母顺序确定法
知识点三 全等三角形的性质
◆全等三角形的概念：
①对应边、对应角相等
②周长、面积相等
③对应边上的中线、角平分线、高相等
【注】
①平移、翻折、旋转都是全等变换；
②缩放不是全等变换
知识点四 全等三角形的判断
◆全等三角形的判定定理：
①SSS
②SAS
③ASA
④AAS
⑤HL 斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为 HL）．
题型一 三角形具有稳定性
解题技巧提炼
三角形具有稳定性．
1. （2023 秋 五莲县期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定门框 ABCD ，使其不变形，这种做
法的根据是 ( )
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：工人盖房时常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD ，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选： D ．
2. （2023 秋 梁山县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是 ( )
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳
定性，
故选： D ．
3. （2023 秋 岚山区期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构
成三角形，这是利用三角形的 ( )
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性
【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案．
【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用
三角形的稳定性．
故选：C ．
4. （2024 春 青州市校级月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理
是 ( )
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选： A．
5. （2024 沂源县二模）杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学
原理是 ．
【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形
的稳定性来解决问题．
【解答】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，
利用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
题型二 利用全等三角形的性质求度数
解题技巧提炼
全等三角形的对应角相等．
1. （2024 张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则 E 的度数为 ( )
A．80° B． 70° C． 60° D．50°
【分析】根据题意和图形，可知 E 是边 DF = n的对角，由第一个三角形可以得到 E = B 的度数，本题
得以解决．
【解答】解：Q图中的两个三角形全等，
\ E = B = 180° - 45° - 65° = 70°，
故选： B ．
2. （2024春 长清区期中）如图，DABC @ DBAD，如果 CAB = 35° ， CBD = 30° ，那么 DAB 度数是 ( )
A． 60° B． 65° C． 75° D．85°
【分析】先根据全等三角形的性质得到 DBA = CAB = 35°， DAB = CBA，然后计算出 CBA = 65°，
从而得到 DAB 的度数．
【解答】解：QDABC @ DBAD ，
\ DBA = CAB = 35° ， DAB = CBA，
\ CBA = DAB + CBD = 35° + 30° = 65°，
\ DAB 的度数是 65°．
故选： B ．
3. （2023 秋 定陶区期末）如图，已知 DABC @ DDBE ，点 D 恰好在 AC 的延长线上， DBE = 20° ，
BDE = 41° ．则 BCD 的度数是 ( )
A． 60° B． 62° C． 61° D． 63°
【分析】由全等三角形的对应角相等，得到 ABC = DBE = 20° ， A = BDE = 41° ，由三角形外角的性
质等到 BCD = A + ABC = 61°．
【解答】解：Q ABC @ DDBE ，
\ ABC = DBE = 20°， A = BDE = 41° ，
\ BCD = A + ABC = 61°．
故选：C ．
4. （2023 秋 金乡县期末）已知图中的两个三角形全等，则 1等于 ( )
A．50° B．58° C． 60° D． 72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出 A = D = 50°， F = C = 72°，根据三角形内角和定
理求出即可．
【解答】解：
QDABC 和DDEF 全等， AC = DF = b， DE = AB = a，
\ 1 = B ， A = D = 50°， F = C = 72°，
\ 1 = 180° - D - F = 58° ，
故选： B ．
5. （2023 秋 嘉祥县期末）如图，DABC @ DDBE ， C = 45° ， D = 35°， ABD = 40° ，则 ABE 的度
数是 ( )
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
【分析】根据题意求出 EBD = 100° ，利用角之间的关系计算即可．
【解答】解：QDABC @ DDBE ，
\ E = C = 45° ，
Q D = 35° ，
\ EBD = 180° - D - E = 100° ，
Q ABD = 40°，
\ ABE = DBE - ABD = 60° ，
故选： A．
6. （2023 秋 海阳市期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则 1+ 2 + 3 = ( )
A．160° B．180° C． 200° D． 240°
【分析】由全等三角形的性质得到 4 = D， 5 = 6，由三角形内角和定理得到 6 + D + BCD = 180°，
因此 4 + 5 + BCD = 180°，由三角形外角的性质推出 1+ 4 + 3 + 5 + 2 + BCD = 360°，即可求出
1+ 2 + 3 = 180°．
【解答】解：由全等三角形的性质得到 4 = D， 5 = 6，
Q 6 + D + BCD = 180° ，
\ 4 + 5 + BCD = 180° ，
Q 1+ 4 + 3 + 5 + 2 + BCD = 360° ，
\ 1+ 2 + 3 = 180° ．
故选： B ．
7. （2023 秋 费县期末）如图，DABC @ DDEC ，点 E 在线段 AB 上， B = 75°，则 ACD 的度数为 ( )
A． 20° B． 25° C．30° D． 40°
【 分 析 】 由 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 ACB = DCE ， BC = EC ， 可 求 得 BCE = ACD ，
BEC = B = 75°，由三角形的内角和可求得 BCE = 30°，从而得解．
【解答】解：QDABC @ DDEC ，
\ ACB = DCE ， BC = EC ，
\ ACB - ACE = DCE - ACE ，
即 BCE = ACD ，
BEC = B = 75°，
\ BCE = 180° - B - BEC = 30°，
\ ACD = 30°．
故选：C ．
8. （2023 秋 成武县期末）如图所示， AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE ， 1 = 25°， 2 = 30°，则
3 = ．
【分析】求出 BAD = EAC ，证 DBAD @ DCAE ，推出 2 = ABD = 30°，根据三角形的外角性质求出即
可．
【解答】解：Q BAC = DAE ，
\ BAC - DAC = DAE - DAC ，
\ 1 = EAC ，
在DBAD 和DCAE 中，
ìAB = AC
í BAD = CAE
AD = AE
\DBAD @ DCAE(SAS)，
\ 2 = ABD = 30° ，
Q 1 = 25° ，
\ 3 = 1+ ABD = 25° + 30° = 55° ，
故答案为：55°．
题型三 利用全等三角形的性质求长度
解题技巧提炼
全等三角形的对应边、周长、面积相等．
1. （2024 春 济南期中）如图，点 B 、C 、 D 在同一直线上，若DABC @ DCDE ， DE = 4 ， BD = 13，则
AB 等于 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由全等三角形的性质推出 AB = CD ， BC = DE = 4 ，求出CD = BD - BC = 13 - 4 = 9，即可得到 AB
的长．
【解答】解：QDABC @ DCDE ，
\ AB = CD， BC = DE = 4 ，
QBD = 13，
\CD = BD - BC = 13 - 4 = 9，
\ AB = CD = 9 ．
故选：C ．
2. （2023 秋 夏津县期末）如图，点 B 、C 、 D 在同一直线上，若DABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
则 DE 等于 ( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】根据全等三角形的性质可得 BC = DE ，CD = AB = 9，然后由 BC = BD - CD 求出 BC 的值，即可获
得答案．
【解答】解：QDABC @ DCDE ， AB = 9， BD = 13，
\ BC = DE ，CD = AB = 9，
Q点 B 、C 、 D 在同一直线上，
\ BC = BD - CD = 13 - 9 = 4，
\ DE = BC = 4 ．
故选：C ．
3. （2023 秋 宁津县期末）如图，DACE @ DDBF ， AD = 8， BC = 2，则 AC = ( )
A．2 B．8 C．5 D．3
1
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得 AC = DB ，再求出 AB = CD = (AD - BC) = 3，那么
2
AC = AB + BC ，代入数值计算即可得解．
【解答】解：QDACE @ DDBF ，
\ AC = DB，
\ AC - BC = DB - BC ，即 AB = CD ，
Q AD = 8， BC = 2，
1
\ AB = (AD 1- BC) = (8 - 2) = 3，
2 2
\ AC = AB + BC = 3 + 2 = 5．
故选：C ．
4. （2023 秋 长汀县期中）如图，DABC @ DDEC ， B 、C 、 D 在同一直线上，且CE = 5， AC = 7 ，则 BD
长 ( )
A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】由全等三角形的性质得到 AC = DC = 7 ，CB = CE = 5，再根据 BD = DC + CB 即可得解．
【解答】解：QDABC @ DDEC ，
\ AC = DC ，CB = CE ，
QCE = 5， AC = 7 ，
\CB = 5， DC = 7，
\ BD = DC + CB = 7 + 5 = 12 ．
故选： A．
5. 如图，DABC @ DDCB ，若 AC = 7 ， BE = 5，则 DE 的长为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知 BD = AC = 7 ，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：QDABC @ DDCB，
\ BD = AC = 7 ，
QBE = 5，
\ DE = BD - BE = 2 ，
故选： A．
6. （2023 秋 定陶区校级月考）如图， DEFG @ DNMH ， E ， H ，G ， N 在同一条直线上， EF 和 NM ，
FG 和 MH 是对应边，若 EH = 1.1cm ， NH = 3.3cm ，则线段 HG 的长为 ( )
A．1.1cm B． 2.2cm C．3.3cm D． 4.4cm
【分析】由全等三角形的对应边相等得到 EG = NH = 3.3cm ，而 EH = 1.1cm ，即可求出 HG 的值．
【解答】解：QDEFG @ DNMH ，
\ EG = NH = 3.3cm，
QEH = 1.1cm ，
\ HG = EG - EH = 2.2cm ．
故选： B ．
题型四 判定三角形全等
解题技巧提炼
全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
1. （2023 秋 邹平市期末）如图， AB = AC ，若要使DABE @ DACD，则添加的一个条件不能是 ( )
A． B = C B． BE = CD C． BD = CE D． ADC = AEB
【分析】已知条件 AB = AC ，还有公共角 A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析
即可．
【解答】解： A、添加 B = C 可利用 ASA定理判定DABE @ DACD，故此选项不合题意；
B 、添加 BE = CD 不能判定DABE @ DACD，故此选项符合题意；
C 、添加 BD = CE 可得 AD = AE ，可利用利用 SAS 定理判定DABE @ DACD，故此选项不合题意；
D 、添加 ADC = AEB 可利用 AAS 定理判定DABE @ DACD，故此选项不合题意；
故选： B ．
2. （2023 秋 任城区期末）如图，在 DABC 和 DDEC 中，已知 AB = DE ， B = E ，添加一个条件，不
能判定DABC @ DDEC 的是 ( )
A． ECB = DCA B． BC = EC C． A = D D． AC = DC
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：Q AB = DE ， B = E ，
\当添加 ECB = DCA，则 ACB = DCE ，则可根据“ AAS ”判断DABC @ DDEC ；
当添加 BC = EC ，则可根据“ SAS ”判断DABC @ DDEC ；
当添加 A = D ，则可根据“ ASA”判断DABC @ DDEC ．
故选： D ．
3. （2024 春 市中区校级期中）如图，已知 1 = 2 ，要说明 DABD @ DACD ，还需从下列条件中选一个，
错误的选法是 ( )
A． ADB = ADC B． B = C C． DB = DC D． AB = AC
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选
项．本题中C 、 AB = AC 与 1 = 2 、 AD = AD 组成了 SSA 是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解： A、加 ADB = ADC ，Q 1 = 2， AD = AD ， ADB = ADC ，\DABD @ DACD(ASA) ，
是正确选法；
B 、加 B = CQ 1 = 2 ， AD = AD ， B = C ，\DABD @ DACD(AAS) ，是正确选法；
C 、加 DB = DC ，满足 SSA ，不能得出DABD @ DACD ，是错误选法；
D 、加 AB = AC ，Q 1 = 2， AD = AD ， AB = AC ，\DABD @ DACD(SAS) ，是正确选法．
故选：C ．
4. （2024 春 天桥区期中）如图：OB = OD，添加下列条件 ( )不能保证DAOB @ DCOD．
A．OA = OC B． AB = CD C． A = C D． B = D
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解： A、OA = OC ，又 AOB = COD ，OB = OD，由 SAS 判定DAOB @ DCOD，故 A不符合题意；
B 、 AB = CD ， AOB ， COD 分别是 AB 和CD的对角，不能判定DAOB @ DCOD，故 B 符合题意；
C 、 A = C ，又 AOB = COD ，OB = OD，由 AAS 判定DAOB @ DCOD，故C 不符合题意；
D 、 B = D ，OB = OD， AOB = COD ，由 ASA判定DAOB @ DCOD，故 D 不符合题意．
故选： B ．
5. （2023 秋 无棣县期末）如图，点 E ， F 在 BC 上， BE = CF ， BED = AFC ，添加一个条件，不能
完全证明DABF @ DDCE 的是 ( )
A． B = C B． A = D C． AF = DE D． AB = DC
【分析】先根据 BED = AFC 得出 DEC = AFB ，再根据全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：Q BED = AFC ，
\ DEC = AFB ，
QBE = CF ，
\ BE + EF = CF + EF ，即 BF = CE ，
当 B = C 时，符合 ASA定理，可以判定DABF @ DDCE ，故 A不符合题意；
当 A = D 时，符合 AAS 定理，可以判定DABF @ DDCE ，故 B 不符合题意；
当 AF = DE 时，符合 SAS 定理，可以判定DABF @ DDCE ，故C 不符合题意；
当 AB = DC 时，不符合判定三角形全等的定理，不能判定DABF @ DDCE ，故 D 符合题意．
故选： D ．
6. （2023 秋 滨城区期末）如图，若 AB = AC ，则添加下列一个条件后，仍无法判定DABE @ DACD的是 ( )
A． B = C B． AE = AD C． BE = CD D． AEB = ADC
【分析】根据 ASA即可判断 A；根据 SAS 即可判断 B ；根据 SSA 两三角形不一定全等即可判断C ；根据 AAS
即可判断 D ．
【解答】解： A、根据 ASA( A = A， C = B ， AB = AC) 能推出DABE @ DACD，正确，故本选项错误；
B 、根据 SAS( A = A， AB = AC ， AE = AD)能推出DABE @ DACD，正确，故本选项错误；
C 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
D 、根据 AAS( A = A， AB = AC ， AEB = ADC) 能推出DABE @ DACD，正确，故本选项错误；
故选：C ．
7. （2023 秋 曲阜市期末）如图， AB 平分 DAC ，增加下列一个条件，不能判定DABC @ DABD的是 ( )
A． CBA = DBA B． BC = BD C． AC = AD D． C = D
【分析】根据角平分线的定义得出 CAB = DAB ，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：Q AB 平分 DAC ，
\ CAB = DAB，
A． CAB = DAB ， AB = AB ， CBA = DBA，符合全等三角形的判定定理 ASA，能推出DABC @ DABD，
故本选项不符合题意；
B ． CAB = DAB ， AB = AB ， BC = BD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出DABC @ DABD，故
本选项符合题意；
C ． AC = AD， CAB = DAB ， AB = AB ，符合全等三角形的判定定理 SAS ，能推出DABC @ DABD，故
本选项不符合题意；
D ． C = D ， CAB = DAB ， AB = AB ，符合全等三角形的判定定理 AAS ，能推出 DABC @ DABD，
故本选项不符合题意；
故选： B ．
题型五 全等三角形的综合题
解题技巧提炼
利用三角形的全等的性质和判定做题．
1. （2023 秋 临沭县期末）如图，在 DABC 中， AB = AC ， B = 40° ， D 为线段 BC 上一动点（不与点
B 、点 C 重合），连接 AD ，作 ADE = 40° ， DE 交线段 AC 于点 E ．以下四个结论：①
CDE = BAD；②当 D 为 BC 中点时， DE ^ AC ；③若 AD = DE ，则 BD = CE ；④当 DADE 为等腰
三角形时， EDC = 30°．其中正确的结论有 .（填写正确结论的序号）
【分析】①由三角形外角的性质可得出结论；②由等腰三角形的性质可得出结论；③证明
DABD @ DDCE(AAS) ，得出 AB = DC ；④由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】解：①Q ADC = B + BAD， B = ADE = 40°，
\ BAD = CDE ，
故①正确；
②QD为 BC 中点， AB = AC ，
\ AD ^ BC ，
\ ADC = 90° ，
Q ADE = 40°，
\ CDE = 50° ，
Q C = 40°，
\ DEC = 90° ，
\ DE ^ CE ；
③Q AB = AC ，
\ B = C = 40°，
由①知： DEC = BDA，
Q AD = DE ，
\DABD @ DDCE(AAS)，
\ AB = DC ，
故③正确；
④Q C = 40°，
\ AED > 40°，
\ ADE AED，
QDADE 为等腰三角形，
\ AE = DE 或 AD = DE ，
当 AE = DE 时， DAE = ADE = 40°，
Q BAC = 180° - 40° - 40° = 100°，
\ BAD = CDE = 60° ，
当 AD = DE 时， DAE = DEA = 70°，
\ BAD = CDE = 30° ，
故④不正确．
故答案为：①②③．
2. （2023 秋 高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图 1，在 RtDABC中，
ABC 2= 90°， BD是高， E 是 DABC 外一点， BE = BA， E = C ，若 DE = BD ， AD = 16 ，
5
BD = 20，求DBDE 的面积．同学们可以先思考一下 ，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 BD
上截取 BF = DE ，（如图 2) ．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得 DBDE 的面积
为 ．
【分析】由DABF @ DBDE ，求出 BF ， DF 的长，再由面积公式求得即可．
【解答】解：如图所示，连接 AF ，
ABD = 180° - BDA - BAD = 90° - BAD ，
C = 180° - ABC - BAD = 90° - BAD，
Q ABD = C ，
Q E = C ，
Q ABD = E ，
在DABF 与DBED 中，
ìAB = BE
í ABF = BED ，
BF = DE
\DABF @ DBED(SAS) ，
\SDABF = SDBDE ，
Q S 1DABD = BD × AD
1
= 20 16 = 160 ，
2 2
QBF 2= 20 = 8，
5
\ DF = BD - BF = 20 - 8 = 12，
S 1\ DAFD = AD × DF
1
= 12 16 = 96 ，
2 2
QSDABF = SDABD - SDAFD ，
\SDBDE = SDABF = 160 - 96 = 64．
故答案为：64．
3. （2024 春 即墨区期中）如图，点 B 、 E 在 AF 上，已知DABC @ DFED， A和 F 是对应角，CB 和 DE
是对应边．
（1）再写出其他的一组对应边和一组对应角；
（2）判断 AC 与 DF 的位置关系，并说明理由；
（3）若 AF = 8 ， BE = 2，求 AB 的长．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质得到 A = F ，即可判定 AC / /DF ；
（3）根据全等三角形的对应边相等得到 AB = FE ，进而得出 AE = BF ，根据线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）QDABC @ DFED ，
\ ABC 和 DEF 是对应角， C 和 D 是对应角， AC 和 FD是对应边， AB 和 EF 是对应边；（答案不唯
一）
（2） AC / /DF ．
理由：因为DABC @ DFED，
所以 A = F ，
所以 AC / /DF ．
（3）因为DABC @ DFED，
所以 AB = FE ，
所以 AB - BE = FE = BE ，即 AE = BF ．
因为 AF = 8 ， BE = 2，
所以 AE + BF = AF - BE = 6 ，
所以 AE = 3，
所以 AB = AE + BE = 5 ．
4. （ 2024 春 乳山市 期末） 如图 ，在 DABC 中， AC = AB ， AD ^ BC ，过 点 C 作 CE / / AB ，
BCE = 50°，连接 ED并延长 ED交 AB 于点 F ．
（1）求 CAD ；
（2）证明：DCDE @ DBDF ；
（3）求证： AC = AF + CE ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到 B = BCE = 50°，根据等腰三角形的性质得到 ACD = B = 50°，
根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到CD = BD ，根据平行线的性质得到 E = EFB ， ECD = B ，根据全等
三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：QCE / / AB ， BCE = 50°，
\ B = BCE = 50° ，
Q AC = AB ，
\ ACD = B = 50°，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90° ，
\ CAD = 90° - 50° = 40° ；
（2）证明：Q AB = AC ， AD ^ BC ，
\CD = BD ，
QCE / / AB ，
\ E = EFB ， ECD = B ，
在DCDE 与DBDF 中，
ì E = DFB
í ECD = B ，
CD = BD
\DCDE @ DBDF (AAS) ；
（3）证明：QDCDE @ DBDF ，
\CE = BF ，
Q AC = AB = AF + BF ，
\ AC = AF + CE ．
5. （2024 高青县校级一模）如图，点 E 在 CD上， BC 与 AE 交于点 F ， AB = CB ， BE = BD ，
1 = 2 ．
（1）求证：DABE @ DCBD；
（2）证明： 1 = 3．
【分析】（1）根据等式的性质得 ABE = CBD ，再利用 SAS 即可证明结论成立；
（2）根据全等三角形的对应角相等得 A = C ，对顶角相等得 AFB = CFE ，利用三角形内角和定理可
得结论．
【解答】证明：（1）Q 1 = 2．
\ ABE = CBD ，
在DABE 和DCBD中，
ìAB = CB
í ABE = CBD ，
BE = BD
\DABE @ DCBD(SAS)；
（2）由第一小问得DABE @ DCBD，
\ A = C ，
Q AFB = CFE ，
\ 1 = 3．
6. （2024 春 郓城县期中）如图， DE ^ AB于 E ， DF ^ AC 于 F ，若 BD = CD 、 BE = CF ，
（1）求证： AD 平分 BAC ；
（2）已知 AC = 20 ， BE = 4，求 AB 的长．
【分析】（1）求出 E = DFC = 90° ，根据全等三角形的判定定理得出 RtDBED @ RtDCFD ，推出
DE = DF ，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 AE = AF ， BE = CF ，即可求出答案．
【解答】（1）证明：QDE ^ AB ， DF ^ AC ，
\ E = DFC = 90°，
\在RtDBED 和RtDCFD 中，
ìBD = CD
í ，
BE = CF
\RtDBED @ RtDCFD(HL) ，
\ DE = DF ，
QDE ^ AB ， DF ^ AC ，
\ AD平分 BAC ；
（2）解：Q AED = AFD = 90° ， AD = AD ， DE = DF ，
\RtDADE @ RtDADF(HL)
\ AE = AF ，
Q AC = 20，CF = BE = 4，
\ AE = AF = 20 - 4 = 16 ，
\ AB = AE - BE = 16 - 4 = 12 ．
7. （2024 高青县校级模拟）如图， BAD = CAE = 90°， AB = AD， AE = AC ， AF ^ CB ，垂足为
F ．
（1）求证：DABC @ DADE ；
（2）求 FAE 的度数；
（3）求证：CD = 2BF + DE ．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出DABC @ DADE 的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到 FAE 的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）Q BAD = CAE = 90° ，
\ BAC + CAD = 90° ， CAD + DAE = 90° ，
\ BAC = DAE ，
在DBAC 和DDAE 中，
ìAB = AD
í BAC = DAE ，
AC = AE
\DBAC @ DDAE(SAS) ；
（2）Q CAE = 90°， AC = AE ，
\ E = 45°，
由（1）知DBAC @ DDAE ，
\ BCA = E = 45°，
Q AF ^ BC ，
\ CFA = 90° ，
\ CAF = 45°，
\ FAE = FAC + CAE = 45° + 90° = 135°；
（3）延长 BF 到G ，使得 FG = FB ，
Q AF ^ BG ，
\ AFG = AFB = 90° ，
在DAFB 和DAFG 中，
ìBF = GF
í AFB = AFG ，
AF = AF
\DAFB @ DAFG(SAS)，
\ AB = AG ， ABF = G，
QDBAC @ DDAE ，
\ AB = AD ， CBA = EDA，CB = ED，
\ AG = AD ， ABF = CDA，
\ G = CDA，
Q GCA = DCA = 45°，
在DCGA和DCDA中，
ì GCA = DCA
í CGA = CDA，
AG = AD
\DCGA @ DCDA(AAS)，
\CG = CD ，
QCG = CB + BF + FG = CB + 2BF = DE + 2BF ，
\CD = 2BF + DE ．
8. （2023 秋 潍城区期末）如图，DABC 是等腰三角形， AB = AC ，点 D 在边 BC 上运动（与 B ，C 不重
合），点 E 、 F 分别在边 AB ， AC 上，且始终有 DB = DE ， DC = DF ，连接 BF ，CE ，设 BF 与CE
交于点G ．
（1）求证： BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，随着点 D 的运动， EGF 的大小是否为定值？如果是定值，请求出 EGF 的度数；
如果不是定值，请说明理由．
【分析】（1）设 ABC = a ，根据等腰三角形得 ABC = ACB = a ，再根据 DB = DE ， DC = DF ，得
DEB = ABC = a ， DFC = ACB = a ， 进 而 得 BDE = 180° - 2a ， CDF = 180° - 2a ， 则
BDE = CDF ，由此可得 BDF = EDC ，进而可依据“ SAS ”判定 DBDF 和 DEDC 全等，然后根据全
等三角形的性质可得出结论；
（ 2 ） 设 DBF = b ， DCE = q ， 由 （ 1 ） 可 知 DBDF @ DEDC ， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得
DEC = DBF = b ， DFB = DCE = q ，再由 AB = AC ， BAC = 50°，得 ABC = ACB = a = 65°，进
而 得 BDE = 180° - 2a = 50°， CDF = 180° - 2a = 50°， EDF = 80° ， 则 BDF = 130°， 由 此 可 得
b +q = 50°， 然 后 由 三 角 形 的 外 角 定 理 得 AEC = 65° +q ， AFB = 65° + b ， 则
AEC + AFB = 130° + b +q = 180°，最后在四边形 AEGF 中，利用四边形的内角和等于180° 可求出 EGF
的度数．
【解答】（1）证明：设 ABC = a ，
Q AB = AC ，
\ ABC = ACB = a ，
QDB = DE ， DC = DF ，
\ DEB = ABC = a ， DFC = ACB = a ，
\ BDE = 180° - ( DEB + ABC) = 180° - 2a ， CDF = 180° - ( DFC + ACB) = 180° - 2a ，
\ BDE = CDF ，
\ BDE + EDF = CDF + EDF ，
即 BDF = EDC ，
在DBDF 和DEDC 中，
ìDB = DE
í BDF = EDC ，
DC = DF
\DBDF @ DEDC(SAS)，
\ BF = CE ；
（2）若 BAC = 50°，随着点 D 的运动， EGF 的大小为定值．
设 DBF = b ， DCE = q ，
由（1）可知：DBDF @ DEDC ，
\ DEC = DBF = b ， DFB = DCE = q ，
Q AB = AC ， BAC = 50°，
ABC 1 1\ = ACB = (180° - BAC) = (180° - 50°) = 65° ，
2 2
即 ABC = ACB = a = 65°，
由（1）可知： BDE = 180° - 2a = 50°， CDF = 180° - 2a = 50°，
\ EDF = 180° - BDE - CDF = 180° - 50° - 50° = 80° ，
\ BDF = BDE + EDF = 50° + 80° = 130° ，
\ DBF + DFB = 180° - BDF = 180° -130° = 50°，
即 b +q = 50°，
Q AEC = ABC + DCE = 65° +q ， AFB = ACB + DBF = 65° + b ，
\ AEC + AFB = 65° +q + 65° + b = 130° + b +q = 180° ，
在四边形 AEGF 中， AEC + AFB + BAC + EGF = 360°，
\180° + 50° + EGF = 360° ，
\ EGF = 130° ．
即随着点 D 的运动， EGF = 130°为定值．
题型六 全等三角形的动点问题
解题技巧提炼
动点问题最重要的就是用利用动点表示线段长．
1. （2024 春 垦利区期末）如图， AE 与 BD相交于点C ， AC = EC ， BC = DC ， AB = 6cm ，点 P 从点 A
出发，沿 A B A 方向以3cm / s 的速度运动，点Q从点 D 出发，沿 D E 方向以1cm / s 的速度运动，
P ，Q两点同时出发．当点 P 到达点 A时， P ，Q两点同时停止运动．设点 P 的运动时间为 t s ．
（1）求证： AB / /DE ；
（2）连接 PQ，当线段 PQ经过点C 时，求 t 的值．
【分析】（1）由 SAS 证明DABC @ DEDC(SAS) ，得 A = E ，即可得出结论；
（2）先证 DACP @ DECQ(ASA) ，得 AP = EQ ，再分两种情况：当 0 t 2时， 3t = 6 - t ；当 2 < t 4时，
12 - 3t = 6 - t ，分别解出 t 即可．
【解答】（1）证明：在DABC 和DEDC 中，
ìAC = EC
í ACB = ECD ，
BC = DC
\DABC @ DEDC(SAS)，
\ A = E ，
\ AB / /DE ；
（2）由（1）得： A = E ， ED = AB = 6cm ，
在DACP和DECQ中，
ì A = E
íAC = CE ，
ACP = ECQ
\DACP @ DECQ(ASA)，
\ AP = EQ，
当 0 t 2时，3t = 6 - t ，
解得： t = 1.5 ；
当 2 < t 4时，12 - 3t = 6 - t ，
解得： t = 3；
综上所述，当线段 PQ经过点C 时， t 的值为1.5s或3s ．
2. （2023 秋 铁锋区期末）综合与实践：
已知：如图，在DABC 中， AB = AC = 12厘米， BC = 9 厘米，点 D 为 AB 的中点．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q在线段CA 上由C 点向 A点
运动，运动的时间 t 秒．
①若点Q的运动速度与点 P 的运动速度相等， t = 1时， DBPD 与 DCQP是否全等 （填“是”或“否
)；
②若点Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当 DBPD 与 DCQP全等时，请直接写出点Q的运动速度为
．
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿DABC
三边运动，则经过多长时间，点 P 与点Q第一次在DABC 的哪条边上相遇？此时相遇点距离 B 点的路程是
多少？
【分析】（1）①先求得 BP = CQ = 3 厘米， PC = BD = 6厘米，然后根据等边对等角求得 B = C ，最后根
据 SAS 即可证明；
②因为VP VQ ，所以 BP CQ ，又 B = C ，要使DBPD 与DCQP全等，只能 BP = CP = 4.5 厘米，根据全
等得出CQ = BD = 6厘米，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ > VP ，只能是点Q追上点 P ，即点Q比点 P 多走 AB + AC 的路程，据此列出方程，解这个方
程即可求得．
【解答】解：（1）①Qt = 1，
\ BP = CQ = 3厘米，
Q AB = 12厘米， D 为 AB 中点，
\ BD = 6 厘米，
又QPC = BC - BP = 9 - 3 = 6 （厘米），
\ PC = BD ，
Q AB = AC ，
\ B = C ，
在DBPD 与DCQP中，
ìBP = CQ
í B = C ，
BD = PC
\DBPD @ DCQP(SAS) ；
故答案为：是；
②QVP VQ ，
\ BP CQ ，
又Q B = C ，
要使DBPD @ DCPQ ，只能 BP = CP = 4.5 厘米，
QDBPD @ DCPQ ，
\CQ = BD = 6 厘米．
\点 P t BP 4.5的运动时间 = = = 1.5，
3 3
V CQ 6此时 Q = = = 4（厘米 / 秒）．t 1.5
\当DBPD 与DCQP全等时，点Q的运动速度为 4 厘米 / 秒．
故答案为：4 厘米 / 秒；
（2）因为VQ > VP ，只能是点Q追上点 P ，即点Q比点 P 多走 AB + AC 的路程，
设经过 x 秒后 P 与Q第一次相遇，依题意得 4x = 3x + 2 12 ，
解得 x = 24（秒 )，
此时 P 运动了 24 3 = 72 （厘米），
又QDABC 的周长为 33 厘米，
\72 - 33 2 = 6（厘米），
\经过 24 秒，点 P 与点Q第一次在DABC 的 BC 边上相遇；此时相遇点距离 B 点的路程是 6 厘米．
3. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为10cm，点 E 在 AB 边上， BE = 6cm ．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 4cm / s 的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q在线段CD上由C 点向 D 点运
动．
①若点Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，DBPE 与DCQP是否全等．请说明理由．
②若点Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使DBPE 与DCQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正方形
ABCD 四边运动，求经过多长时间点 P 与点Q第一次在正方形 ABCD 边上的何处相遇？相遇点在何处？
【分析】（1）①由“ SAS ”可证DBPE @ DCQP；
②由全等三角形的性质可得 BP = PC ，列出方程可求 t 的值，即可求解；
（2）设经过 x 秒时，点 P 与点Q第一次相遇，由点 P 与点Q的路程差 = 30，列出方程可求解．
【解答】解：（1）①DBPE @ DCQP，理由如下：
经过 1 秒后， BP = 4cm，CQ = 4cm ，
\ BP = CQ ， PC = 6cm，
\ BE = PC ，
在DBPE 和DCQP中，
ìBP = CQ
í B = C = 90°，
BE = PC
\DBPE @ DCQP(SAS)；
②设经过 t 秒后，DPBE @ DPCQ，
当点Q与点 P 速度不相同时， BP = PC ，此时DPBE @ DPCQ，
\4t = 10 - 4t ，
t 5解得 = ，
4
又CQ = BE = 6cm ，
v 6 24\ Q = 5 = (cm / s) ；5
4
（2）设经过 x 秒时，点 P 与点Q第一次相遇，
由题意可得： 4.8x - 4x = 30 ，
75
解得： x = ，
2
75
\点 P 运动的路程 = 4 = 150(cm) ，
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75
\经过 秒点 P 与点Q第一次相遇，相遇点在点 A处．
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4. （2022 春 神木市期末）如图 1， AE 与 BD相交于点C ． AC = EC ， BC = DC ．
（1）求证： AB / /DE ；
（2）如图 2，过点C 作 PQ交 AB 于 P ，交 DE 于Q，求证：CP = CQ；
（3）如图 3，若 AB = 8cm，点 P 从点 A出发，沿 A B A 方向以 3cm / s 的速度运动，点Q从点 D 出发，
沿 D E 方向以1cm / s 的速度运动， P 、Q两点同时出发．当点 P 到达点 A时， P 、Q两点同时停止运动，
设点 P 的运动时间为 t(s) ．连接 PQ，当线段 PQ经过点C 时，求出 t 的值．
【分析】（1）证明出全等之后得到一组内错角相等即可求证；
（2）利用（1）平行的结论得到一组角度相等，可以求证三角形全等，即可得到结论；
（3）由（2）可知， DDCQ @ DBCP 始终成立，即 DQ = BP ，分两种情况，一种是 P 从 A到 B ，另外一种
是 P 从 B 到 A．
【解答】（1）证明：在DABC 与DEDC 中，
ìAC = EC
Q í ACB = ECD ，
BC = DC
\DABC @ DEDC(SAS)，
\ A = E ，
\ AB / /DE ．
（2）证明：Q AB / /DE ，
\ B = D ，
在DDCQ 和DBCP中，
ì B = D
íCD = BC ，
DCQ = BCP
\DDCQ @ DBCP(ASA)，
\CP = CQ ．
（3）解：由（2）可知：当线段 PQ经过点C 时，DDCQ @ DBCP ，
可得 DQ = BP ，
\8 - 3t = t 或3t - 8 = t ，
\t = 2或 4，
\当 t = 2(s) 或 4(s) 时，线段 PQ经过点C ．
