4.6 实数
知识点一 实数
◆概念：有理数与无理数统称为实数．
◆分类：
实数按定义分类：
ì ì整数ü 有限小数或
有理数í
实数í 分数 无限循环小数
无理数 无限不循环小数
按正负分类：
ì ì正有理数
正实数í
正无理数
实数í0
ì负有理数负实数
í 负无理数
知识点二 实数比较大小
◆实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应．
◆实数比较大小：在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
（1）作差法
（2）作商法
（3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而
确定两个无理数的大小．
（4）比较被开方数：若 a>b>0，则 a > b ， 3 a > 3 b ．
1 1
（5）倒数法：设 a>0，b>0，若 > ，则 aa b
（6）数轴法：如果两个数在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数．
（7）放缩法：如果 a>c，c>b，那么 a>b．
知识点三 实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
◆加法交换律：a+b=b+a
◆加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即 ab=ba
◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c=a
（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相
加．即 a（b+c）=ab+ac．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
①先乘方、开方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
题型一 辨析题
解题技巧提炼
要熟练掌握实数的定义
1. （2024 春 滨城区期末）下列说法正确的是 ( )
A 1 1．若 a > b ，则 < B． 64 的平方根是 ±8
a b
C．无限小数都是无理数 D．若 a < 0 ， -1 < b < 0，则 ab > ab2
【分析】利用实数的相关概念及平方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：若 a = 1，b = -1， a b 1 1> ，而 > ，则 A不符合题意；
a b
64 = 8，其平方根为 ± 8 = ±2 2 ，则 B 不符合题意；
无限不循环小数是无理数，则C 不符合题意；
若 a < 0 ， -1 < b < 0，那么 ab > 0， ab2 < 0 ，故 ab > ab2 ，则 D 符合题意；
故选： D ．
2. （2024 春 河东区校级月考）下列说法中，不正确的有 ( )
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③ a2 的算术平方根一定是 a；
④算术平方根不可能是负数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】如果 x2 = a(a…0) ，则 x 是 a的平方根．若 a > 0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫 a的算
术平方根；若 a = 0，则它有一个平方根，即 0 的平方根是 0，0 的算术平方根也是 0，负数没有平方根．①②③④
分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断．
【解答】解：根据平方根概念可知：
①负数没有算术平方根，故错误；
②反例：0 的算术平方根是 0，故错误；
③当 a < 0 时， a2 的算术平方根是 -a，故错误；
④算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有①②③共 3 个．
故选：C ．
3. （2024 春 禹城市月考）下列结论正确的是 ( )
A．同旁内角互补
B． 81 的平方根是 ±9
C．平方根等于它本身的数是 1 和 0
D． a2 +1一定是正数
【分析】根据同旁内角的性质，平方根的定义，算术平方根的意义逐一分析判断即可．
【解答】解： A、两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
B 、 81 = 9，9 的平方根是 ±3，即 81 的平方根是 ±3，故此选项不符合题意；
C 、平方根等于它本身的数是 0，1 的平方根是 ±1，故此选项不符合题意；
D 、Qa2 +1 > 0，
\ a2 +1 > 0 ，
即 a2 +1一定是正数，故此选项符合题意；
故选： D ．
4. （2024 春 宁津县校级期中）以下四个说法：①负数没有平方根；②一个正数一定有两个平方根；③平
方根等于它本身的数是 0 和 1；④一个数的立方根不是正数就是负数．其中正确的说法有 ( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可．
【解答】解：①负数没有平方根，故①正确；
②一个正数一定有两个平方根，故②正确；
③平方根等于它本身的数是 0，故③错误；
④0 的立方根是 0，故④错误；
故选：C ．
5. （2024 春 安丘市月考）下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．② 81 的平方根是 ±3．③ -125
5 1
的立方根是 ±5 ．④ 是一个分数．⑤ 是一个无理数．其中正确的有 ( )个．
2 p
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案．
【解答】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意；
② 81 的平方根是 ±3，故②符合题意；
③ -125的立方根是 -5 ，故③不符合题意；
5
④ 是一个无理数，故④不符合题意；
2
1
⑤ 是一个无理数，故⑤符合题意；
p
故选： A．
题型二 实数的分类
解题技巧提炼
按定义分为有理数和无理数，按正负性质分正实数、0、负实数
1. （2024 春 阳谷县期中）在实数：3.14， 3 2 ， 2.1231223 (1和 3 之间的 2 逐次加 1 个）， 8 ，4，
p 22
， 中，无理数有 ( )
3 7
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形
式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可．
【解答】解：3.14 是有限小数，是有理数；
3 2 是无限不循环小数，是无理数；
2.1231223 (1和 3 之间的 2 逐次加 1 个），是无限不循环小数，是无理数；
8 是无限不循环小数，是无理数；
4 是整数，是有理数；
p
是无限不循环小数，是无理数；
3
22
是分数，是有理数，
7
综上所述：无理数共有 4 个．
故选：C ．
2. （2024 春 乐陵市校级月考）将下列各数填在相应的集合里．
3 512 ，p ，3.1415926， -0.456， 3.030030003 （每两个 3 之间依次多 1 个 0) ，0 5， ， 3 9 ， (-7)2 ，
11
0.1 ．
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；
整数集合：{ }．
【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的
数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于 0 的所有实数，由此即可求解．
5
【解答】解：根据定义知：有理数有： 3 512 ，3.1415926， -0.456，0， ， (-7)2 ；
11
无理数有：p ，3.030030003 ， - 3 9 ， 0.1 ；
正实数有： 3 512 ，p ，3.1415926，3.030030003 5 ， ， (-7)2 ， 0.1 ；
11
整数有： 3 512 ，0， (-7)2 ；
故答案为： 3 512 ，3.1415926， -0.456 5，0， ， (-7)2 ；p ，3.030030003 ， - 3 9 ， 0.1 ； 3 512 ，p ，
11
3.1415926，3.030030003 5 ， ， (-7)2 ， 0.1 ； 3 512 ，0， (-7)2 ；
11
3. （2024 春 沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
p
① - ，②0，③ -(-32 )，④ 0.1010010001 （两个 1 之间的 0 逐渐增加），⑤ -3.2 22 1，⑥ ，⑦ - | - |．
3 7 3
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
正有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可．
【解答】解：整数集合：②③．
负分数集合：⑤⑦．
正有理数集合：③⑥．
无理数集合：①④．
故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④．
4. （2024 春 沂水县校级月考）把下列各数分别填入相应的集合中．
3
， 9 ，p ，3.14， - 3 27 ，0， -5.12345 ， - 3 ．
5
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }．
【分析】（1）根据有理数的意义，即可解答；
（2）根据无理数的意义，即可解答；
（3）根据正实数的意义，即可解答．
【解答】解：（1）有理数集合：{3 ， 9 ，3.14， - 3 27 ， 0 }；
5
（2）无理数集合：{p ， -5.12345 ， - 3 }；
（3 3）正实数集合：{ ， 9 ，p ，3.14 }；
5
3
故答案为：（1） ， 9 ，3.14， - 3 27 ，0；
5
（2）p ， -5.12345 ， - 3 ；
3 3（ ） ， 9 ，p ，3.14．
5
题型三 实数的相反数
解题技巧提炼
两数相加为 0，两数互为相反数
1. （2024 春 曲阜市期末）下列各组数中，互为相反数的组是 ( )
A． -2 与 (-2)2 B 1． -2 和 3 -8 C． - 与 2 D． | -2 |和 2
2
【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．
【解答】解： A、 -2 与 (-2)2 = 2，符合相反数的定义，故选项正确；
B 、 -2 与 3 -8 = -2不互为相反数，故选项错误；
C 1、 - 与 2 不互为相反数，故选项错误；
2
D 、 | -2 |= 2，2 与 2 不互为相反数，故选项错误．
故选： A．
2. （2024 岚山区一模） 5 的相反数是 ( )
A． 5 B． -5 C． - 5 D．5
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解： 5 的相反数是 - 5 ．
故选：C ．
3. （2024 春 历城区期末）实数 2 的相反数是 ( )
A． 2 B．2 C 2． - 2 D．
2
【分析】在实数 2 的前边加上“ - ”，求出实数 2 的相反数即可．
【解答】解：实数 2 的相反数是 - 2 ．
故选：C ．
4. （2024 兰山区校级模拟）实数 2023 的相反数是 ( )
A． -2023 B 1 C 1． - ． D．2023
2023 2023
【分析】根据相反数的意义即可解答．
【解答】解：实数 2023 的相反数是 -2023，
故选： A．
5. （2024 鄄城县一模） 3 64 的相反数是 ( )
A．4 B． -4 C．2 D． -2
【分析】先根据立方根的定义求出 64 的立方根，然后再求其相反数即可．
【解答】解： 3 64 = 4 ，4 的相反数是 -4 ，
\ 3 64 的相反数是 -4 ，
故选： B ．
6. （2022 秋 市北区校级月考）如图，将 1、 2 、 3 、 6 按下列方式排列，若规定 (m,n) 表示第m 排
从左向右数第 n个数，则 (20,9)表示的数的相反数是 ．
【分析】从题中数据的排列规律得到第 n排有 n个数，再计算出前面 19 排数据的个数，而数据的排列为 4
个一循环，从而确定 (20,9)所表示的数为 3 ，即可求出答案．
【解答】解：从题中数据的排列规律得到第 n排有 n个数，数据的排列为 4 个一循环，
Q19 1 2 3 4 19 (1+19)排共有数字的个数为 + + + + 5 + +19 = = 190，
2
而190 + 9 = 4 49 + 3，
\(20,9) 所表示的数为 3 ，
\ 3 的相反数为 - 3 ．
故答案为： - 3 ．
题型四 实数的倒数
解题技巧提炼
两数相乘为 1，两数互为倒数
1. （2024 东昌府区模拟）已知实数 a =| -2024 | ，则实数 a的倒数为 ( )
A．2024 B 1． C． -2024 D 1． -
2024 2024
【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可．
【解答】解： a =| -2024 |= 2024 ，2024 1的倒数为 ，
2024
故选： B ．
2. （2024 春 单县期中） - 2 的倒数是 ( )
A 2 B 2． - ． - C． 2 D 2．
2 2
2
【分析】根据倒数定义可知， - 2 的倒数是 - ．
2
2
【解答】解： - 2 的倒数是 - ．
2
故选： B ．
题型五 实数的绝对值
解题技巧提炼
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0
1. （2024 胶州市一模） - 2 的绝对值是 ( )
A 2． B． - 2 C 2． 2 D． -
2 2
【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．
【解答】解： - 2 的绝对值是 2 ，
故选：C ．
2. （2024 槐荫区三模）实数 -3的绝对值是 ( )
A 3 B 1． - ． C．3 D 1． -
3 3
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：实数 -3的绝对值是：3．
故选：C ．
3. （2024 春 东港区月考） 3 - 5 的绝对值等于 ．
【分析】根据差的绝对值是大数减小数， 可得答案 ．
【解答】解： | 3 - 5 |= 5 - 3 ，
故答案为： 5 - 3 ．
题型六 在数轴上表示实数
解题技巧提炼
数轴上的点和实数一一对应
1. （2024 春 庆云县期末）如图，长方形 ABCD 中， AB = 3， AD = 1， AB 在数轴上，若以点 A为圆心，
AC 的长为半径作弧交数轴于点 M ，则点 M 表示的数为 ( )
A． 10 -1 B． 5 -1 C．2 D． 5
【分析】根据勾股定理，可得 AC 的长，根据圆的性质，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
AC = AB2 + BC 2 = 10 ，
AM = AC = 10 ，
M 点的坐标是 10 -1，
故选： A．
2. （2024 春 惠民县期末）如图，已知数轴上的点 A， B 分别表示数 - 2 ， 2 ，则下列各数中是无理数
且对应的点在线段 AB 上的是 ( )
A．0 B． 2 -1 C． 3 -9 D．p
【分析】先估算 2,- 2 的大小，再确定线段 AB 上的点对应的数的取值范围，然后对各个选项的数所对应
的点的位置进行判断，从而得到答案即可．
【解答】解：Q 1 < 2 < 2，
\ -2 < - 2 < -1，
\线段 AB 上的点对应的数是小于 2 且大于 - 2 ，
A．Q - 2 < 0 < 2 ，\0对应的点在线段 AB 上，但 0 是有理数，故此选项不符合题意；
B ．Q 1 < 2 < 2，\ 0 < 2 -1 < 1，是无理数，故此选项符合题意；
C ．Q 3 -9 = -3,-3 < - 2 ，\-3对应的点在线段 BA 的延长线上，故此选项不符合题意；
D ．Q p > 2 ，\p 对应的点在线段 AB 的延长线上，故此选项不符合题意；
故选： B ．
3. （2024 春 蒙阴县期末）如图，面积为 7 的正方形 ABCD 的顶点 A在数轴上，且点 A表示的数为 1，若
点 E 在数轴上，（点 E 在点 A的右侧）且 AB = AE ，则点 E 所表示的数为 ( )
A．1+ 7 B． 2 + 7 C．3 + 7 D． 4 + 7
【分析】根据正方形面积公式求出边长，表示点 E 即可．
【解答】解：Q正方形 ABCD 的面积为 7，
\ AB2 = 7 ，
\ AB = 7 ，
\ AE = AB = 7 ，
Q点 A表示的数为 1，
\点 E 表示的数为1+ 7 ．
故选： A．
4. （2024 滕州市校级模拟）如图所示：数轴上点 A所表示的数为 a，则 a的值是 ( )
A． 5 +1 B． - 5 +1 C． 5 D． 5 -1
【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示 -1的点和 A之间的
线段的长，进而可推出 a的值．
【解答】解：图中直角三角形的两直角边为 1，2，
\斜边长为 12 + 22 = 5 ，
那么 -1和 A之间的距离为 5 ，
那么 a的值是： 5 -1，
故选： D ．
5. （2023 秋 高青县期末）如图，面积为 5 的正方形 ABCD 的顶点 A在数轴上，且表示的数为 1，若点 E
在数轴上，（点 E 在点 A的右侧）且 AB = AE ，则 E 点所表示的数为 ( )
A． 5 B．1 2 + 5+ 5 C． D． 5 + 2
2
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得 AD = AE = 5 ，结合 A点所表示的数及 AE 间距离可得
点 E 所表示的数．
【解答】解：Q正方形 ABCD 的面积为 5，且 AD = AE ，
\ AD = AE = 5 ，
Q点 A表示的数是 1，且点 E 在点 A右侧，
\点 E 表示的数为1+ 5 ．
故选： B ．
题型七 利用数轴比较实数大小
解题技巧提炼
实数在数轴上的大小为左小右大
1. （2024 济南模拟）已知实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． (-a) + b < 0 D． | b |<| a |
【分析】根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可．
【解答】解： A．由数轴可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 -3 < a + b < -1 < 0 ，故 A选项不符合题意．
B ．由数轴可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 ab < 0，故 B 选项不符合题意．
C ．由数轴可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 2 < -a < 3，可得 0 < 2 < (-a) + b < 4 ，故 C 选项不符合题
意．
D ．由数轴可知： -3 < a < -2 ， 0 < b < 1，可得 2 <| a |< 3， 0 <| b |< 1，即 | b |<| a | ，故 D 选项符合题意．
故选： D ．
2. （2024 槐荫区三模）实数m ， n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( )
A．mn > 0 B．m > -n C． | m |>| n | D．m +1 > n +1
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此
题．
【解答】解： A．由图可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得mn < 0，那么 A错误，故 A不符合题意．
B ．由图可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得m > -n ，那么 B 正确，故 B 符合题意．
C ．由图可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得 | m |<| n |，那么C 错误，故C 不符合题意．
D ．由图可知， -1 < m < 0 < 2 < n < 3，得 n +1 > m +1，那么 D 错误，故 D 不符合题意．
故选： B ．
3. （2024 兖州区二模）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A． a < -2 B．b < 1 C． -a > b D． a > b
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
-2 < a < 0 < 1 < b < 2；
所以： A、 B 、 D 都是错误的；
故选：C ．
4. （2024 济南三模）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A． a > b B． -a < b C． | a |>| b | D． a + b > 0
【分析】直接利用数轴上 a，b 的位置进行比较得出答案．
【解答】解：如图所示： A、 a < b ，故此选项错误；
B 、 -a > b ，故此选项错误；
C 、 | a |>| b | ，正确；
D 、 a + b < 0，故此选项错误；
故选：C ．
5. （2024 春 河东区期末）如图，数轴上表示 0，1， 3 的点分别为 A， B ，C ，点 B 到点C 的距离与点
B 到点 D 的距离相等，则点 D 所表示的数为 ( )
A． 3 -1 B． 2 -1 C． 2 - 3 D． 2 + 3
【分析】根据数轴上两点之间的距离列出方程求解即可．
【解答】解：Q点 B 到点C 的距离与点 B 到点 D 的距离相等，
\ 1- x = 3 -1，
\ x = 2 - 3 ，
\点 D 所表示的数为 2 - 3 ．
故选：C ．
6. （2024 菏泽一模）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是 ( )
A． a < b B． | a |>| b | C． a + b < 0 D a． > 0
b
【分析】根据数轴上点的位置可得 -2 < a < -1 < 0 < b < 1，据此逐一判断式子符号即可得到答案．
【解答】解：由数轴可知， -2 < a < -1 < 0 < b < 1，
\ | a |>| b |,a + b a< 0, < 0，
b
\四个选项中只有 D 选项符合题意，
故选： D ．
7. （2024 潍城区一模）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A． ab 1 1> 0 B． > C． | a |=| b | D． a-2 < b-2
a b
【分析】根据图示，可得 -2 < a < -1， 0 < b < 1，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得 -2 < a < -1， 0 < b < 1，
Qa < 0，b > 0 ，
\ab < 0，
\选项 A不符合题意；
Qa < 0，b > 0 ，
1 0 1\ < ， > 0，
a b
1 1
\ < ，
a b
\选项 B 不符合题意；
Q-2 < a < -1， 0 < b < 1，
\1 <| a |< 2 ， 0 <| b |< 1，
\| a |>| b |，
\选项C 不符合题意；
Q-2 < a < -1， 0 < b < 1，
\1 < a2 < 4 ， 0 < b2 < 1，
\a2 > b2 ，
\a-2 < b-2 ，
\选项 D 符合题意．
故选： D ．
8. （2024 鄄城县三模）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． | a |>| b | D． a +1 > b +1
【分析】根据有理数的加法法则判断 A选项；根据有理数的乘法法则判断 B 选项；根据绝对值的定义判断C
选项；根据不等式的基本性质判断 D 选项．
【解答】解：
A选项，Qa < 0，b > 0 ， | a |>| b | ，
\a + b < 0，故该选项不符合题意；
B 选项，Qa < 0，b > 0 ，
\ab < 0，故该选项不符合题意；
C 选项， | a |>| b | ，故该选项符合题意；
D 选项，Qa < b，
\a +1 > b +1，故该选项不符合题意；
故选：C ．
9. （2024 阳信县一模）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是 ( )
A． a > -2 B． a + b > 0 C． | a |<| b | D．b - a > 0
【分析】由数轴可知， -3 < a < -2 ，1 < b < 2，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知， -3 < a < -2 ，1 < b < 2，
A、Q-3 < a < -2，\a < -2，故选项 A不符合题意；
B 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\a + b < 0，故选项 B 不符合题意；
C 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\3 >| a |> 2， 2 >| b |> 1，\| a |>| b |，故选项C 不符合题意；
D 、Q-3 < a < -2，1 < b < 2，\2 < -a < 3 ，\3 < b - a < 5，\b - a > 0，故选项 D 符合题意；
故选： D ．
10. （2024 济南模拟）实数 a，b ， c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A．b - c > 0 B． ac > 0 C．b + c < 0 D． ab < 1
【分析】根据数轴可知： -3 < a < -2 < b < -1 < 0 < c < 1，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知： -3 < a < -2 < b < -1 < 0 < c < 1，
A、Q-2 < b < -1， 0 < c < 1，\b - c < 0，故选项 A不符合题意；
B 、Q-3 < a < -2， 0 < c < 1，\ac < 0 ，故选项 B 不符合题意；
C 、Q-2 < b < -1， 0 < c < 1，\b + c < 0 ，故选项C 符合题意；
D 、Q-3 < a < -2 < b < -1，\ab > 1，故选项 D 不符合题意；
故选：C ．
题型八 比较实数大小
解题技巧提炼
一般可以用做差法比较实数大小
1. （2024 春 齐河县校级月考）已知 M = 5 + 2 ， N = 5 - 2 ，则 M 与 N 的关系为 ( )
A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数
【分析】根据互为倒数的性质进行计算．
【解答】解： MN = ( 5 + 2)( 5 - 2) = 5 - 4 = 1，
\M 与 N 的关系为互为倒数．
故选： D ．
2. （2024 1春 宁津县校级月考）已知 0 < a < 1，则 a ， a2 ， 之间的大小关系为 ( )
a
A 1 1 1 1． > a2 > a B． a > > a2 C． a2 > a > D． > a > a2
a a a a
1
【分析】根据 0 < a < 1，可知 a > a， a2 < a < 1， > 1，即可得出结果．
a
【解答】解：Q0 < a < 1，
\ a > a， a2 < a < 1 1， > 1，
a
1
\a2 < a < ，
a
故选： D ．
3. （2024 春 滨城区期末）比较大小（填 > 、< 或 = 号）．
（1） 2 3 4；
（2 5 -1） 1；
2
（3）4 3 50 ．
【分析】（1）利用平方法进行比较大小即可；（2）利用比差法进行比较大小即可；（3）利用立方法进行
比较大小即可．
【解答】解：（1）Q (2 3)2 = 12,42 = 16 ，12 < 16 ，
\ 2 3 < 4；
2 Q 5 -1 1 5 - 3 5 - 9（ ） - = = < 0 ，
2 2 2
5 -1
\ < 1；
2
（3）Q 43 = 64,( 3 50)3 = 50,64 > 50 ，
\4 > 3 50 ．
故答案为：（1）< ；（2）< ；（3） > ．
4. （2024 河东区二模）比较大小：3 2 4．
【分析】求出3 2 = 18 ， 4 = 16 ，再进行比较即可．
【解答】解：3 2 = 32 2 = 18 ， 4 = 16 ，
Q 18 > 16 ，
\3 2 > 4．
故答案为： > ．
5. （2024 春 梁山县期末）比较大小：3 5 5 3 ．（填“ > ”或“< ” )
【分析】先把根号前面的 3 和 5 移到根号内变成 9 和 25，然后进行计算，再比较被开方数的大小即可．
【解答】解：3 5 = 9 5 = 45,5 3 = 25 3 = 75 ，
Q45 < 75，
\ 45 < 75 ，即3 5 < 5 3 ，
故答案为：< ．
题型九 猜测数轴上的实数
解题技巧提炼
数轴上可以表示实数
1. （2024 春 德城区校级月考）把无理数 24 ， 11， 7 ， 5 表示在数轴上，在这四个无理数中，被
墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：Q4 < 5 < 9，
\ 2 < 5 < 3，不符合题意；
Q4 < 7 < 9 ，
\ 2 < 7 < 3，不符合题意；
Q9 < 11 < 16 ，
\ 3 < 11 < 4 ，符合题意；
Q16 < 24 < 25，
\ 4 < 24 < 5，不符合题意；
故答案为： 11．
2. （2024 春 乐陵市校级月考）如图，将数 - 5, 7, 13 表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数
是 ．
【分析】根据数轴确定出被覆盖的数的范围，再根据无理数的大小确定出答案即可．
【解答】解：由图可知，1 <被覆盖的数< 3 ，
Q- 5 、 7 、 13 只有 7 在此范围内，
\被墨迹覆盖的数是 7 ．
故答案为： 7
题型十 实数的新定义
解题技巧提炼
根据给出的定义进行运算
ìa(a…b) ìb(a…b)1. （2024 春 乐陵市期末）对任意两个实数 a， b 定义两种运算： a b = í ， a b = ，
b(a < b)
í
a(a < b)
并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如 (-2) 3 = 3 ， (-2) 3 = -2 ， [(-2) 3] 2 = 2，那么
( 5 2) 3 27 的值为 ( )
A．2 B． 5 C．3 D．3 5
【分析】直接利用已知运算公式，结合运算规律计算得出答案．
【解答】解：由题意可得： ( 5 2) 3 27
= 5 3
= 5 ．
故选： B ．
ì x - y (x…y)
2. （2024 春 莱芜区校级月考）对于任意的正数 x 、 y 的新定义运算 为： x y í ，计算
x + y (x < y)
(18 12) + (27 32)的结果为 ( )
A． 7 2 B． 3 C． 7 2 - 3 D． 7 2 + 3
【分析】先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可．
【解答】解： (18 12) + (27 32)
= 18 - 12 + 27 + 32
= 3 2 - 2 3 + 3 3 + 4 2
= 7 2 + 3 ．
故选： D ．
ì m - n(m…n)
3. （2024 春 岱岳区期中）对于任意两个正数m 、 n，定义运算※为：m ※ n = í ，计算 (8
m + n(m < n)
※3) (3※8) 的结果为 ( )
A． -3 B． -5 C．5 D． -3或 5
【分析】直接利用运算规律，进而代入得出答案．
【解答】解：由题意可得：
(8※3) (3※8)
= ( 8 - 3) ( 3 + 8)
= 8 - 3
= 5 ．
故选：C ．
4. （2024 春 高密市期中）定义新运算：对于任意实数 a和 b ，都有 a※ b = 3 a + ab - b -1，例如 8※
4 = 3 8 + 8 4 - 4 -1 = 29．若 (-64)※ x 的值是非负数，则 x 的取值范围为 ．
【分析】根据 a※ b = 3 a + ab - b -1，可得 (-64)※ x = 3 -64 - 64x - x -1，再根据 (-64)※ x 的值是非负数，
可得 3 -64 - 64x - x -1…0，据此求出 x 的取值范围即可．
【解答】解：Qa ※b = 3 a + ab - b -1，
\(-64) ※ x = 3 -64 - 64x - x -1，
Q(-64) ※ x 的值是非负数，
\ 3 -64 - 64x - x -1…0，
\-4 - 64x - x -1…0 ，
解得 x 1- ．
13
1
故答案为： x - ．
13
5. （2024 春 东港区校级月考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于 -1，记为 i2 = -1，这个数 i 叫
做虚数单位，把形如 a + bi(a ， b 为实数）的数叫做复数，其中 a叫这个复数的实部， b 叫做这个复数
的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
(3 - i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-1+ 3)i = 7 + 2i(1- i) (2 + i) = 1 2 + i - 2 i - i2 = 2 + i - 2i +1 = 3 - i
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空： i3 = ， i4 = ；
（2）计算： (1- 2i) (4 - 5i) ；
（3）计算： i + i2 + i3 + i4 +L+ i2023 ．
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用多项式乘多项式法则，以及题中的新定义计算即可求出值；
（3）原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：（1） i3 = i2i = -i ， i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1，
故答案为： -i ，1；
（2） (1- 2i) (4 - 5i)
= 1 4 -1 5i - 4 2i +10i2
= 4 - 5i - 8i -10
= -6 -13i ；
（3） i + i2 + i3 + i4 +L + i2023
= i -1- i +1+L + i -1- i
= -1．
6. （2023 秋 莱西市期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于
是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图
1、图 2 所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
观察判断：
小明共剪开了 条棱；
动手操作：
现在小明想将剪断的图 2 重新粘贴到图 1 上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如
图3) ，请你帮助小明在图 1 中补全图形；
解决问题：
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的 5 倍，并且纸盒所有棱长的和
是880cm，求这个纸盒的体积．
附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
若 A、 B 、C 为数轴上三点，若点C 到 A的距离是点C 到 B 的距离 2 倍，我们就称点C 是【 A， B 】的好
点．例如，如图 1，点 A表示的数为 -1，点 B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点 A的距离是 2，到点 B 的
距离是 1，那么点C 是【 A， B 】的好点；又如，表示 0 的点 D 到点 A的距离是 1，到点 B 的距离是 2，那
么点 D 就不是【 A， B 】的好点，但点 D 是【 B ， A】的好点．
知识运用：如图 2， M 、 N 为数轴上两点，点 M 所表示的数为 -2 ，点 N 所表示的数为 4．
（1）数 所表示的点是【 M ， N 】的好点；
（2）如图 3， A、 B 为数轴上两点，点 A所表示的数为 -20，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁 P
从点 B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A停止．当 t 为何值时， P 、 A和 B 中恰有一个点
为其余两点的好点？
【分析】观察判断：观察图形得小明共剪了 8 条棱．
动手操作：正确拼接即可．
解决问题：设高为 acm，则长与宽相等为5acm，由长方体纸盒所有棱长的和是880cm，列方程计算即可．
附加题
（1）设点 H 是【 M ， N 】的好点， HM = 2HN ，又 HM + HN = MN = 4 - (-2) = 6，再计算即可．
（2）分四种情况： P 是【 A， B 】好点， P 是【 B ， A】好点， B 是【 P ， A】好点， A是【 P ， B 】
好点，再列方程计算即可．
【解答】解：观察判断：
小明共剪了 8 条棱，
故答案为：8．
动手操作：
如图，共四种情况：
解决问题：
Q长方体纸盒的底面是一个正方形，
\设高为 acm，则长与宽相等为5acm，
Q长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
\4(a + 5a + 5a) = 880，
\a = 20 ，
答：这个长方体纸盒的体积为 20 100 100 = 200000（立方厘米）．
附加题
（1）设点 H 是【 M ， N 】的好点，
\ HM = 2HN ，
当 H 在 M 、 N 之间时，
\ HM + HN = MN = 4 - (-2) = 6 ，
\2HN + HN = 6，
\ HN = 2，
\ H 表示的数为 4 - 2 = 2，
当 H 在 N 右边时，
设 H 表示的数为 h，
\h - (-2) = 2(h - 4)，
\h = 10 ，
故答案为：2 或 10．
（2）当 P 是【 A， B 】好点时，
即 PA = 2PB ，
\60 - 2t = 2 2t ，
\t = 10．
当 P 是【 B ， A】好点时，
即 PB = 2PA，
\2t = 2(60 - 2t) ，
\t = 20 ．
当 B 是【 A， P 】好点时，
即 BA = 2BP ，
\60 = 2 2t ，
\t = 15．
当 A是【 B ， P 】好点时，
即 AB = 2AP ，
\60 = 2(60 - 2t) ，
\t = 15．
综上所述，当 t = 10秒或 20 秒或 15 秒时， P 、 A和 B 中恰有一个点为其余两点的好点．
题型十一 数轴动点
解题技巧提炼
用代数式表示点的坐标
1. （2024 春 仙桃校级月考）如图，数轴上点 A表示的数为 8，点 B 位于点 A左侧，且 AB = 22 ．
（1）写出数轴上点 B 表示的数 ．
（2） | 5 - 3 |表示 5 与 3 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 3 两数在数轴上所对的两点之间的距离．如
| x - 3 | 的几何意义是数轴上表示实数 x 的点与表示实数 3 的点之间的距离．试探索：
①若 | x - 8 |= 3 ，则 x = ；
②求 | x +14 | + | x - 8 |的最小值？以及此时 x 的取值范围是？
（3）动点 P 从O点出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t(t > 0)秒．求当
t 为多少秒时， A， P 两点之间的距离为 2．
【分析】（1）根据题意直接计算即可；
（2）根据绝对值的几何意义，利用数轴即可得到结果；
（3）根据题意， AP = 2 ，易得此时 P 点表示的数为 6 或 10，此时 P 点运动的距离为 4t ，列方程求解即
可．
【解答】解：（1）点 B 表示的数为：8 - 22 = -14 ，
故答案为： -14．
（2）①根据 | x - 8 | 的几何意义，可得 x = 8 ± 3，解得： x = 5 或 11；
故答案为：5 或 11；
②根据绝对值的几何意义， | x +14 | + | x - 8 |的最小值为 22，
此时 x 的取值范围是： -14 x 8．
（3）因为 A， P 两点之间的距离为 2，所以 P 点表示的数为 6 或 10；
根据题意列方程得： 4t = 6或 10，
解得 t = 1.5 或 2.5；
因此，当 t 为 1.5 秒或 2.5 秒时， A， P 两点之间的距离为 2．
2. （2022 秋 通川区期末）如图，数轴上点 M ， N 对应的实数分别为 -6 和 8，数轴上一条线段 AB 从点 M
出发（刚开始点 A与点 M 重合），以每秒 1 个单位的速度沿数轴在 M ， N 之间往返运动（点 B 到达
点 N 立刻返回），线段 AB = 2 ，设线段 AB 的运动时间为 t 秒．
（1）如图 1，当 t = 2 时，求出点 A对应的有理数和点 B 与点 N 之间的距离；
（2）如图 2，当线段 AB 从点 M 出发时，在数轴上的线段CD从点 N 出发 (D 在C 点的右侧，刚开始点 D 与
点 N 重合），以每秒 2 个单位的速度沿数轴在 N ， M 之间往返运动（点C 到达点 M 立刻返回），CD = 4，
点 P 为线段 AB 的中点，点Q为线段CD的中点．
①当 P 点第一次到达原点O之前，若点 P 、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求 t 的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当 P ，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C 对
应的数．
【分析】（1）根据起始点求出点 A和点 B 对应的数，进而可得答案；
（2）①分别用含 t 的代数式表示出点 P 和点Q，再分情况列方程即可；
②当 0 < t 5 时，点 P 与点Q重合时不在整点处；当5 < t 10 时，由题意得 -5 + t = -4 + 2(t - 5) ，解方程可得
答案．
【解答】解：（1）点 A起始点在 -6 处，当 t = 2 时，
Q-6 +1 2 = -4，
\点 A对应的有理数为 -4 ，点 B 起始点在 -4 处，当 t = 2 时，
Q-4 +1 2 = -2，
\点 B 对应的有理数为 -2 ，
\点 B 与点 N 之间的距离为 10；
（2）①点 P 起始点在 -5 处，当运动时间为 t 秒时，
Q0 < t 5，
\此时点 P 一直往右运动，
\点 P 对应的有理数为 -5 + t ，
点Q起始点在 6 处，当运动时间为 t 秒时，
Q0 < t 5，
\此时点Q一直往左运动，
\点Q对应的有理数为 6 - 2t ，
Q点 P 、点Q到数轴原点的距离相等，
\当原点是 PQ中点时， -5 + t + 6 - 2t = 0，
解得 t = 1，
当 P 、Q重合时， -5 + t = 6 - 2t ，
解得 t 11= ．
3
11
综上， t 的值是 1 或 ；
3
②当 0 < t 5 时，由①可得点 P 与点Q重合时不在整点处；
当5 < t 10 时，由题意得 -5 + t = -4 + 2(t - 5) ，
解得 t = 9 ，
此时，点Q对应是有理数为 4，故点C 对应是有理数为 2．
3. （2022 秋 章贡区期末）已知数轴上两点 A、 B 对应的数分别为 -24，12．
（1） A、 B 两点间的距离为 ．
（2）如图①，如果点 P 沿线段 AB 自点 A向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段 BA 自
点 B 向点 A以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为 t 秒．
①运动 t 秒时，点 P 对应的数为 ，点Q对应的数为 ；（用含 t 的代数式表示）
②当 P 、Q两点相遇时，点 P 在数轴上对应的数是 ；
③求 P 、Q相距 6 个单位长度时的 t 值；
（3）如图②，若点 D 在数轴上，点 M 在数轴上方，且 AD = MD = DC = 5 ， MDC = 90° ，现点 M 绕着点
D 以每秒转15°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点 N 沿射线 BA 自点 B 向点 A运动．当 M 、 N 两
点相遇时，直接写出点 N 的运动速度．
【分析】（1）根据数轴直接计算即可；
（2）①根据运动规律直接用代数式表示即可；
②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可；
③分点 P 在点Q左右两侧两种情况，列方程计算即可；
（3）根据 M 和 N 在点 A和点C 两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可．
【解答】解：（1）由数轴知， A、 B 两点间的距离为12 - (-24) = 36，
故答案为：36；
（2）①由题知点 P 对应的数为 -24 + 2t ，点Q对应的数为12 - 4t ，
故答案为： -24 + 2t ，12 - 4t ；
②当 P 、Q两点相遇时， -24 + 2t = 12 - 4t ，
解得 t = 6 ，
即点 P 在数轴上对应的数是 -24 + 2 6 = -12，
故答案为： -12；
③由题意， P 在Q左侧时，得 2t + 4t + 6 = 36，
解得 t = 5，
P 在Q右侧时， 2t + 4t - 6 = 36 ，
解得 t = 7 ，
\ P 、Q相距 6 个单位长度时的 t 值为 5 秒或 7 秒；
（3）①当 M ， N 在C 点相遇时，运动时间是：90° 15° = 6(s) ， N 点运动距离为：36 - 5 - 5 = 26，
13
\此时 N 点的运动速度为： 26 6 = 单位长度 / 秒，
3
②当 M ， N 在 A点相遇时，运动时间是： 270° 15° = 18(s) ， N 点运动距离为：36，
\此时 N 点的运动速度为：36 18 = 2 单位长度 / 秒，
13
综上，点 N 的运动速度为 单位长度 / 秒或 2 单位长度 / 秒．
3
4. （2023 九龙坡区校级开学）如图，点 M ， N 在数轴上分别位于原点O的左右两边，点 M 表示的数是
a，点 N 表示的数是b ，且 a，b 满足 (a + 4)2 + | b - 8 |= 0 ．点 A、 B 、C 是线段ON 的四等分点，分别
以线段OA、 AB 、 BC 为边向数轴的上方作正方形OAED ，正方形 ABFE ，正方形 BCGF ．
（1）直接写出 a，b 的值： a = ，b = ；
（2）如图 1，若动点 P 从点 M 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 M - O - D - G运动，同时动点Q从
点 N 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 N - C - G - D运动，当点 P 到达点G 时 P ，Q两点同时停止运
动，设点 P 的运动时间为 t ，求线段 PQ = 1时 t 的值；
（3）如图 2，若动点 P 从点 M 出发以每秒 4 个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点 P 到达点O时立
即以每秒 2 个单位长度的速度沿折线O - D - G - D 运动，点 P 到达点O的同时动点Q从点 N 出发以每秒 2
个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C 后立即以每秒 3 个单位长度的速度在点C 和
点O之间往返运动，过动点Q作直线 l 垂直ON ，在运动过程中，直线 l 与线段 DG 的交点为 H ．当点 P 第
二次到达点 D 时 P ，Q两点同时停止运动．设点 P 的运动时间为 t ，直接写出线段 PH = 2时 t 的值．
【分析】（1）根据非负数的性质可得解；
（2）根据相遇前和相遇后 PQ = 1，列方程求解即可；
（3）根据点Q到达O点前和返回后，点 P 在QH 的左右两侧，根据 PH = 2找出等量关系列出方程求解即
可．
【解答】解：（1）Q(a + 4)2 + | b - 8 |= 0，且 (a + 4)2…0 ， | b - 8 |…0 ，
\a + 4 = 0 ，b - 8 = 0，
\a = -4，b = 8，
故答案为： -4 ，8；
（2）Qa = -4，b = 8．\M 表示的数是 -4 ， N 表示的数是 8，
\ON = 8，
Q点 A、 B 、C 是线段ON 的四等分点，
\ OA = AB = BC 1= 8 = 2 ，
4
又四边形OAED ， ABFE ， BCGF 是正方形，
\OD = DE = EF = FG = 2 ，
若 P ，Q相遇前 PQ = 1，则有，3t +1+ 2t = 4 +10 + 2，
解得， t = 3；
若 P ，Q相遇后 PQ = 1，则有3t -1+ 2t = 4 +10 + 2，
解得， t 17= ，
5
PQ 1 t 17综上，线段 = 时， = 或 t = 3，
5
（3）点Q从C 到O运动时间为 6 3 = 2（秒 )，
点 P 从点 M 运动到点G 所需时间为： 4 4 + 8 2 = 5（秒 )，从点G 到点 D 所需时间为 6 2 = 3（秒 )，
则点 P 第二次到达点 D 所需时间为5 + 3 = 8（秒 )，
故点Q运动总时间为8 -1 = 7（秒 )，
①当点Q向O运动时，点 P 在QH 左侧时，则有 4 + 2(t -1) + 2 + 3(t - 2) + 2 = 4 + 2 + 6 + 2．
14
解得， t = ；
5
②当点Q向O运动时，点 P 在QH 右侧时，则有 2(t -1) - 2 + 3(t - 2) = 8，
18
解得， t = ；
5
③当点Q从O向C 运动时，点 P 在QH 右侧时，则有3(t - 4) + 2 + 2(t - 5) = 6 ，
26
解得， t = ，
5
④当点Q从O向C 运动时，点 P 在QH 左侧时，则有 2(t - 5) - 2 = 3(t - 4) - 6，
解得， t = 6 ，
综上，线段 PH 2 14 18 26= 时 t 的值为 ， ， 或 6．
5 5 5
5. （2023 秋 顺德区校级月考）如图，在数轴上有两个长方形 ABCD 和 EFGH ，这两个长方形的宽都是 2
个单位长度，长方形 ABCD 的长 AD 是 4 个单位长度，长方形 EFGH 的长 EH 是 8 个单位长度，点 E
在数轴上表示的数是m ，且 E 、 D 两点之间的距离为 n个单位长度．若 | m - 5 | +(n -13)2 = 0，回答下
列问题．
（1）填空：点 H 在数轴上表示的数是 ；点 A在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段 AD 的中点为 M EH N EN 1，线段 上一点 ， = EH ，点 M 以每秒 4 个单位的速度向右匀速运
4
动，点 N 以每秒 3 个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有OM = ON ；
（3）若长方形 ABCD 以每秒 4 个单位的速度向右匀速运动，长方形 EFGH 固定不动，当两个长方形重叠部
分的面积为 6 时，求长方形 ABCD 运动的时间．
【分析】（1）根据非负数的性质得出m ， n的值，由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数；
（2）设运动时间为 x 秒，首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解
决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为 0，可求得 x 的值；
（3）分两种情况： AB 边在长方形 EFGH 的边 EF 的左边且距离 EF1个单位长度时；CD边在长方形 EFGH
的边GH 的右边且距离GH1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长方形 ABCD 运动的距离，则可求得运
动的时间．
【解答】解：（1）Q| m - 5 | +(n -13)2 = 0 ，
\m = 5， n = 13，
QEH = 8，则点 H 对应的有理数为：5 + 8 = 13；
由于点 E 在数轴上表示的数是 5．且 E 、 D 两点之间的距离为 13 个单位长度， AD = 4 ，
则 AE = 13 + 4 = 17 ，
所以点 A表示的数为：5 -17 = -12 ，
故答案为：13， -12；
（2）设运动时间为 x 秒，
因 EN 1= EH 1 1= 8 = 2 ， AM = AD = 2， 则 点 M 、 N 对 应 的 数 为 -12 + 2 = -10、 5 + 2 = 7 ，
4 4 2
MN = 7 - (-10) = 17 ，
由题意知，它们运动 x 秒后 M 、 N 点对应的数分别为： -10 + 4x 、 7 - 3x ，
当OM = ON 时有两种情况：
17
若 M 、 N 两点相遇，则两点运动的距离之和为 17，即 4x + 3x = 17 ，解得 x = ；
7
若 M 、 N 两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即 -10 + 4x + 7 - 3x = 0 ，
解得： x = 3；
OM ON x 17综上，当 = 时， 的值为 或 3；
7
（3）当 AB 边在长方形 EFGH 的边 EF 的左边且距离 EF 为 1 个单位长度时，即 AE = 1时，如图 1 所示；则
ED = 4 -1 = 3 ，重叠部分面积为3 2 = 6；
此时长方形 ABCD 的运动距离为：13 + 3 = 16，运动时间为：16 4 = 4 （秒 )；
当CD边在长方形 EFGH 的边GH 的右边且距离GH1个单位长度时，即 HD = 1时； AH = 4 -1 = 3，重叠部
分面积为3 2 = 6；
此时长方形 ABCD 的运动距离为：13 + 8 +1 = 22 ，运动时间为： 22 4 = 5.5 （秒 )；
综上，长方形 ABCD 的运动的时间为 4 秒或 5.5 秒．
题型十二 找规律
解题技巧提炼
通过题目找到一定的规律做题
1. 2024 1 1 1 1 1 1（ 春 兖 州 区 月 考 ） 观 察 下 列 各 式 ： ① + 2 + = 1+ - = 1 ； ②1 22 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ；③ 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ．根据上面三个等式，猜想 + 的结2 3 2 3 6 3 4 3 4 12 49 64
果为 ( )
A 11． B 1 1 1．1 C．1 D．1
7 8 56 64
1 1 1 1 50 1
【分析】利用题中的等式可得规律为： 1+ 2 + 2 = 1+ - ，将 + 变形后，符合规律，根n (n +1) n n +1 49 64
据规律可得结果，然后进行加减运算即可．
1 1 1 1
【解答】解：根据题意，第 n个等式为 1+ 2 + 2 = 1+ - ，n (n +1) n n +1
50 1 1 1 1 1 1\ + = + + = 1+ 2 + 2 = 1
1 1 57 1
+ - = = 1 ．
49 64 49 64 7 8 7 8 56 56
故选：C ．
2. （2023 1秋 曲阜市期末）若实数 x -1，则我们把 - 称为 x 的“和 1 负倒数”，如 2 的“和 1 负倒
x +1
1
数”为 - ， -3 1 2的“和 1 负倒数”为 ，若 x1 = ， x2 是 x1 的“和 1 负倒数”， x3 是 x2 的“和 1 负3 2 3
倒数”， ，依此类推，则 x2024 = ．
【分析】根据和 1 负倒数的定义分别计算出 x1 ， x2 ， x3 ， x4 L，则得到从 x1 开始每 3 个值就循环，据此求
解可得．
【解答】解：Q x 21 = ，3
x 1 3 x 1 5 1 2\ 2 = - 2 = - ， 3 = - = - ， x4 = - = ，1+ 5 1 3- 2 1 5- 3
3 5 2
，
\此数列每 3 个数为一周期循环，
Q2024 3 = 674L2，
3
\ x2024 = x2 = - ，5
3
故答案为： - ．
5
3. （ 2022 宁 波 自 主 招 生 ） 对 于 绝 对 值 均 小 于 1 的 实 数 x1 ， x2 ， xn ，
| x1 | + | x2 | + + | xn |=| x1 + x2+ + xn | +2022，则正整数 n的最小值为 ．
【分析】根据 | xi |< 1(i = 1，2，3， ， n) ，可得 | x1 | + | x2 | + + | xn |< n，所以 n >| x1 + x2 + + xn | +2022，
即可求出正整数 n的最小值．
【解答】解：设 x1， x2 ， xn中正数的和为 p ，负数和为 -q( p > 0,q > 0)，
则 p + q =丨 p - q 丨 +2022 ，
①当 p…q 时， q = 1011，所以负数至少有 1012 个，
将 q = 1011代入得， p -1011 = 丨 p -1011丨， p…1011，
所以正数至少有 1012 个，
所以 n…1012 +1012 = 2024 ，
即 n至少为 2024 个，
②当 p < q 时，与①同理，
综上， n最小值为 2024．
故答案为：2024．
4. （2022 春 漳平市期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第 1 行1 2
第 2 行 3 2 5 6
第 3 行 7 8 3 10 11 12
第 4 行 13 14 15 4 17 18 19 20
根据数阵的规律，第 8 行倒数第二个数是 ．
【分析】观察该列数，找到规律，再求解．
【解答】解：第 1 行最后一个为： 1 2 = 2 ；
第 2 行最后一个为： 2 3 = 6 ；
第 3 行最后一个为： 3 4 = 12 ；
第 4 行最后一个为： 4 5 20 ；
；
第 8 行最后一个为： 8 9 ，
\第 8 行倒数第二个数是： 71，
故答案为： 71．
5. （2024 春 庆云县期末）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求
规律：
1 3 1 1 5 4 2- = = ； 1- = = ； 1 7 9 3- = = ；L ×
4 4 2 9 9 3 16 16 4
1 3 1 5 1 7 17【实践探究】计算式子 - - - L 1- 的值为 ( )
4 9 16 81
A 6 1．1 B． C．0 D．
7 9
【分析】根据题干中的算式总结规律后列式计算即可．
1 2 3 7 8
【解答】解：原式 =
2 3 4 8 9
1
= ，
9
故选： D ．
6. （2024 春 槐荫区期中）定义：如果一个数的平方等于 -1，记为 i2 = -1，这个数 i 叫做虚数单位．那么
i1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1， ，那么 i2024 = ( )
A． -1 B．1 C． -i D． i
【分析】先根据题意归纳出 in 结果的规律，再运用该规律进行求解．
【解答】解：Qi1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1，L，
\in 的结果按 i ， -1， -i ，1 这四个数循环的规律出现，
Q2024 4 = 506，
\i2024 = 1，
故选： B ．
题型十三 实数的运算
解题技巧提炼
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减
1. （2024 蓬莱区一模）计算： | 3 - 2 | (3 - p )0 + 3 -8 = ．
【分析】先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据零指数幂和立方根的定义计算乘方和开方，最后算
加减即可．
【解答】解：原式 = (2 - 3) 1+ (-2)
= 2 - 3 - 2
= 2 - 2 - 3
= - 3 ，
故答案为： - 3 ．
2. （2024 淄博模拟）1- 16 = ．
【分析】先根据数的开方法则计算出 16 的值，再进行计算即可．
【解答】解：1- 16 = 1- 4 = -3．
故答案为： -3．
3. （2024 2 即墨区一模）计算： | 3 - 2 | + 6 = ．
2
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：原式 = 2 - 3 + 3
= 2．
故答案为：2．
4. （2024 德城区校级模拟）若 x 、 y 为实数，且 | x + 2 | + y - 3 = 0，则 (x + y)2021 的值为 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出 x ， y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：Q | x + 2 | + y - 3 = 0，
\ x + 2 = 0 ， y - 3 = 0，
解得： x = -2 ， y = 3，
\(x + y)2021 = (-2 + 3)2021 = 1．
故答案为：1．
5. （2024 春 莘县期末）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： (a - b)2 - 3 (b -1)3 = ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出 a - b的正负，原式利用二次根式及立方根性质化简，去括号合并即可
得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得： a < 0 < b，
\a - b < 0，
则原式 =| a - b | -(b -1)
= b - a - b +1
= -a +1．
故答案为： -a +1．
6. （2024 春 东港区校级期中）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 (a -1)2 - (a - b)2 + b的结
果是 ．
【分析】利用数轴得出 a -1 < 0， a - b < 0 ，进而利用算术平方根的性质化简求出即可．
【解答】解：由数轴可得： a -1 < 0， a - b < 0 ，
则原式 = 1- a + a - b + b = 1．
故答案为：1．
7. （2024 春 微山县校级月考）计算： 3 -8+ | -2 |= ．
【分析】原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：原式 = -2 + 2
= 0．
故答案为：0．
8. （2024 9 3春 嘉祥县期末）计算： + 3 -27+ | - 3 |= ．
4 2
【分析】先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出答案．
9 3 3
【解答】解： + 3 -27+ | - 3 |= + (-3) + 3 3- = 0 ，
4 2 2 2
故答案为：0．
9. （2024 春 阳信县月考）已知 a，b 互为相反数， c ， d 互为倒数，则式子 (a2 - b2 )ab - cd = ．
【分析】利用相反数，倒数的定义求出 a + b与 cd 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得： a + b = 0， cd = 1，
原式 = (a + b)(a - b)ab - cd = 0 -1 = -1，
故答案为： -1
10. 2024 1 0.04 3 27 1（ 春 惠民县期末）计算：（ ） + - ；
25
（2）3 3- | 3 - 2 |．
【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简，合并同类二次根式即可得到结果．
1
【解答】解：（1）原式 = 0.2 + 3 - = 3；
5
（2）原式 = 3 3 - (2 - 3) = 3 3 - 2 + 3 = 4 3 - 2 ．
11. （2024 春 周村区校级月考）计算
（1） (-2ab2c + 3abc2 ) ( 1- abc)
2
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）原式根据同底数幂乘除法法则进行计算即可得到答案；
（3）原式先计算乘方，再计算除法，最后进行加减运算即可得到答案．
【解答】解：（1） (-2ab2c + 3abc2 ) 1 (- abc)
2
= -2ab2c ( 1 - abc) 1+ 3abc2 (- abc)
2 2
= 4b - 6c；
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
= a2+5-4
= a3 ；
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
= -1 1- - 9 1
4
1 1= - - - 9
4
10 1= - ．
4
12. （ 2024 春 兖 州 区 月 考 ） 实 数 a， b ， c 在 数 轴 上 对 应 的 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 化 简
(b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 ．
【分析】直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可知： c < b < 0 < a ，
\b - c > 0 ，b3 < 0 ，
Q| c |>| a |>| b |，
\a + b > 0 ， c - a < 0 ，
\ (b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 =| b - c | -(a + b) - b+ | c - a |
= b - c - a - b - b + a - c
= -b - 2c ．
13. （2023 秋 威海期末）（1）计算： ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42 ；
（2）如图，在数轴上的两个点表示为实数 a，b ，化简： a2 + | a + b | - (b - a)2 ．
【分析】（1）按照实数的混合运算顺序运算即可；
（2）根据绝对值性质化简绝对值并进行整式运算即可．
【解答】解：（1） ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42
= 3 - (-4) - 5
= 3 + 4 - 5
= 2；
（2）由图知：b < 0 < a， | b |>| a | ，
\a + b < 0，b - a < 0 ，
a2 + | a + b | - (b - a)2
=| a | + | a + b | - | b - a |
= a - (a + b) + (b - a)
= a - a - b + b - a
= -a ．
14. （2024 春 泗水县期末）已知实数 a、 b 、 c 、 d 、 m ，若 a、 b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， m 的
2 a + b + m
2 +1
绝对值是 ，求 的平方根．
cd
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出 a + b， cd 及m 的值，代入计算即可求出平方根．
【解答】解：根据题意得： a + b = 0， cd = 1，m = 2或 -2 ，
当m = ±2时，原式 = 5 ，
5 的平方根为 ± 5 ．
15. （2024 春 历城区校级月考） 3 -27 + (-3)2 - 3 -1．
【分析】原式第一、三项利用立方根定义化简，第二项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式 = -3 + 3 - (-1) = -3 + 3 +1 = 1．4.6 实数
知识点一 实数
◆概念：有理数与无理数统称为实数．
◆分类：
实数按定义分类：
ì ì整数ü 有限小数或
有理数í
实数í 分数 无限循环小数
无理数 无限不循环小数
按正负分类：
ì ì正有理数
正实数í
正无理数
实数í0
ì负有理数负实数
í 负无理数
知识点二 实数比较大小
◆实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应．
◆实数比较大小：在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
（1）作差法
（2）作商法
（3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而
确定两个无理数的大小．
（4）比较被开方数：若 a>b>0，则 a > b ， 3 a > 3 b ．
1 1
（5）倒数法：设 a>0，b>0，若 > ，则 aa b
（6）数轴法：如果两个数在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数．
（7）放缩法：如果 a>c，c>b，那么 a>b．
知识点三 实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
◆加法交换律：a+b=b+a
◆加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即 ab=ba
◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c=a
（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相
加．即 a（b+c）=ab+ac．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
①先乘方、开方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
题型一 辨析题
解题技巧提炼
要熟练掌握实数的定义
1. （2024 春 滨城区期末）下列说法正确的是 ( )
A 1 1．若 a > b ，则 < B． 64 的平方根是 ±8
a b
C．无限小数都是无理数 D．若 a < 0 ， -1 < b < 0，则 ab > ab2
2. （2024 春 河东区校级月考）下列说法中，不正确的有 ( )
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③ a2 的算术平方根一定是 a；
④算术平方根不可能是负数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3. （2024 春 禹城市月考）下列结论正确的是 ( )
A．同旁内角互补
B． 81 的平方根是 ±9
C．平方根等于它本身的数是 1 和 0
D． a2 +1一定是正数
4. （2024 春 宁津县校级期中）以下四个说法：①负数没有平方根；②一个正数一定有两个平方根；③平
方根等于它本身的数是 0 和 1；④一个数的立方根不是正数就是负数．其中正确的说法有 ( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
5. （2024 春 安丘市月考）下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．② 81 的平方根是 ±3．③ -125
5 1
的立方根是 ±5 ．④ 是一个分数．⑤ 是一个无理数．其中正确的有 ( )个．
2 p
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 实数的分类
解题技巧提炼
按定义分为有理数和无理数，按正负性质分正实数、0、负实数
1. （2024 春 阳谷县期中）在实数：3.14， 3 2 ， 2.1231223 (1和 3 之间的 2 逐次加 1 个）， 8 ，4，
p 22
， 中，无理数有 ( )
3 7
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2. （2024 春 乐陵市校级月考）将下列各数填在相应的集合里．
3 512 ，p ，3.1415926， -0.456， 3.030030003 5 （每两个 3 之间依次多 1 个 0) ，0， ， 3 9 ， (-7)2 ，
11
0.1 ．
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；
整数集合：{ }．
3. （2024 春 沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
p
① - ，②0，③ -(-32 )，④ 0.1010010001 22 1 （两个 1 之间的 0 逐渐增加），⑤ -3.2 ，⑥ ，⑦ - | - |．
3 7 3
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
正有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
4. （2024 春 沂水县校级月考）把下列各数分别填入相应的集合中．
3
， 9 ，p ，3.14， - 3 27 ，0， -5.12345 ， - 3 ．
5
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }．
题型三 实数的相反数
解题技巧提炼
两数相加为 0，两数互为相反数
1. （2024 春 曲阜市期末）下列各组数中，互为相反数的组是 ( )
A 1． -2 与 (-2)2 B． -2 和 3 -8 C． - 与 2 D． | -2 |和 2
2
2. （2024 岚山区一模） 5 的相反数是 ( )
A． 5 B． -5 C． - 5 D．5
3. （2024 春 历城区期末）实数 2 的相反数是 ( )
A． 2 B．2 C 2． - 2 D．
2
4. （2024 兰山区校级模拟）实数 2023 的相反数是 ( )
A 2023 B 1 1． - ． - C． D．2023
2023 2023
5. （2024 鄄城县一模） 3 64 的相反数是 ( )
A．4 B． -4 C．2 D． -2
6. （2022 秋 市北区校级月考）如图，将 1、 2 、 3 、 6 按下列方式排列，若规定 (m,n) 表示第m 排
从左向右数第 n个数，则 (20,9)表示的数的相反数是 ．
题型四 实数的倒数
解题技巧提炼
两数相乘为 1，两数互为倒数
1. （2024 东昌府区模拟）已知实数 a =| -2024 | ，则实数 a的倒数为 ( )
A．2024 B 1 C 1． ． -2024 D． -
2024 2024
2. （2024 春 单县期中） - 2 的倒数是 ( )
A 2 2． - 2 B． - C． 2 D．
2 2
题型五 实数的绝对值
解题技巧提炼
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0
1. （2024 胶州市一模） - 2 的绝对值是 ( )
A 2 2． B． - 2 C． 2 D． -
2 2
2. （2024 槐荫区三模）实数 -3的绝对值是 ( )
A 3 B 1． - ． C．3 D 1． -
3 3
3. （2024 春 东港区月考） 3 - 5 的绝对值等于 ．
题型六 在数轴上表示实数
解题技巧提炼
数轴上的点和实数一一对应
1. （2024 春 庆云县期末）如图，长方形 ABCD 中， AB = 3， AD = 1， AB 在数轴上，若以点 A为圆心，
AC 的长为半径作弧交数轴于点 M ，则点 M 表示的数为 ( )
A． 10 -1 B． 5 -1 C．2 D． 5
2. （2024 春 惠民县期末）如图，已知数轴上的点 A， B 分别表示数 - 2 ， 2 ，则下列各数中是无理数
且对应的点在线段 AB 上的是 ( )
A．0 B． 2 -1 C． 3 -9 D．p
3. （2024 春 蒙阴县期末）如图，面积为 7 的正方形 ABCD 的顶点 A在数轴上，且点 A表示的数为 1，若
点 E 在数轴上，（点 E 在点 A的右侧）且 AB = AE ，则点 E 所表示的数为 ( )
A．1+ 7 B． 2 + 7 C．3 + 7 D． 4 + 7
4. （2024 滕州市校级模拟）如图所示：数轴上点 A所表示的数为 a，则 a的值是 ( )
A． 5 +1 B． - 5 +1 C． 5 D． 5 -1
5. （2023 秋 高青县期末）如图，面积为 5 的正方形 ABCD 的顶点 A在数轴上，且表示的数为 1，若点 E
在数轴上，（点 E 在点 A的右侧）且 AB = AE ，则 E 点所表示的数为 ( )
A． 5 B．1+ 5 C 2 + 5． D． 5 + 2
2
题型七 利用数轴比较实数大小
解题技巧提炼
实数在数轴上的大小为左小右大
1. （2024 济南模拟）已知实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． (-a) + b < 0 D． | b |<| a |
2. （2024 槐荫区三模）实数m ， n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( )
A．mn > 0 B．m > -n C． | m |>| n | D．m +1 > n +1
3. （2024 兖州区二模）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A． a < -2 B．b < 1 C． -a > b D． a > b
4. （2024 济南三模）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A． a > b B． -a < b C． | a |>| b | D． a + b > 0
5. （2024 春 河东区期末）如图，数轴上表示 0，1， 3 的点分别为 A， B ，C ，点 B 到点C 的距离与点 B
到点 D 的距离相等，则点 D 所表示的数为 ( )
A． 3 -1 B． 2 -1 C． 2 - 3 D． 2 + 3
6. （2024 菏泽一模）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是 ( )
A． a < b B． | a |>| b | C． a + b < 0 D a． > 0
b
7. （2024 潍城区一模）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A 1 1． ab > 0 B． > C． | a |=| b | D． a-2 < b-2
a b
8. （2024 鄄城县三模）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( )
A． a + b > 0 B． ab > 0 C． | a |>| b | D． a +1 > b +1
9. （2024 阳信县一模）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是 ( )
A． a > -2 B． a + b > 0 C． | a |<| b | D．b - a > 0
10. （2024 济南模拟）实数 a，b ， c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( )
A．b - c > 0 B． ac > 0 C．b + c < 0 D． ab < 1
题型八 比较实数大小
解题技巧提炼
一般可以用做差法比较实数大小
1. （2024 春 齐河县校级月考）已知 M = 5 + 2 ， N = 5 - 2 ，则 M 与 N 的关系为 ( )
A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数
2. （2024 1春 宁津县校级月考）已知 0 < a < 1，则 a ， a2 ， 之间的大小关系为 ( )
a
A 1 a2 a B a 1 a2 C a2 a 1 1． > > ． > > ． > > D． > a > a2
a a a a
3. （2024 春 滨城区期末）比较大小（填 > 、< 或 = 号）．
（1） 2 3 4；
5 -1
（2） 1；
2
（3）4 3 50 ．
4. （2024 河东区二模）比较大小：3 2 4．
5. （2024 春 梁山县期末）比较大小：3 5 5 3 ．（填“ > ”或“< ” )
题型九 猜测数轴上的实数
解题技巧提炼
数轴上可以表示实数
1. （2024 春 德城区校级月考）把无理数 24 ， 11， 7 ， 5 表示在数轴上，在这四个无理数中，被
墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
2. （2024 春 乐陵市校级月考）如图，将数 - 5, 7, 13 表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数
是 ．
题型十 实数的新定义
解题技巧提炼
根据给出的定义进行运算
a(a…b) b(a…b)
1. （2024 ì ì春 乐陵市期末）对任意两个实数 a， b 定义两种运算： a b = í ， a b = ，
b(a < b)
í
a(a < b)
并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如 (-2) 3 = 3 ， (-2) 3 = -2 ， [(-2) 3] 2 = 2，那么
( 5 2) 3 27 的值为 ( )
A．2 B． 5 C．3 D．3 5
ì x - y (x…y)2. （2024 春 莱芜区校级月考）对于任意的正数 x 、 y 的新定义运算 为： x y í ，计算
x + y (x < y)
(18 12) + (27 32)的结果为 ( )
A． 7 2 B． 3 C． 7 2 - 3 D． 7 2 + 3
ì m - n(m…n)
3. （2024 春 岱岳区期中）对于任意两个正数m 、 n，定义运算※为：m ※ n = í ，计算 (8
m + n(m < n)
※3) (3※8) 的结果为 ( )
A． -3 B． -5 C．5 D． -3或 5
4. （2024 春 高密市期中）定义新运算：对于任意实数 a和 b ，都有 a※ b = 3 a + ab - b -1，例如 8※
4 = 3 8 + 8 4 - 4 -1 = 29．若 (-64)※ x 的值是非负数，则 x 的取值范围为 ．
5. （2024 春 东港区校级月考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于 -1，记为 i2 = -1，这个数 i 叫
做虚数单位，把形如 a + bi(a ， b 为实数）的数叫做复数，其中 a叫这个复数的实部， b 叫做这个复数
的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
(3 - i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-1+ 3)i = 7 + 2i(1- i) (2 + i) = 1 2 + i - 2 i - i2 = 2 + i - 2i +1 = 3 - i
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空： i3 = ， i4 = ；
（2）计算： (1- 2i) (4 - 5i) ；
（3）计算： i + i2 + i3 + i4 +L+ i2023 ．
6. （2023 秋 莱西市期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于
是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图
1、图 2 所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
观察判断：
小明共剪开了 条棱；
动手操作：
现在小明想将剪断的图 2 重新粘贴到图 1 上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如
图3) ，请你帮助小明在图 1 中补全图形；
解决问题：
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的 5 倍，并且纸盒所有棱长的和
是880cm，求这个纸盒的体积．
附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
若 A、 B 、C 为数轴上三点，若点C 到 A的距离是点C 到 B 的距离 2 倍，我们就称点C 是【 A， B 】的好
点．例如，如图 1，点 A表示的数为 -1，点 B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点 A的距离是 2，到点 B 的
距离是 1，那么点C 是【 A， B 】的好点；又如，表示 0 的点 D 到点 A的距离是 1，到点 B 的距离是 2，那
么点 D 就不是【 A， B 】的好点，但点 D 是【 B ， A】的好点．
知识运用：如图 2， M 、 N 为数轴上两点，点 M 所表示的数为 -2 ，点 N 所表示的数为 4．
（1）数 所表示的点是【 M ， N 】的好点；
（2）如图 3， A、 B 为数轴上两点，点 A所表示的数为 -20，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁 P
从点 B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A停止．当 t 为何值时， P 、 A和 B 中恰有一个点
为其余两点的好点？
题型十一 数轴动点
解题技巧提炼
用代数式表示点的坐标
1. （2024 春 仙桃校级月考）如图，数轴上点 A表示的数为 8，点 B 位于点 A左侧，且 AB = 22 ．
（1）写出数轴上点 B 表示的数 ．
（2） | 5 - 3 |表示 5 与 3 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 3 两数在数轴上所对的两点之间的距离．如
| x - 3 | 的几何意义是数轴上表示实数 x 的点与表示实数 3 的点之间的距离．试探索：
①若 | x - 8 |= 3 ，则 x = ；
②求 | x +14 | + | x - 8 |的最小值？以及此时 x 的取值范围是？
（3）动点 P 从O点出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t(t > 0)秒．求当
t 为多少秒时， A， P 两点之间的距离为 2．
2. （2022 秋 通川区期末）如图，数轴上点 M ， N 对应的实数分别为 -6 和 8，数轴上一条线段 AB 从点 M
出发（刚开始点 A与点 M 重合），以每秒 1 个单位的速度沿数轴在 M ， N 之间往返运动（点 B 到达
点 N 立刻返回），线段 AB = 2 ，设线段 AB 的运动时间为 t 秒．
（1）如图 1，当 t = 2 时，求出点 A对应的有理数和点 B 与点 N 之间的距离；
（2）如图 2，当线段 AB 从点 M 出发时，在数轴上的线段CD从点 N 出发 (D 在C 点的右侧，刚开始点 D 与
点 N 重合），以每秒 2 个单位的速度沿数轴在 N ， M 之间往返运动（点C 到达点 M 立刻返回），CD = 4，
点 P 为线段 AB 的中点，点Q为线段CD的中点．
①当 P 点第一次到达原点O之前，若点 P 、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求 t 的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当 P ，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C 对
应的数．
3. （2022 秋 章贡区期末）已知数轴上两点 A、 B 对应的数分别为 -24，12．
（1） A、 B 两点间的距离为 ．
（2）如图①，如果点 P 沿线段 AB 自点 A向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段 BA 自
点 B 向点 A以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为 t 秒．
①运动 t 秒时，点 P 对应的数为 ，点Q对应的数为 ；（用含 t 的代数式表示）
②当 P 、Q两点相遇时，点 P 在数轴上对应的数是 ；
③求 P 、Q相距 6 个单位长度时的 t 值；
（3）如图②，若点 D 在数轴上，点 M 在数轴上方，且 AD = MD = DC = 5 ， MDC = 90° ，现点 M 绕着点
D 以每秒转15°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点 N 沿射线 BA 自点 B 向点 A运动．当 M 、 N 两
点相遇时，直接写出点 N 的运动速度．
4. （2023 九龙坡区校级开学）如图，点 M ， N 在数轴上分别位于原点O的左右两边，点 M 表示的数是
a，点 N 表示的数是b ，且 a，b 满足 (a + 4)2 + | b - 8 |= 0 ．点 A、 B 、C 是线段ON 的四等分点，分别
以线段OA、 AB 、 BC 为边向数轴的上方作正方形OAED ，正方形 ABFE ，正方形 BCGF ．
（1）直接写出 a，b 的值： a = ，b = ；
（2）如图 1，若动点 P 从点 M 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 M - O - D - G运动，同时动点Q从
点 N 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 N - C - G - D运动，当点 P 到达点G 时 P ，Q两点同时停止运
动，设点 P 的运动时间为 t ，求线段 PQ = 1时 t 的值；
（3）如图 2，若动点 P 从点 M 出发以每秒 4 个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点 P 到达点O时立
即以每秒 2 个单位长度的速度沿折线O - D - G - D 运动，点 P 到达点O的同时动点Q从点 N 出发以每秒 2
个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C 后立即以每秒 3 个单位长度的速度在点C 和
点O之间往返运动，过动点Q作直线 l 垂直ON ，在运动过程中，直线 l 与线段 DG 的交点为 H ．当点 P 第
二次到达点 D 时 P ，Q两点同时停止运动．设点 P 的运动时间为 t ，直接写出线段 PH = 2时 t 的值．
5. （2023 秋 顺德区校级月考）如图，在数轴上有两个长方形 ABCD 和 EFGH ，这两个长方形的宽都是 2
个单位长度，长方形 ABCD 的长 AD 是 4 个单位长度，长方形 EFGH 的长 EH 是 8 个单位长度，点 E
在数轴上表示的数是m ，且 E 、 D 两点之间的距离为 n个单位长度．若 | m - 5 | +(n -13)2 = 0，回答下
列问题．
（1）填空：点 H 在数轴上表示的数是 ；点 A在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段 AD 1的中点为 M ，线段 EH 上一点 N ， EN = EH ，点 M 以每秒 4 个单位的速度向右匀速运
4
动，点 N 以每秒 3 个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有OM = ON ；
（3）若长方形 ABCD 以每秒 4 个单位的速度向右匀速运动，长方形 EFGH 固定不动，当两个长方形重叠部
分的面积为 6 时，求长方形 ABCD 运动的时间．
题型十二 找规律
解题技巧提炼
通过题目找到一定的规律做题
1. （ 2024 1 1 1 1 1春 兖 州 区 月 考 ） 观 察 下 列 各 式 ： ① 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ； ②1 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 50 1+ 2 + 2 = + - = ；③ 1+ 2 + 2 = 1+ - = 1 ．根据上面三个等式，猜想 + 的结2 3 2 3 6 3 4 3 4 12 49 64
果为 ( )
A．11 B．11 C 1．1 D．1 1
7 8 56 64
2. （2023 1秋 曲阜市期末）若实数 x -1，则我们把 - 称为 x 的“和 1 负倒数”，如 2 的“和 1 负倒
x +1
1 3 1 1 2数”为 - ， - 的“和 负倒数”为 ，若 x1 = ， x2 是 x3 2 3 1
的“和 1 负倒数”， x3 是 x2 的“和 1 负
倒数”， ，依此类推，则 x2024 = ．
3. （ 2022 宁 波 自 主 招 生 ） 对 于 绝 对 值 均 小 于 1 的 实 数 x1 ， x2 ， xn ，
| x1 | + | x2 | + + | xn |=| x1 + x2+ + xn | +2022，则正整数 n的最小值为 ．
4. （2022 春 漳平市期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第 1 行1 2
第 2 行 3 2 5 6
第 3 行 7 8 3 10 11 12
第 4 行 13 14 15 4 17 18 19 20
根据数阵的规律，第 8 行倒数第二个数是 ．
5. （2024 春 庆云县期末）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求
规律：
1 3 1 1 5 4 2 7 9 3- = = ； 1- = = ； 1- = = ；L ×
4 4 2 9 9 3 16 16 4
3 5
【实践探究】计算式子 1- 1- 1 7- L 1 17- 的值为 ( )
4 9 16 81
A．1 B 6 C 1． ．0 D．
7 9
6. （2024 春 槐荫区期中）定义：如果一个数的平方等于 -1，记为 i2 = -1，这个数 i 叫做虚数单位．那么
i1 = i ， i2 = -1， i3 = -i ， i4 = 1， i5 = i ， i6 = -1， ，那么 i2024 = ( )
A． -1 B．1 C． -i D． i
题型十三 实数的运算
解题技巧提炼
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减
1. （2024 蓬莱区一模）计算： | 3 - 2 | (3 - p )0 + 3 -8 = ．
2. （2024 淄博模拟）1- 16 = ．
3. （2024 2 即墨区一模）计算： | 3 - 2 | + 6 = ．
2
4. （2024 德城区校级模拟）若 x 、 y 为实数，且 | x + 2 | + y - 3 = 0，则 (x + y)2021 的值为 ．
5. （2024 春 莘县期末）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简： (a - b)2 - 3 (b -1)3 = ．
6. （2024 春 东港区校级期中）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 (a -1)2 - (a - b)2 + b的结
果是 ．
7. （2024 春 微山县校级月考）计算： 3 -8+ | -2 |= ．
8. （2024 9 3春 嘉祥县期末）计算： + 3 -27+ | - 3 |= ．
4 2
9. （2024 春 阳信县月考）已知 a，b 互为相反数， c ， d 互为倒数，则式子 (a2 - b2 )ab - cd = ．
10. （2024 1 0.04 3 27 1春 惠民县期末）计算：（ ） + - ；
25
（2）3 3- | 3 - 2 |．
11. （2024 春 周村区校级月考）计算
（1） (-2ab2c 1+ 3abc2 ) (- abc)
2
（2） (-a2 )(-a)5 (-a)4
（3） -12022 - (-2)-2 - 32 (3.14 - p )0
12. （ 2024 春 兖 州 区 月 考 ） 实 数 a， b ， c 在 数 轴 上 对 应 的 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 化 简
(b - c)2 - | a + b | - 3 b3 + (c - a)2 ．
13. （2023 秋 威海期末）（1）计算： ( 3)2 - 3 -64 - 32 + 42 ；
（2）如图，在数轴上的两个点表示为实数 a，b ，化简： a2 + | a + b | - (b - a)2 ．
14. （2024 春 泗水县期末）已知实数 a、 b 、 c 、 d 、 m ，若 a、 b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， m 的
a + b + m22 +1绝对值是 ，求 的平方根．
cd
15. （2024 春 历城区校级月考） 3 -27 + (-3)2 - 3 -1．
