高三第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则
A. B. C. D.
2.若点在角的终边上，则的值为
A. B. C. D.
3.设，则“”是“函数在上单调递增”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知则不等式的解集是
A. B.
C. D.
5.已知函数没有极值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知函数，，若，，，则，，的大小为
A. B. C. D.
7.已知，为正实数，且，则的最小值为
A. B. C. D.
8.若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，且，，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
10.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则
A. B. 的图象关于点中心对称
C. D. 在上的值域为
11.已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，，则下列正确的是
A. 为偶函数 B.
C. 是的一个周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.扇形的周长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为 ．
13.已知，则的值为____ ____
14.已知函数若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
求的值；
求在上的值域．
16.本小题分
为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
求问题被回答正确的概率；
记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求在上的单调递减区间；
Ⅱ若，，求的值．
18.本小题7分
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速经多次测试得到该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
；；．
当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型需说明理由，并求出相应的函数解析式；
现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
19.本小题分
已知函数，
求函数的单调区间
若函数的两个极值点分别为，，证明：．答案和解析
1.【答案】
解：由对数函数的值域得，解得，
所以，
2.【答案】
解：角的终边上一点的坐标为，即，该点到原点的距离为，
则由任意角的三角函数的定义，可得，
3.【答案】
解：函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件．
4.【答案】
解：
当时，为减函数，
当时，为减函数，且在处连续，所以在上为减函数，
由，得，解得：，
即不等式的解集是．
【答案】
解：因为函数，则，
因为没有极值点，则恒成立，
，解得，
故的取值范围是，
6.【答案】
解：函数，，则，函数在上单调递增，
，，，
，
，即，
7.【答案】
解：由，则：
．
当且仅当即时，等号成立．
8.【答案】
解：由题意得，在上有两解，即在上有两解．
令，故，令，
易知在上单调递增，且，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，又，，，
9.【答案】
解：当，时，有，选项错误
，，则，选项正确：
，得，选项正确
函数在上单调递增，，则，选项正确．
【答案】
解：根据函数其中的部分图象可得， ，解得，故A正确；结合五点法作图，可得
，，，故C正确；
当时，，故函数的图象不关于点中心对称，故B错误．
当，则，则，
所以在上的值域为，故D错误．
11.【答案】
解由关于对称可得关于对称，故为偶函数，A正确：
由于，令，得：，又因为为偶函数，所以，B错误．
因为为偶函数，所以，又因为，联立得，
所以，得，所以是的一个周期，
又因为，，错误，所以不是的周期，所以选项错误．
由于，令得：，所以，
令得：，所以，因为是的一个周期，所以，
所以，故，D正确．
12.【答案】
解：设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为，
由于，可得，由于扇形的周长为，
所以，所以解得，扇形的弧长，
扇形的面积为，故答案为．
13.【答案】
解：，
．
14.【答案】
解：当时，，
当时，，
当或时，方程只有一个实数根，
当时，方程有两个实数根，
当时，方程有三个不同的实数根为，
又，可知，且，
又，
，且，
记，则，
当时，舍去正的，
当时，，当时，，
的极小值也是最小值为，又，
的取值范围是．
15.【答案】解：因为，所以，则．
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为．
令，得，又，所以，所以．
由可知，令，解得，所以在上单调递增．
令，解得，所以在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为．
16.【答案】设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，
由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
17.【答案】解：
Ⅰ
，
由，，
解得，．
又，
函数在上的单调递减区间为
Ⅱ由知，
又，即．
，
，
．
18.【答案】解：对于，当时，它无意义，故不符合题意，
对于，该函数为减函数，故不符合题意，
故选，
由表中数据可得，，解得，
．
高速路段长，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
，
国道路段，所用时间为，
则所耗电量为，
，当时，，
当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为．
19.【答案】解：函数的定义域为，，
令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
证明：因为函数的两个极值点分别为，，由得，，所以，要证，即证，不妨设，则只需要证，设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
