华师大版|八年级上册|第14章|勾股定理学案
文档属性
| 名称 | 华师大版|八年级上册|第14章|勾股定理学案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 651.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-10-08 18:04:00 | ||
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文档简介
第1章 勾股定理 勾股定理及简单运算（1）
【学习目标】经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在
结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
【课前准备】（一）预习课本2页到4页
（二）复习检测1、三角形按角分类，可分为_________、_________、_________.
2、（1）任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
（2）对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
（3）对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间又存在着怎样的特殊关系呢？
【学习过程】（一）阅读测试
1课本中P3（图1一2）并回答：（1）．观察图1一2（左边一副图），正方形A中有 个小方格，即A的面积为个 面积单位。正方形 B 中有 个小方格．即B的面积为 个面积单位。正方形 C 中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。
（2）．你是怎样得出上面结果的？（3）．图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
2观察：课本中P3 图1一3（1）图1一 3中，A 、B、C之间有什么关系？（2）从图 1一2 、1一3中你发现了什么？
3思考
（1）．图1一2、1一3中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
（2）．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？（直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么）
（3）．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，
请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
4练习（1）填空题已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
（2）填空题已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
反思拓展：直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．
勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边
勾股定理及简单运算（2）
【学习目标】经历运用拼图与割补的方法说明勾股定理是正确的过程掌握勾股定理和它的简单应用
【学习重点】能应用拼图法证明勾股定理能利用勾股定理解决简单问题
【课前准备】准备一个P12图1-10样子的图形、剪刀
（一）预习课本8页到14页
（二）复习检测
1、直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理
．2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=5，b=12，则c=________；②若a=60，b=80，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
【学习过程】
（一）阅读测试
1、 观察书中P8图1—5回答问题：
（1）用两种方法表示大正方形的面积S？：________________ ________________
（2）试用等号把这两种表示大正方形面积的式子连接起来，然后化简看看你发现了什么？
拿出课前准备好的图形，按要求操作。
（1）把最小与最大的两个正方形分别绕着直角三角形的直角形与斜边对折
（2）以勾（BC）为边的正方形假定为“朱方”，以股（AC）为边的正方形假定为“青方”，用移动的方法可以将朱、青二方并成弦方（以AB为边的正方形）
（3）依据它们的面积关系有：。这样勾股定理再次得到了证明。
3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
第2节勾股定理逆定理及其应用（3）
【学习目标】 １. 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.
２. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.
【学习重点】 勾股定理的逆定理及其应用.
【学习难点】 勾股定理的逆定理的证明及应用.
【学习准备】 1、阅读教材P17—P18； 2、准备一些筷子.
【学习过程】知识回顾
1. 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是
2. 在RT△ABC中，∠C=90°. (1)若a=7，b=24，则c= ； (2)若a=5，c=13，则b= ；
(3)若c=25，b=15，则a= ；(4)若b=6cm,a=8cm,则斜边AB= ，斜边AB上的高为 。
阅读理解：
（一）实践猜想
1、以线段a、b为直角边，求斜边c的长。
①a=3，b=4； ②a=12，b=5； ③a=2.5，b=6； ④a=6，b=8;
2、猜一猜三角形的形状，小组内用你手边的筷子搭一搭，看看猜测是否正确。
①3cm，4cm，5cm； ②5cm，12cm，13cm； ③2.5cm，6cm，6.5cm； ④6cm，8cm，10cm.
3、用恰当的语言描述你的结论： 这就是勾股定理逆定理。（二）解读教材
请你说说什么叫做勾股数？ 。
判断下列各组数是不是勾股数：
①3，4，7； ②5，12，13； ③2.5，6，6.5.
强调：勾股数一定要是 数。
方法总结：到目前为止，判断一个三角形是否是直角三角形有两种方法：
①利用定义，如果已知条件与角度有关，可借助三角形内角和求出其中一个角是直角，得到直角三角形；
②利用勾股定理的逆定理，能利用这一方法的题目一般是给定或者能通过计算推导出三角形中三边的数量关系（即 ）。
（三）勾股定理逆定理的五种应用（4）
一. 用于判断三角形的形状
例1. 如图1，中，，，
INCLUDEPICTURE "http://www./101resource004/wenjianku/200501/101ktb/lanmu/F20S0594/Image41477.gif" \* MERGEFORMATINET ，求证：是直角三角形
证明：由已知得： ，即c是最长边
是直角三角形
二. 用于求角度
例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，
求的度数
解：因，以点B为定点，将旋转到达的位置，连结PP”，则
为等边三角形在中
由勾股定理的逆定理知
三. 用于求边长
例3. 如图3，在中，D是BC边上的点，已知，，，，求DC
的长
四. 用于求面积
例4. 如图4，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。
解：连结AC，在中，由勾股定理得
五. 用于证明垂直
例5. 如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE：BC=1：4，则AF⊥EF，试说明理由
勾股定理的应用----台阶问题（5）
【学习目标】1.能运用勾股定理解决台阶问题
2.学会将多个平面展开成平面问题来解决
【学习重点】学会构造直角三角形，熟练应用勾股定理来求最短距离。
【学习过程】一、学习准备
在上一节课中，我们看到求圆柱侧面的最短路径问题是将它的侧面展开成_______问题再利用____来解决的 。.但是如果我们把圆柱改成正方体或长方体呢，该怎么半？
二、反思拓展1．已知边长为1的 正方体AB，（1）研究从点A到点B不同的最短路径有几条？（2）求出最短路径的长度？
解析：我们把正方体展开可以发现不同的最短路径有三条，如上图，可是我们也能发现这三条路径的长度其实是一样的。于是有AB=
2． 有一个无盖的长方体盒子的长，宽，高分别为8cm，8cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短线路吗？行程是多少
解析：显然，蚂蚁只能沿长方体侧面爬行，但因为A，B之间有侧棱，故只有将A，B放在同一平面来解决。故把此长方体侧面展开可得到由底边和侧棱构成的直角三角形，即AB== cm
三．即时练习：
练习1：一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为55 cm，10cm ，6 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问它沿台阶面爬行的最短路程是多少？
解析：在台阶面上求最短距离是不容易的，可是这个台阶和刚才的例题却有相同之处。只是现在的长方体由1个变成了3个。假如我们将台阶拉平，则有:
得到的长方形的长BC为 cm,宽AC为（ + ）= cm
练习2：.某公司举行开业典礼，准备在公司门口长13m高5m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为4 m，请你计算共需购买多少平方米的红地毯？
4． 资源链接
如图是一个长方体，它的长FC=30cm，宽FE=10cm，高AF=35cm。A是长方体下底面的一个顶点，B是长方体上底面的边CD的中点。A点有一只蚂蚁想去吃B点的食物，问它爬行的最短路线是多少？
勾股定理的应用（6）
[学习目标] 1. 能运用勾股定理解决简单实际问题
2.学会将曲面展成平面问题来解决
[学习重点] 学会构造直角三角形，熟练地运用勾股定理求最短距离
[学习过程]
1． 学习准备
1．连接两点之间的所有连线中, 最短，即两点之间, 最短。
2．圆柱的侧面展开图是一个 ，圆柱的高是它的 ，圆柱的底面圆周长是它的 。
二．解读教材(请阅读教材28~29页)
1．课本中是沿圆柱的 线将圆柱侧面展开的，即剪开的这条线与底面半径是
2．课本中把圆柱侧面展开后得到的长方形中，长方形的长是 cm,宽是 cm，其中B点是长的 。从图中可以看出A到B的最短距离是 。
3．总结：曲面上的路线问题，我们往往可以将_______展开成______，再利用________来求最短距离。
三．挖掘教材
上例中蚂蚁沿圆柱的侧面爬行,路程只经过圆柱侧面的一半.而实际生活中往往会遇到绕圆柱侧面多次的问题.又该怎么解决呢 如下例:
为筹备迎春晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸.如图,已知圆筒高为108cm,其截面周长为36cm,如果在表面缠绕油纸4圈,最少应裁剪多长油纸(油纸宽度忽略不计)
解析：在圆筒上缠油纸与蚂蚁爬圆柱是相似的。我们把圆筒展开成长方形，忽略油纸的宽度可见圆筒的高被分成4等份，于是就得到如图所示的直角三角形ABC。有BC=1084=27 cm，又AB=36 cm，由勾股定理得到AC=45 cm。
像这类圆柱侧面的最短路径问题生活中还有许多，如理发店外的旋转招牌，日光灯管上缠的彩带等等，在处理这种问题上，将圆柱侧面展开成_______是解决问题的着手点，此后再利用_______就可以柳暗花明了。
四．即时练习
例1：为庆祝建厂30周年，公司决定用绿色藤蔓装饰一圆柱形高塔.已知塔高18米，底面周长为0.8米，现准备用藤蔓绕塔30圈，问至少需要多长的藤蔓？
例2：已知一根木棒长2.1m，底面周长为0.4m，一根绳子饶棒7圈，求绳子的长度？
D
A
B
C
E
F
3
1
【学习目标】经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在
结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”
【课前准备】（一）预习课本2页到4页
（二）复习检测1、三角形按角分类，可分为_________、_________、_________.
2、（1）任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
（2）对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
（3）对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间又存在着怎样的特殊关系呢？
【学习过程】（一）阅读测试
1课本中P3（图1一2）并回答：（1）．观察图1一2（左边一副图），正方形A中有 个小方格，即A的面积为个 面积单位。正方形 B 中有 个小方格．即B的面积为 个面积单位。正方形 C 中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。
（2）．你是怎样得出上面结果的？（3）．图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
2观察：课本中P3 图1一3（1）图1一 3中，A 、B、C之间有什么关系？（2）从图 1一2 、1一3中你发现了什么？
3思考
（1）．图1一2、1一3中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
（2）．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？（直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么）
（3）．分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，
请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
4练习（1）填空题已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
（2）填空题已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
反思拓展：直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．
勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边
勾股定理及简单运算（2）
【学习目标】经历运用拼图与割补的方法说明勾股定理是正确的过程掌握勾股定理和它的简单应用
【学习重点】能应用拼图法证明勾股定理能利用勾股定理解决简单问题
【课前准备】准备一个P12图1-10样子的图形、剪刀
（一）预习课本8页到14页
（二）复习检测
1、直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理
．2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=5，b=12，则c=________；②若a=60，b=80，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
【学习过程】
（一）阅读测试
1、 观察书中P8图1—5回答问题：
（1）用两种方法表示大正方形的面积S？：________________ ________________
（2）试用等号把这两种表示大正方形面积的式子连接起来，然后化简看看你发现了什么？
拿出课前准备好的图形，按要求操作。
（1）把最小与最大的两个正方形分别绕着直角三角形的直角形与斜边对折
（2）以勾（BC）为边的正方形假定为“朱方”，以股（AC）为边的正方形假定为“青方”，用移动的方法可以将朱、青二方并成弦方（以AB为边的正方形）
（3）依据它们的面积关系有：。这样勾股定理再次得到了证明。
3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
第2节勾股定理逆定理及其应用（3）
【学习目标】 １. 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.
２. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.
【学习重点】 勾股定理的逆定理及其应用.
【学习难点】 勾股定理的逆定理的证明及应用.
【学习准备】 1、阅读教材P17—P18； 2、准备一些筷子.
【学习过程】知识回顾
1. 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是
2. 在RT△ABC中，∠C=90°. (1)若a=7，b=24，则c= ； (2)若a=5，c=13，则b= ；
(3)若c=25，b=15，则a= ；(4)若b=6cm,a=8cm,则斜边AB= ，斜边AB上的高为 。
阅读理解：
（一）实践猜想
1、以线段a、b为直角边，求斜边c的长。
①a=3，b=4； ②a=12，b=5； ③a=2.5，b=6； ④a=6，b=8;
2、猜一猜三角形的形状，小组内用你手边的筷子搭一搭，看看猜测是否正确。
①3cm，4cm，5cm； ②5cm，12cm，13cm； ③2.5cm，6cm，6.5cm； ④6cm，8cm，10cm.
3、用恰当的语言描述你的结论： 这就是勾股定理逆定理。（二）解读教材
请你说说什么叫做勾股数？ 。
判断下列各组数是不是勾股数：
①3，4，7； ②5，12，13； ③2.5，6，6.5.
强调：勾股数一定要是 数。
方法总结：到目前为止，判断一个三角形是否是直角三角形有两种方法：
①利用定义，如果已知条件与角度有关，可借助三角形内角和求出其中一个角是直角，得到直角三角形；
②利用勾股定理的逆定理，能利用这一方法的题目一般是给定或者能通过计算推导出三角形中三边的数量关系（即 ）。
（三）勾股定理逆定理的五种应用（4）
一. 用于判断三角形的形状
例1. 如图1，中，，，
INCLUDEPICTURE "http://www./101resource004/wenjianku/200501/101ktb/lanmu/F20S0594/Image41477.gif" \* MERGEFORMATINET ，求证：是直角三角形
证明：由已知得： ，即c是最长边
是直角三角形
二. 用于求角度
例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，
求的度数
解：因，以点B为定点，将旋转到达的位置，连结PP”，则
为等边三角形在中
由勾股定理的逆定理知
三. 用于求边长
例3. 如图3，在中，D是BC边上的点，已知，，，，求DC
的长
四. 用于求面积
例4. 如图4，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。
解：连结AC，在中，由勾股定理得
五. 用于证明垂直
例5. 如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE：BC=1：4，则AF⊥EF，试说明理由
勾股定理的应用----台阶问题（5）
【学习目标】1.能运用勾股定理解决台阶问题
2.学会将多个平面展开成平面问题来解决
【学习重点】学会构造直角三角形，熟练应用勾股定理来求最短距离。
【学习过程】一、学习准备
在上一节课中，我们看到求圆柱侧面的最短路径问题是将它的侧面展开成_______问题再利用____来解决的 。.但是如果我们把圆柱改成正方体或长方体呢，该怎么半？
二、反思拓展1．已知边长为1的 正方体AB，（1）研究从点A到点B不同的最短路径有几条？（2）求出最短路径的长度？
解析：我们把正方体展开可以发现不同的最短路径有三条，如上图，可是我们也能发现这三条路径的长度其实是一样的。于是有AB=
2． 有一个无盖的长方体盒子的长，宽，高分别为8cm，8cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短线路吗？行程是多少
解析：显然，蚂蚁只能沿长方体侧面爬行，但因为A，B之间有侧棱，故只有将A，B放在同一平面来解决。故把此长方体侧面展开可得到由底边和侧棱构成的直角三角形，即AB== cm
三．即时练习：
练习1：一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为55 cm，10cm ，6 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问它沿台阶面爬行的最短路程是多少？
解析：在台阶面上求最短距离是不容易的，可是这个台阶和刚才的例题却有相同之处。只是现在的长方体由1个变成了3个。假如我们将台阶拉平，则有:
得到的长方形的长BC为 cm,宽AC为（ + ）= cm
练习2：.某公司举行开业典礼，准备在公司门口长13m高5m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为4 m，请你计算共需购买多少平方米的红地毯？
4． 资源链接
如图是一个长方体，它的长FC=30cm，宽FE=10cm，高AF=35cm。A是长方体下底面的一个顶点，B是长方体上底面的边CD的中点。A点有一只蚂蚁想去吃B点的食物，问它爬行的最短路线是多少？
勾股定理的应用（6）
[学习目标] 1. 能运用勾股定理解决简单实际问题
2.学会将曲面展成平面问题来解决
[学习重点] 学会构造直角三角形，熟练地运用勾股定理求最短距离
[学习过程]
1． 学习准备
1．连接两点之间的所有连线中, 最短，即两点之间, 最短。
2．圆柱的侧面展开图是一个 ，圆柱的高是它的 ，圆柱的底面圆周长是它的 。
二．解读教材(请阅读教材28~29页)
1．课本中是沿圆柱的 线将圆柱侧面展开的，即剪开的这条线与底面半径是
2．课本中把圆柱侧面展开后得到的长方形中，长方形的长是 cm,宽是 cm，其中B点是长的 。从图中可以看出A到B的最短距离是 。
3．总结：曲面上的路线问题，我们往往可以将_______展开成______，再利用________来求最短距离。
三．挖掘教材
上例中蚂蚁沿圆柱的侧面爬行,路程只经过圆柱侧面的一半.而实际生活中往往会遇到绕圆柱侧面多次的问题.又该怎么解决呢 如下例:
为筹备迎春晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸.如图,已知圆筒高为108cm,其截面周长为36cm,如果在表面缠绕油纸4圈,最少应裁剪多长油纸(油纸宽度忽略不计)
解析：在圆筒上缠油纸与蚂蚁爬圆柱是相似的。我们把圆筒展开成长方形，忽略油纸的宽度可见圆筒的高被分成4等份，于是就得到如图所示的直角三角形ABC。有BC=1084=27 cm，又AB=36 cm，由勾股定理得到AC=45 cm。
像这类圆柱侧面的最短路径问题生活中还有许多，如理发店外的旋转招牌，日光灯管上缠的彩带等等，在处理这种问题上，将圆柱侧面展开成_______是解决问题的着手点，此后再利用_______就可以柳暗花明了。
四．即时练习
例1：为庆祝建厂30周年，公司决定用绿色藤蔓装饰一圆柱形高塔.已知塔高18米，底面周长为0.8米，现准备用藤蔓绕塔30圈，问至少需要多长的藤蔓？
例2：已知一根木棒长2.1m，底面周长为0.4m，一根绳子饶棒7圈，求绳子的长度？
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