(共51张PPT)
要点梳理
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫
做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
§2.7 函数与方程
f(x)=0
基础知识 自主学习
（2）几个等价关系
方程f(x)=0有实数根? 函数y=f(x)的图象与_____有
交点 ?函数y=f(x)有_______.
(3)函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有_________________,那么函
数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),
使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.
f（a）·f（b）<0
(a，b)
f(c)=0
c
x轴
零点
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点 __________________ ________ 无交点
零点个数 ______ _____ ___
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
无
一个
两个
3.二分法
（1）二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的
函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区
间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进
而得到零点近似值的方法叫做二分法.
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间［a，b］，验证______________,
给定精确度 ；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
f(a)·f(b)<0
第三步，计算_______：
①若_______，则x1就是函数的零点；
②若_____________，则令b=x1
(此时零点x0∈(a,x1));
③若______________，则令a=x1
(此时零点x0∈(x1,b));
第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则
得到零点近似值a（或b）;
否则重复第二、三、四步.
f(x1)
f(a)·f(x1)<0
f(x1)·f(b)<0
f(x1)=0
基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是 （ ）
A.0，2 B.0，
C.0， D.2,
解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,
∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).
令g(x)=0，得x=0,x=
∴g（x）的零点为0，
C
2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，
则a的取值范围是 （ ）
A. B.a≤1
C. D.
解析 f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，
则f(-1)·f(1)≤0,即
D
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是 （ ）
解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函
数f（a）·f（b）<0.
B
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（ ）
A.f(x)=3x2-4x+5
B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=mx2-3x+6
D.f(x)=ex+3x-6
解析 对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0，
∴f（1）f（2）<0.
D
5.设函数 则函数f(x)-
的零点是__________.
解析 当x≥1时，
当x<1时，
(舍去大于1的根).
∴ 的零点为
题型一 零点的判断
【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］；
(2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］.
第（1）问利用零点的存在性定理或
直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理
或利用两图象的交点来求解.
思维启迪
题型分类 深度剖析
解 （1）方法一
∵f（1）=12-3×1-18=-20<0，
f（8）=82-3×8-18=22>0，
∴f(1)· f(8)<0，
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点.
方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8].
∴(x-6)(x+3)=0，
∴x=6∈[1，8],x=-3?[1，8]，
∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一 ∵f（1）=log23-1>log22-1=0,
f(3)=log25-3
∴f（1）· f（3）<0，
故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.
方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系
中画出它们的图象，
从图象中可以看出当1≤x≤3时，
两图象有一个交点，
因此f(x)=log2(x+2)-x,
x∈[1，3]存在零点.
函数的零点存在性问题常用的办法
有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得
说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是
必要条件.
探究提高
知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存
在零点.
（1）f(x)=x3+1;
（2） x∈（0，1）.
解 （1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,
∴f(x)=x3+1有零点-1.
（2）方法一 令f(x)=0，
∴x=±1, 而±1 ?(0,1),
∴ x∈(0,1)不存在零点.
方法二 令 y=x,在同一平面直角坐标系中，
作出它们的图象,从图中可以看出当0没有交点.
故 x∈(0，1)没有零点.
题型二 函数零点个数的判断
【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数.
该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的
图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.
思维启迪
解 在同一坐标系画出
y=ln x与y=6-2x的图象，由
图可知两图象只有一个交点,
故函数y=ln x+2x-6只有一个
零点.
若采用基本作图法，画出函数y=ln x+
2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x
与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.
探究提高
知能迁移2 已知函数 (a>1),判断
f(x)=0的根的个数.
解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)=
则f(x)=0的解即为
f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)
与f2(x)图象交点的横坐标.
在同一坐标系中，作出函数
f1(x)=ax (a>1)与f2(x)= 的图象(如
图所示）.
两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且
只有一个根.
题型三 零点性质的应用
【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+
(x>0).
(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个
相异实根.
（1）可结合图象也可解方程求之.
（2）利用图象求解.
思维启迪
解 （1）方法一 ∵
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)， 4分
因而只需m≥2e，则 g(x)=m就有零点. 6分
方法二 作出 的图象如图：
4分
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e. 6分
方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根， 4分
等价于 故m≥2e. 6分
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，
即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个
不同的交点，
作出 （x>0）的图象.
∵f（x）=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其对称轴为x=e，开口向下，
最大值为m-1+e2. 10分
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞). 12分
此类利用零点求参数的范围的问题，可
利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构
造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了
当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求
参数的范围，一般采用数形结合法求解.
探究提高
知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+
(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,
且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说
明理由.
解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0
∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.
f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)
=4(1-a)(5a+1)≤0.
所以a≤ 或a≥1.
检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)=0时，a=
解之得x= 或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠
综上所述,a< 或a>1.
1.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定
理；②数形结合；③解方程f（x）=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=
f（x）-g（x）的零点.
3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其
实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的
任一点就是这个函数零点的近似值.
方法与技巧
思想方法 感悟提高
1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数的零点,注意以下几点:
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个
实数时,其函数值等于零.
(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点
的横坐标.
(3)一般我们只讨论函数的实数零点.
(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.
失误与防范
2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在［a,b］上连续;
(2)f(a)·f(b)<0;
(3)在（a,b）内存在零点.
事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
一、选择题
1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点
的区间是 （ ）
A.[0，1] B.[1，2]
C.[-2，-1] D.[-1，0]
解析 ∵f（-1）=3-1-(-1)2=
f（0）=30-02=1>0，
∴f（-1）·f（0）<0，
∴有零点的区间是[-1，0].
D
定时检测
2.(2009·天津理，4)设函数 (x>0),
则y=f(x) （ ）
A.在区间 (1,e)内均有零点
B.在区间 (1,e)内均无零点
C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点
D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析 因为
因此f(x)在 内无零点.
因此f(x)在(1，e)内有零点.
答案 D
3.（2009·福建文，11）若函数f（x）的零点与
g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f(x)可以是 （ ）
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.
解析 ∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且
设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则
又f(x)=4x-1零点为
f(x)=(x-1)2零点为x=1;
f(x)=ex-1零点为x=0;
零点为
答案 A
4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵a∈R+，∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图，
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1
的图象总有两个交点.
∴方程有两解.
B
5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取
值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选
的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其
次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.
如图，作出函数y=|x|·(x-1)的
图象，由图象知当k∈ 时，
函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的
交点，即方程有3个实根.
答案 A
6.设f(x)=x3+bx+c (b>0)(-1≤x≤1),且
则方程f(x)=0在[-1,1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根
解析 ∵f（x）=x3+bx+c （b>0），
∴f′(x)=3x2+b>0,∴f（x）在[-1,1]上为增函数,
又∵
∴f（x）在 内存在唯一零点.
C
二、填空题
7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数
g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
解析
∴g（x）=-6x2-5x-1的零点为
8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式
af(-2x)>0的解集是________________.
解析 ∵f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3.
∴-2，3是方程x2+ax+b=0的两根，
由根与系数的关系知
∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0，
即-(4x2+2x-6)>0? 2x2+x-3<0,
解集为
9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=
x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0
①有三个实根；
②当x<-1时,恰有一实根(有一
实根且仅有一实根);
③当-1④当0⑤当x>1时，恰有一实根.
则正确结论的编号为___________.
解析 ∵f（-2）=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,
f（-1）=0.01>0，即f(-2)·f(-1)<0，
∴在（-2，-1）内有一个实根.
由图中知：方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根,
所以②正确.
又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数
根,所以③不正确.
又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0.
在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)·f（0.5）<0,
∴f（x）=0在（0，0.5）上也有一个实根.
∴f（x）=0在（0，1）上有两个实根，④不正确.
由f（1）>0且f(x)在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）>0,f(x)=0在（1，+∞）上没有实根.
∴⑤不正确.并且由此可知①也正确.
答案 ①②
三、解答题
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，求
m的取值范围，并求出该零点.
解 ∵f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t (t>0)，则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0，
∴m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，
∴2x=1，x=0符合题意.
当Δ>0，即m>2或m<-2时，
t2+mt+1=0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.
综上可知：m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0,
又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,
∴m≤
②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
由①②可知m≤-1.
12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数
y=f(x)在区间［-1，1］上有零点,求a的取值范围.
解 （1）当a=0时，f(x)=2x-3.
令2x-3=0,得x= ［-1，1］
∴f（x）在［-1，1］上无零点，故a≠0.
（2）当a>0时，f(x)=2ax2+2x-
3-a的对称轴为
①当 ≤-1,即0须使
∴a的解集为? .
②当-1< <0,即a> 时，
须使
解得a≥1,∴a的取值范围是［1，+∞).
（3）当a<0时，
①当0< ≤1,即a≤ 时，
须有
又a≤
∴a的取值范围是
②当 >1,即 须有
∴a的解集为 ?.
综上所述，a的取值范围是
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