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1教学目标
1.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
2.理解函数的零点与方程的联系。
2
教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
教学难点：函数零点存在的条件。
3教学过程
3.1
教学活动
活动1【讲授】函数与方程
一、函数的零点
探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程
方程的根
二次函数
图像与X轴的交点
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
（-1，0），（3，0）
x2-2x+1=0
x1= x2=1
y=x2-2x+1
（1，0）
x2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像
一、函数的零点
探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程
方程的根
二次函数
图像与X轴的交点
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
（-1，0），（3，0）
x2-2x+1=0
x1= x2=1
y=x2-2x+1
（1，0）
x2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像
y
x
0
－1
2
1
1
2
.
.
.
.
.
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像
归纳：
1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；
2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
1.函数的零点
概念：
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
意义
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
求函数的零点
代数法：求方程f(x)=0的实数根几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
函数零点的存在性
二次函数的零点
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的实数根
y=ax2+bx+c的零点数
△﹥0
有两个不等的实数根x1、x2
两个零点x1、 x2
△=0
有两个相等的实数根x1= x2
一个零点x1（或x2）
△﹤0
没有实数根
没有零点
（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像
x
y
x1
x2
0
（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像
x
y
0
x1
（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像
x
y
0
探究发现
问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？
解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5
f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4
f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0
问题2：在区间[2,4]呢？
解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3
f(4)=42-2*4-3=5
f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0
归纳：
f(2)* f(1)﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4)﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。
结论：
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。
图像在 上的图像是连续不断的函数 在区间 内至少有一个零点
习题演练
利用函数图像判断下列二次函数有几个零点
y=－x2＋3x＋5 ， ②y=2x(x－2)+3
解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,
做出函数f(x)的图像，如下
x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2
－2
4
.
.
.
.
.
（图4-1）
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。
②y=2x(x－2)+3可化为
做出函数f(x)的图像,如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
（图4-2）
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。
用二分法求方程的近似解
创设情境，导入课题
支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件……
（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
1.先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。
2.这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
3.先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢？
按3那样来检测。
3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。
讲解新课
那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？
能否求解方程式
方程 的解可用求根公式来解。
不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程 的一个正的近似解？（精确到0.1）
（探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式）
学生先自行探求，并进行组织交流。
（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）
①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= 的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(2)<0,f(3)>0,可得出根所在区间(2,3)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。
学生简述上述求方程近似解的过程。
（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）
（思考，解决。问题激励，语言激励）因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
揭示二分法的定义。
指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。
例题剖析
例1. 根据表格中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（ ）
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)
解析：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？
有了这个依据，本题应选什么？为什么？
现在，判断某根所在区间有哪些方法？
画图或利用函数值的正负来判断。
变式训练：
1）
3） （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4) ( )
A.仅有一根 B.有一正根一负根
C.有两负根 D.无实根
本课小结课后练习
1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值 ( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)<0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)>0.
2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[－2，－1] D.[－1,0]
解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，
f(0)＝30－0＝1>0，
∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点.
3.(2010·苏北三市联考)若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的小整数是 .
解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，
则f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0
∴4＜x0＜5
∴不小于x0的最小整数是5.
4.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ( )
A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝ln(x－)
解析：∵4个选项中的零点是确定的.
A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝.
又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，
g()＝ ＋2×－2＝1＞0，
∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，)之间.从而选A.
5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.
6.设函数f(x)＝ 则函数F(x)＝f(x)－的零点是 .
解析：当x≥1时，f(x)－＝2x－2－＝2x－＝0，
∴x＝.
当x＜1时，x2－2x－＝0，
∵Δ＝4＋1＞0，
∴x＝＝，又∵x＜1，∴x＝.
∴函数F(x)＝f(x)－有两个零点和.
答案：，
y
x
0
－1
2
1
1
2
.
.
.
.
.
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像
归纳：
1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；
1教学目标
了解关于天才的话题。
明确天才出现的原因。
2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.2 第二学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.3 第三学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
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