第15讲 8.6.3平面与平面垂直（第2课时 平面与平面垂直的性质定理）
课程标准 学习目标
①掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.
知识点01： 平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
(3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线.
【即学即练1】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，即B项正确；
因为平面，所以，即A正确；
因为为线段的中点，
所以，同理可得平面，即D正确；
因为平面，平面，所以，
平面，若，则平面，
显然不重合，故C错误.
故选：C
题型01 平面与平面垂直的性质定理的应用
【典例1】（2024·广东·高三学业考试）在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）证明:因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）证明：因为，为的中点，，
又平面平面
平面平面，
所以平面
又平面.
所以.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点
(1)证明：直线//平面；
(2)若平面平面，证明：直线平面.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
因为，均垂直面，所以，
因为，所以且，
所以为平行四边形，
所以，面，面，
所以面．
（2）如图，过作于，
平面平面，且两平面的交线为,平面,
平面，
由平面，．
平面，平面，，
又平面，
平面．
.
【典例3】（2023上·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接与相交于,连接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,所以平面，
（2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面，
所以平面，平面,故，
又四边形为直角梯形，故,
是平面内的两相交直线，所以平面，
平面，故.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】在矩形中，，
又平面平面，平面平面=，
平面，所以平面，
又平面，所以，
在矩形中，，
又，所以，
所以，
又，平面，
所以平面.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；
【答案】证明见解析
【详解】取的中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，
又，所以，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又，即，且，平面，
所以平面.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由条件、为等边三角形，为的中点，
则，，，
由余弦定理得
从而在中，，
得为直角三角形，且，
又面面，面面，且，面，
则由面面垂直的性质定理可得面
由面,所以
因此由，，，平面，
所以平面，
即面POD.
题型02 平面图形折叠后的垂直问题
【典例1】（2023上·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接，
因为菱形的边长为2，，
所以，均为等边三角形，
故⊥，⊥，且，
为二面角的平面角，则，
故为等边三角形，，
又，平面，
所以⊥平面，
又E为的中点，取的中点，的中点，
连接，则，且，
因为平面，平面，所以平面，
同理得平面，
因为，平面，
故平面平面，
所以⊥平面，
故点F轨迹为（除外），
故点F轨迹的长度为.
故选：A
【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.
(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，中点，连接，，，
又，∴，∵，∴，
又∵，∴，
又，平面，∴平面，
平面，则，
∵，为中点，，
而与不平行，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）由（1）知，平面，在直角梯形中，过作，垂足为，
则为矩形，∵，，，
，在中，，得到的距离，
则四边形的面积，
在中，，求得，则为等边三角形，
可得，即.
∴.
【典例3】（2023上·江西宜春·高二校考开学考试）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．
(1)证明：是的中点；
(2)是上一点，己知二面角为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在图①中过C作，则，，
图②中，，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又是的中点，∴是的中点；
（2）如图， 过作交BE于H，过作于点，连结，
且，因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
平面，所以，
则为二面角的平面角，∴，
设，∴，
又，∴，
在中，，,
由得，即，∴，
∴．
【变式1】（多选）（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A．两点间的距离满足
B．
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当二面角 为时，
【答案】AB
【详解】如图所示，取 的中点，连接
对于，在正方形中，，将正方形沿其对角线进行折叠，
易得 两点间的距离满足，故A正确；
对于, ，ON,OD含于面BOD
平面，又平面，
,故B 正确；
对于 ，当平面平面时，三棱锥的体积的最大，
最大为 ，故C 错误;
对于,因为，
所以为二面角 的平面角，
则当时，三角形为等边三角形，
则,故错误，
故选：AB.
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】因为，，，平面，
所以平面；
因为平面，所以平面平面；
已知为直角，所以，
又，，平面，
因此平面，
因为平面ABD，所以平面平面.
【变式3】（2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．
(1)求证：MN⊥平面；
(2)求此多面体体积V的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）
在图2中，取的中点E，连，
因为，E为的中点，所以，同理得，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）根据图形的对称性可知，，
因为的面积为，为定值，
所以当点M到平面OCN的距离最大值时，三棱锥体积最大，
此时平面OMC⊥平面ONC，点M到平面OCN的距离等于点M到OC的距离，等于，
所以此多面体体积V的最大值为．
题型03直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用
【典例1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．
(1)证明：与平面不垂直；
(2)证明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）若平面，
则，
由已知，
得，
这与矛盾，所以与平面不垂直．
（2）取、的中点、，连接、、，
由，，得，
，
为直角梯形的中位线，
，又，
平面，
由平面，得，又且梯形两腰、必交，
平面,
又平面，
平面平面,
（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角,
作于，连，
由于平面,平面,故,
,平面,故平面
平面,所以
故为二面角的平面角,
即，
由已知，得，
又．
，
． ，
故二面角的大小为．
【典例2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，平行四边形中，，将沿翻折，得到四面体．
(1)若，作出二面角的平面角，说明作图理由并求其大小；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)二面角的平面角见解析，
(2)
【详解】（1）如图所示：
取点为的中点，连接，则即为所求的二面角的平面角，理由如下：
由题意，
又因为四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
又点为的中点，
所以由三线合一可知，
又面面，
所以即为所求的二面角的平面角，
而，所以，同理，
而，
所以在中，由余弦定理有，即.
（2）
由题意，，
由余弦定理有，
解得，
所以，即，
所以由题意有，，
又因为，
所以，即，
又面，
所以面，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
不妨设点到平面的距离为，
因为，
所以，解得，即点到平面的距离为.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：
(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；
(2)当的值为多少时，能使平面？
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．
四边形是菱形，
，又，．
又，，
△△，，
，，
又，，平面
平面，
又平面，．
是二面角的平面角．
方法一：∵，可得，，
又．
因为平面，故平面平面，
而平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
∴．
又，∴，
∴．
方法二：在中，．
由余弦定理知，
又，∴，
∴，即．
∴是中点，．
方法三：∵，，
∴，
即．
∴，
∴，
，．
∴，故．
（2）当时，能使平面．
方法一 ：由前知平面，∴．
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．
同的证法可得，
而平面，故平面．
方法二 ：∵，∴．
由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．
∵，且，∴．
又是正三角形的边上的高和中线，
∴点是正三角形的中心．
∴平面，即平面．
方法三 ：如图，沿面补一个全等的平行六面体．
∴．若平面，则平面．
∴．令．
由余弦定理可知，．
又，则，
即．
∴，解得或（舍）．
由此可知当时，平面．
方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则．
∵，∴．
∴，．
在Rt中，，即，
∴，解得或（舍去）．
由此可知当时，平面．
【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥.
(1)证明：；
(2)当平面平面时，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
在图1中，连接,
∵，，E是AD的中点，
所以四边形是正方形，∴,
∴在图2中，，，
又，、平面，
∴平面.
又，且，∴四边形是平行四边形，
∴，∴平面，
又∵平面，∴；
（2）∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
又∵，，
∴.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．
请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：
设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．
【答案】关系（1）：；关系（2）：；.
【详解】关系（1）：；关系（2）：；
下面给出证明：
在题干的左图中，因为平面，平面，
所以，
又，，平面,
所以平面，且平面，
所以，所以，
又因为，
故关系（1）：；
同理可得：，
故关系（2）：；
如下图，过作延长线于，连结，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
设二面角的平面角中的锐角为，
因为，
所以与全等，
所以且，所以，
又因为，
所以，
设二面角的平面角中的锐角为，
由两个重要关系，可得，，
利用同角的三角关系可得：，
所以，
由于为锐角，因此，
即二面角的平面角的正弦值为．
【变式3】（2024·四川遂宁·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见讲解；
(2)当点为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解.
【详解】（1）过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当点为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：
过点作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以，即到平面的距离为，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，即，
故为中点，所以为中点时，四棱锥的体积为.
题型04空间垂直的转化
【典例1】（2023·北京海淀·统考二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】取边的中点为,连接 , P是CE的中点，则,
由于,平面平面,平面平面，平面, 故平面,平面, 故,
在直角三角形中， , ,
要使最小，则最小，故当时，此时最小，故的最小值为,所以，、
故选：C
【典例2】（2023上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以直线上任一点到平面的距离即为两条异面直线与的距离，
过点作，
因为平面平面，且平面，所以平面．
过点作交于点，则，
取，连接，则四边形是矩形，可得平面，
在直角中，由，所以，
故点到直线的距离的最小值为．
故答案为：．
【典例3】（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)设，，求与的函数关系式；
(3)求、两点间的最短距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）过点作，交于点，连接、，
因为，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
又，所以，
因为平面，，平面，
所以，平面，
同理可得，平面，
因为平面，平面，，
所以，平面平面，
因为平面，所以直线平面.
（2）由（1）可知，，，
所以，，
所以，，
同理可得，，
又平面平面，平面平面，
，平面，
所以，平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
所以，是直角三角形，
所以，
，
即；
（3）由，且，
所以当，即、分别为线段、中点时，
有最小值，
、两点间的最短距离为.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法：
①若，且，则；
②若，且，则且；
③若，，则．其中正确的是 ．
【答案】①②
【详解】对于①，因为两个平行平面中的一个平面与已知平面垂直，则另一个平面也与这个平面垂直，故①正确；
对于②，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故②正确；
对于③，可能，故③错误.
故答案为：①②.
【变式2】（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是 .
【答案】/
【详解】连接如图所示线段，其中为中点，
由正方体棱长为2，
则，则，
，有，
故，又，且、平面，
，故平面，
又平面，故，
又平面，平面，
故，又、平面，，
故平面，又为中点，故，
故平面，故平面，
故，连接点与中点，
则有、、、，
又，
故与全等，则有，
故，
即，即点在线段上，
故当时，有最小值，
此时有，
即，
即最小值为.
故答案为：.
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知，在与的交线上取线段，且AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，，求CD的长.
【答案】13
【详解】如图，
连接BC.因为，直线AB是两个互相垂直的平面和的交线，
所以.因为，所以.
所以是直角三角形.
在中，.
在中，.
所以CD长为13.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东·高三学业考试）已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.
【详解】A选项，缺条件，结论不成立；
B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.
故选：C
2．（2023下·全国·高一专题练习）已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】易知平面，由面面垂直的性质可得结论.
【详解】
平面，，即平面，平面，
又平面平面，平面平面，
平面.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】AB选项，可以举出反例，C选项，可以通过面面垂直的性质和线面垂直的性质进行证明；D选项可以证明出.
【详解】如图，满足，但不垂直，A错误；
若，则或异面，或相交，B错误；
因为，则或，又因为，所以，C正确；
因为，所以，
又因为，设，则，所以
则，D错误.
故选：C
4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当平面平面，此时点到平面的距离取得最大值，取的中点，得到，证得平面，得到三棱锥的高为，结合体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，要使得三棱锥的体积取得最大值，
当平面平面，此时点到平面的距离取得最大值，
取的中点，因为，可得，
因为平面平面，且平面，所以平面，
在直角中，可得，即三棱锥的高为，
又由三角形的面积为，
所以三棱锥的体积的最大值.
故选：B.
5．（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【分析】利用面面垂直的性质可判定线面垂直，从而得出线线垂直，即可判定A、B、D三项正确.
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，即B项正确；
因为平面，所以，即A正确；
因为为线段的中点，
所以，同理可得平面，即D正确；
因为平面，平面，所以，
平面，若，则平面，
显然不重合，故C错误.
故选：C
6．（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变
【答案】D
【分析】不妨设，根据面面垂直可得平面，进而可得，可求，在中，利用余弦定理运算求解.
【详解】不妨设，则，
可得，
连接，
因为，，则，即，
平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
且平面，所以，
可得，
在中，，
且，则，所以的大小不变.
故选：D.
7．（2023下·广东梅州·高一统考期末）如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】取中点分别为，连接,过点作的垂线，垂足为，从而在直角梯形求解即可.
【详解】
如图，取中点分别为，连接,
过点作的垂线，垂足为，
因为，所以，
且,所以,
因为平面平面，平面平面，
面,
所以平面，又因为平面，所以，
又因为在三棱台中，，
所以四边形为直角梯形，
因为,,
所以，
所以在直角三角形中，,
故选: A.
8．（2023下·高一课时练习）如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算作答.
【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图，
因为平面平面DAC，平面平面，平面，
则平面DAC，而平面DAC，于是，
又，平面BOE，则平面BOE，
而平面BOE，即有，
因此为二面角的平面角，显然，，
有，即为直角三角形，有，则，
所以.
故选：C
二、多选题
9．（2023下·全国·高一专题练习）关于三个不同平面、、与直线，下面命题中的真命题是( )
A．若，则内一定存在直线平行于
B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于
C．若，，，则
D．若，则内所有直线都垂直于
【答案】ABC
【分析】设，则内所有平行于的直线都平行，据此可判断AD；采用假设法可判断B；通过面面垂直的性质、线面垂直的性质、线面平行的判断定理和性质可证明C为真命题.
【详解】对于A，假设，则内所有平行于的直线都平行，故A为真命题；
对于B，假设内存在直线垂直于，则，与题设矛盾，故假设错误，故B为真命题；
对于C，设，，设m是α内，n是β内不同于l的直线，且m⊥a，n⊥b，
∵，，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，
∵mα，nα，∴n∥α，∵nβ，α∩β＝l，∴n∥l，∴l⊥γ，故C为真命题；
对于D，假设，a，但aβ，故D为假命题．
故选：ABC．
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】ABD
【分析】利用面面平行的性质及线面垂直的性质，面面垂直的性质即可求解.
【详解】对于A，由，，得，又因为，所以，故A正确；
对于B，由，，得，因为，所以 ，故B正确；
对于C，由，，，得与异面或平行，故C错误；
对于D，由，，得或，又因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023下·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于 ．
【答案】－2
【分析】在平面ABC内，过作，可证得平面，AH⊥平面BCD，过作，可得平面，则，故为二面角的平面角的补角，设，求出，即可得出答案.
【详解】在平面ABC内，过作，垂足为，连接DH，
由题意，，平面，∴平面，
∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD，
过作，垂足为，连接AR，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，∴，
故为二面角的平面角的补角．
设，则由题设知，，
在中，，
，
故二面角的正切值为－2．
故答案为：－2．
12．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），给出以下结论：
①存在，使；
②三棱锥体积最大值为；
③直线平面．
则其中正确结论的序号为 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③
【分析】①假设存在，根据线面垂直的判定定理和性质得到，再说明与不垂直，与矛盾，即可得到假设不成立；②根据题意得到当平面平面时，三棱锥体积最大，然后求体积即可；③证明平面∥平面，再利用面面平行的性质即可得到∥平面.
【详解】
取中点，连接，，
①假设存在，
因为为中点，，所以，
又为中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，为中点，
所以与不垂直，与矛盾，故假设不成立，故①错误；
②当平面平面时，三棱锥体积最大，
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，此时，
所以三棱锥体积最大值为，故②正确；
③取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
因为为矩形，且为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
因为平面，所以∥平面，故③正确.
故答案为：②③.
四、解答题
13．（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：取中点F，连，
因为E为的中点，
所以且，
又，，
所以且，
故四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）证明：由题意：，．
∵，
∴⊥，
又平面⊥平面，平面平面，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴PD⊥AB，
∵为等腰直角三角形，
∴⊥，
∵，平面，
∴⊥平面；
（3）∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵⊥平面，平面，
∴⊥，
又，故，
由（2）得，⊥平面，又为的中点，
所以.
14．（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
(1)求证：平面；
(2)若，平面平面.若为中点，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）若，则为等边三角形，如图，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
B能力提升
1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取的中点，的中点，连接，由题意可知，，所以，由于平面平面，
所以平面，所以,，所以，
在中，，
所以四面体的外接球的球心为，半径为，
所以该球的体积.
故选：B
2．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取中点，连结，
根据题意，平面，平面，
所以平面平面，
因为，所以，
又平面平面，平面
所以平面，且
由题意可知，
，
则，即为直角三角形，
，
设到平面的距离为，且，
即，
.
故选：B
3．（2023上·全国·高三专题练习）如图，P、Q是直线上的点，平面，五面体的各顶点均在球O球面上，四边形为边长为2的正方形，且，均为正三角形，则当球O半径取得最小值时，五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设E，F分别为，的中点，为等边的中心，
当球心与正方形中心重合时，球半径取得最小值，此时，
因为，所以，即，
如图，过、分别作平面的垂面，交直线于R，S两点，
由题意可知，直线在平面内的投影为直线，
所以四边形是矩形.
则，，
所以五面体的体积为 .
故选：B.
4．（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见讲解；
(2)当点为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解.
【详解】（1）过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当点为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：
过点作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以，即到平面的距离为，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，即，
故为中点，所以为中点时，四棱锥的体积为.
5．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
因为分别为的中点，
所以，
所以分别为以为斜边的直角三角形，
即，又，平面平面，
所以平面，因为平面平面，
所以平面.
（2）如图，过作，连接并延长，交于点，
连接，因为，所以为的中点，所以，
连接，因为，
所以，又平面平面，
所以平面，连接，
则是截面与平面所成二面角的平面角，
即.
在中，，所以，
又在中，由余弦定理可得
，
所以在中，，
所以，所以，所以
因为，
所以，即为中点.
又是中点，所以是的重心，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以.第15讲 8.6.3平面与平面垂直（第2课时 平面与平面垂直的性质定理）
课程标准 学习目标
①掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.
知识点01： 平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
(3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线.
【即学即练1】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】C
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，即B项正确；
因为平面，所以，即A正确；
因为为线段的中点，
所以，同理可得平面，即D正确；
因为平面，平面，所以，
平面，若，则平面，
显然不重合，故C错误.
故选：C
题型01 平面与平面垂直的性质定理的应用
【典例1】（2024·广东·高三学业考试）在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点
(1)证明：直线//平面；
(2)若平面平面，证明：直线平面.
【典例3】（2023上·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面；
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．
题型02 平面图形折叠后的垂直问题
【典例1】（2023上·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.
(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积.
【典例3】（2023上·江西宜春·高二校考开学考试）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．
(1)证明：是的中点；
(2)是上一点，己知二面角为，求的值．
【变式1】（多选）（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A．两点间的距离满足
B．
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当二面角 为时，
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.
【变式3】（2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．
(1)求证：MN⊥平面；
(2)求此多面体体积V的最大值．
题型03直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用
【典例1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．
(1)证明：与平面不垂直；
(2)证明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．
【典例2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，平行四边形中，，将沿翻折，得到四面体．
(1)若，作出二面角的平面角，说明作图理由并求其大小；
(2)若，求点到平面的距离．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：
(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；
(2)当的值为多少时，能使平面？
【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥.
(1)证明：；
(2)当平面平面时，求三棱锥的体积.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．
请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：
设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．
【变式3】（2024·四川遂宁·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
题型04空间垂直的转化
【典例1】（2023·北京海淀·统考二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【典例2】（2023上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．
【典例3】（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)设，，求与的函数关系式；
(3)求、两点间的最短距离.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法：
①若，且，则；
②若，且，则且；
③若，，则．其中正确的是 ．
【变式2】（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是 .
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知，在与的交线上取线段，且AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，，求CD的长.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东·高三学业考试）已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．（2023下·全国·高一专题练习）已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．以上都有可能
3．（2023·全国·高三专题练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
6．（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变
7．（2023下·广东梅州·高一统考期末）如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023下·高一课时练习）如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（ ）
二、多选题
9．（2023下·全国·高一专题练习）关于三个不同平面、、与直线，下面命题中的真命题是( )
A．若，则内一定存在直线平行于
B．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于
C．若，，，则
D．若，则内所有直线都垂直于
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
11．（2023下·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于 ．
12．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），给出以下结论：
①存在，使；
②三棱锥体积最大值为；
③直线平面．
则其中正确结论的序号为 ．（填写所有正确结论的序号）
四、解答题
13．（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．
14．（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
(1)求证：平面；
(2)若，平面平面.若为中点，求证：.
B能力提升
1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·全国·高三专题练习）如图，P、Q是直线上的点，平面，五面体的各顶点均在球O球面上，四边形为边长为2的正方形，且，均为正三角形，则当球O半径取得最小值时，五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
5．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.
(1)设平面平面，证明：平面；
(2)若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.
