第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时）
课程标准 学习目标
①掌握直线与平面垂直的性质定理。 ②会用性质定理证明相关问题。 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题
知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义)
（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
（2）符合语言：，.
（3）图形语言：
（4）定理应用：线面垂直线线垂直.
【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：
(1)平面；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）四棱锥的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分别是，的中点，
，平面，
又平面，.
知识点02：直线与平面垂直的性质定理
（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符合语言：，
（3）图形语言：
（4）定理应用：垂直与平行的转换
①线面垂直线线平行
②作平行线
【即学即练2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】如图：
∵，，∴.
同理.
∵，，平面，∴平面.
又∵，，∴.
∵，，，平面，
∴平面.
∴.
知识点03：点面距、线面距、面面距
（1）点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
①图形语言：
如图，线段的长度就是点到平面的距离.
②点面距的范围：.
③常用方法：等体积法
【即学即练3】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由题意得，
设点到平面的距离为，则由等体积转化法为，
当与重合时，最大，最大为，
此时最小，为.
故选：B.
（2）直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
①图形语言：
线段的长度就是直线到平面的距离.
②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.
（3）平面到平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
①图形语言：
线段的长度就是平面到平面的距离
(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.
题型01 直线与平面垂直的定义转化为性质
【典例1】（2024下·高一课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面．
（2）∵底面，底面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
【典例2】（2024·广东·高三学业考试）在三棱柱中，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若侧面为菱形，求证：.
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为，的中点，
因为点是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）证明：连接，
因为四边形为菱形，所以，
因为，，,
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以
【典例3】（2024上·广东·高三统考学业考试）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．证明：
【答案】证明见解析
【详解】取的中点，连接，，
，，，，
又，平面，
平面，
又因为平面，
.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，
因为M，N分别是PD，PB的中点，所以，
又平面，平面，
所以直线平面；
（2）因为，
所以，所以，
因为，，
所以，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．
(1)求证；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在中，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，即，
又因为在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
题型02 直线与平面垂直的性质定理的运用
【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．
求证：.
【答案】证明见详解.
【详解】连接，，，，
因为在正方体中，平面，平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因此；
同理可证：，
又，平面，平面，
所以平面；
因为与异面直线、都垂直相交，
即，，
又在正方体中，与平行且相等，
所以四边形为平行四边形，因此，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面；
因此.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，连接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【详解】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，平面，所以平面，
所以.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【详解】因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
【变式3】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
题型03 点到平面的距离
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在正三棱柱中，若，，
所以，
由勾股定理可得，
在等腰三角形中，底边上的高长为，
所以等腰三角形的面积为，
设点A到平面的距离为，
，
故选：B
【典例2】（2024上·全国·高三阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，
又因为平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由题意可知：，
设点到平面的距离为，
因为，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 .
【答案】
【详解】设是底面的中心，则平面，又因为平面，所以，
正四面体的棱长为1，则，
,
故答案为：.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
连接交于点，连接，
则有为的中点，M为的中点，
所以，
且平面，平面，
所以平面.
（2）连接,因为，所以,
又因为平面，平面，
所以，,所以平面,
又因为平面,所以,
又，所以是等腰直角三角形，
,
所以,
,
设点A到平面的距离为，
因为,所以,
所以.
【变式1】（2024·上海·高二专题练习）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】设点到平面的距离为，
∵两两垂直，且，
∴，，
∴，
又，，，平面，
所以平面，
∵，即
∴，
∴，即点到平面的距离为，
故选：D
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 .
【答案】
【详解】设在平面内的射影为，则平面，
由于平面，所以，
过作，垂足分别为，
由于，所以四边形是矩形.
由于平面，所以平面，
平面，所以；同理可证得.
所以，，
，即到平面的距离是.
故答案为：
【变式3】（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .
【答案】/
【详解】解：如图，设点到平面的距离为，
，
又，
在中，，
所以是边长为的等边三角形，
则，
，即，
解得：，所以点到平面的距离为.
故答案为：.
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．
因为ABCD为正方形,所以,
因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为平面PAB,所以,
因为,E为线段PB的中点,所以,
又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
（2）由F是BC的中点．所以,
因为底面ABCD,平面ABCD,
所以,因为E为线段PB的中点,
所以,
由(1)知平面PBC,平面PBC,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
由(1)知平面PAB,所以平面PAB,
设点P到平面AEF的距离为h,
则有,
解得,所以点P到平面AEF的距离为．
题型04 线面距，面面距
【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（ ）
A． B．a C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中，
又平面，平面，所以，
平面，所以平面，
所以的长即为棱到面的距离，而，
所以所求距离为．
故选：C．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．
(1)证明：面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
【详解】（1）由条件、为等边三角形，为的中点，
则，，，
由余弦定理得
从而在中，，
得为直角三角形，且，
又面面，面面，且，面,
则由面面垂直的性质定理可得面
由面，
因此由，，，面，即面POD.
（2）存在AC上的点F，使得面
点E为PB中点，取的中点，可得，再在面内作交于点，该点即为满足题意的点（如图）．
下面证明面面
由于，面，面，则面，
，面，面，则面，
面，面，，
则由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD
又由于，从而可得，，，
由（1）可知，面，则面，即为面与面间的距离，也即到面的距离．
综上：存在上的点，使得面，，
到面的距离为．
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ．
【答案】
【详解】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离．
如图，过点A作于点．
因为平面，平面
所以平面平面，
又平面平面=
所以平面，则即为所求．
在中，，，则，
因为，所以．
故平面与平面的距离为．
故答案为：
【典例4】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在正六棱柱中，
因为底面为正六边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面.
（2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为.
连接，则四面体的体积.
因为，
，，
所以，从而，
所以，
所以，即平面与平面间的距离为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.
【答案】
【详解】因为平面，不在平面内，所以平面，
则到平面的距离即为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，，
平面,，四边形为菱形，
所以，解得，
即到平面的距离为.
【变式2】（2023上·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接,如图:
因为,四边形为菱形,
所以,
又为棱的中点,
所以,
因为,
所以,
因为平面,平面,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
（2）因为平面,平面,
所以平面,
则到平面的距离即为点到平面的距离,
设点到平面的距离为,
因为,,平面,,四边形为菱形,
所以,
解得,
即到平面的距离为.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面与平面的距离.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）连接，由正方体性质可得，；
又，所以平面平面；
因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面.
（2）由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；
设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为；
由可得，解得.
所以平面与平面的距离为.
【变式4】（2023下·全国·高一专题练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
（2）解：由题意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分别为、的中点，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
为平行平面与之间的距离，
，
即平面与之间的距离为．
题型05 距离最值问题
【典例1】（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，
设，在中，由余弦定理得：
，
即，的外接圆半径为，
记的外接圆圆心为G，则，取AD的中点E，连接PE，EF，
显然，，，且P，E，G共线，
因为，，，于是平面PAD，即平面PAD，平面PAD，
有，而平面ABCD，因此平面ABCD，
过G作平面PAD，使，连接FO，
于是，则四边形EFOG为矩形，有，则平面ABCD，
根据球的性质，得点O为四棱锥外接球的球心，
因为球O的体积为，则，解得，
而，在，，
因此外接圆直径，
取PB的中点H，连接OH，显然H为外接圆圆心，则平面PAB，且，
所以四棱锥的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8．
故选：C
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.
【答案】
【详解】
三棱锥满足，，两两垂直，且，则三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球，
如图，易得体对角线的中点即为外接球的球心，又，则外接球半径为，
易得为等边三角形，设的外接圆圆心为，则，，
则，则点到平面的距离的最大值即为球心到平面的距离加球的半径，
即，则点到平面的距离的最大值为.
【变式1】（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得正六棱锥的高为，
设正六棱锥的外接球的球心到底面的距离为，
设外接球半径为，则， ，
解得，
设外接球的球心为，则即为正六边形的中心，连接，
过作交于，过作交于，
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，即为球心到平面的距离，
因为，，
所以在中由等面积法可得，解得，
因此点到平面的最大距离为，
因为，所以三棱锥体积的最大值为，
故选：B
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由于，故点在以为球心，半径为的球面上，
设到平面的距离为，则由等体积法可得,
而,所以,
故，
因此点到平面的距离的最大值为，
故答案为：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·海南海口·高一海南中学校考期末）已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】A选项，若，，则可能含于，A选项错误；
B选项，若，，则可能含于，B选项错误；
C选项，若，，则可能异面，C选项错误；
D选项，若，，由线面垂直的性质定理可知，D选项正确.
故选：D.
2．（2023下·高一课时练习）若直线平面，直线，则（ ）
A． B．可能和平行
C．和相交 D．和不相交
【答案】A
【分析】由直线与平面垂直的定义直接判断.
【详解】由直线与平面垂直的定义可知，若直线平面，直线，则.
故选：A.
3．（2023下·江苏盐城·高一校联考期中）在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.
【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，
因为PC＝4，所以，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，
此时有，所以PM的最小值为.
故选：B.
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数.
【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
∴△ABC为直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，
又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC．
∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．
故选：D.
5．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知直四棱柱，，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直棱柱的性质及射影的性质可知，即，且，可得，所以.
【详解】如图所示，
设的中点为，连接，，，
则且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
由已知四棱柱为直四棱柱，
得底面，
平面，
所以，即，
所以为直角三角形，
又点在平面上的射影是的重心，
得，
则，
则，所以，
所以点到平面的距离，
故选：D.
6．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设的面积为，设的面积为，
则，，又，
，
∴ ，
过点作平面，过点作平面，
则，∴ 与相似，
又，∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是.
故选：A.
7．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为，则侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图将正三棱柱延长侧棱补形成正三棱锥，取的中点，
连接，取点，使得，连接，
在正三棱锥中，，，
在中，为的中点，则，同理可得，
因为为侧面与底面的交线，所以为锐二面角的平面角，则，
由正中，易知为其中心，则在正三棱锥中，平面，
因为平面，所以，在中，，则，
设，在正中，易知，
因为平面，所以，在中，，解得，
则，
因为为侧棱与底面的交点，且平面，
所以侧棱与底面所成角的正弦值为.
故选：A.
8．（2023上·湖北宜昌·高二校联考阶段练习）在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用等体积法结合棱锥的体积公式即可得解.
【详解】因为，分别为棱，的中点，
所以且，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
设点到平面的距离为，
，
，则，
由，得，解得，
所以点到平面的距离为.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】BC
【详解】选项A：若，，，
则或相交或互为异面直线.判断错误；
选项B：若，，则.判断正确；
选项C：设平面，，又，则
设平面，，又，则，
则，又，，则，
又，，则，则.判断正确；
选项D：若，，，则的位置关系为相交，
当且仅当时.判断错误.
故选：BC
10．（2024上·江西宜春·高三江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过A，，三点的正方体的截面面积为9
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
【答案】AC
【详解】正方体易得，取中点，连接．由于是中点，因此，所以，所以是与所成角或其补角，
由已知中，，，
，A正确；
取中点，连接，同理可证（由得），因此是过A，，三点的正方体的截面，它是等腰梯形，
，，，面积为，B错；
由于，平面，平面，所以平面，从而到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，
当与重合时，，C正确；
设是点关于平面的对称点，则，又，
显然，，
又，所以，
，，
显然当是线段与平面的交点时，取得最小值，D错．
故选：AC．
三、填空题
11．（2024上·天津宁河·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ．
【答案】/
【详解】正方体中，平面，平面，则，
又因为，
所以到直线的距离为.
故答案为：.
12．（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
【答案】/
【详解】因为，D分别是，BC的中点，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，
因为为直径，所以，因为，即，
又因为平面，
平面，所以，平面，
所以平面，过点作交于点，
因为平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以为交线l与平面所成角，
因为，，
.
所以，结合图知.
故答案为：.
13．（2024上·广东·高二学业考试）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)如果E是的中点，求证: 平面;
(3)是否不论点E在侧棱的任何位置，都有 证明你的结论.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是，证明见解析
（3）根据线面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）∵底面，
∴为此四棱锥底面上的高.
四棱锥的体积为；
（2）证明:如图,连接交于O,连接，
∵四边形是正方形,∴.
又∵,∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置,都有，
∵四边形是正方形,∴。
∵底面,平面，
∴，
又∵平面，
∴平面，又因为平面，
所以.
14．（2024·全国·高三专题练习）如图， 已知正方体， 点为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：.
(3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)图形见解析，证明见解析.
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为是正方形，所以为的中点，又为棱的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
（2）证明：在正方体中，平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以.
（3）解：如图取的中点，连接、，则为平面截正方体所得的截面，
证明：取的中点，连接、，因为为棱的中点
所以且，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，即、、、四点共面，即为平面截正方体所得的截面；
B能力提升
1．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）是平面内的一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为.若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不妨设直线相交于点，
在直线上取异于的点，过作⊥于点，
过做⊥于点，连接，
由题意知：，，，
且是直线与平面所成角，
∵，，
∴，又，，
∴平面，平面，∴，
∴在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
由题意可知，
∴在Rt中，，即，
又，∴.
∴与平面所成角的大小为.
故选：C.
2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，
则，，，分别为，，，的中点，
设正方形的边长为，，
所以正方形的面积为，正方形的面积为，
正四棱锥的侧面积为，
四棱台的侧面积为，
所以正四棱锥的表面积为，
四棱台的表面积为，
所以，
解得，
由平面，所以为直线与底面所成角，
所以，又，，
所以.
故选：.
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）如图，在三棱台中，平面平面，且，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
不妨设，，
在直角三角形中，，
，
，平面，
平面，，
在三棱台中，，
；
（2）几何法
，
直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设为，
由（1）得平面，
平面，
平面平面，
过点作的垂线，垂足为，连接，
则平面，
，
在中，，
由（1）得平面，
平面，
，
在中，，
由，得，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）是正三角形，是中点，所以，
因为是正方形，所以，
又因为侧面底面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）设的中点分别为，根据对称性知，故，
设，则，
因为侧面底面，平面平面侧面，
所以平面，
在中，因为，所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，
因为，所以，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时）
课程标准 学习目标
①掌握直线与平面垂直的性质定理。 ②会用性质定理证明相关问题。 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题
知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义)
（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
（2）符合语言：，.
（3）图形语言：
（4）定理应用：线面垂直线线垂直.
【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：
(1)平面；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）四棱锥的底面是矩形，
，平面，平面，
，又，、平面，
平面；
（2）由（1）知平面，
同理可得，平面，
，分别是，的中点，
，平面，
又平面，.
知识点02：直线与平面垂直的性质定理
（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符合语言：，
（3）图形语言：
（4）定理应用：垂直与平行的转换
①线面垂直线线平行
②作平行线
【即学即练2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】如图：
∵，，∴.
同理.
∵，，平面，∴平面.
又∵，，∴.
∵，，，平面，
∴平面.
∴.
知识点03：点面距、线面距、面面距
（1）点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
①图形语言：
如图，线段的长度就是点到平面的距离.
②点面距的范围：.
③常用方法：等体积法
【即学即练3】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由题意得，
设点到平面的距离为，则由等体积转化法为，
当与重合时，最大，最大为，
此时最小，为.
故选：B.
（2）直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
①图形语言：
线段的长度就是直线到平面的距离.
②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.
（3）平面到平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
①图形语言：
线段的长度就是平面到平面的距离
(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.
题型01 直线与平面垂直的定义转化为性质
【典例1】（2024下·高一课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：
【典例2】（2024·广东·高三学业考试）在三棱柱中，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若侧面为菱形，求证：.
【典例3】（2024上·广东·高三统考学业考试）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．证明：
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求证：．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．
(1)求证；
题型02 直线与平面垂直的性质定理的运用
【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．
求证：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【变式3】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
题型03 点到平面的距离
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·全国·高三阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 .
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点A到平面的距离.
【变式1】（2024·上海·高二专题练习）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 .
【变式3】（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
题型04 线面距，面面距
【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（ ）
A． B．a C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．
(1)证明：面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ．
【典例4】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面间的距离.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.
【变式2】（2023上·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求到平面的距离.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面与平面的距离.
【变式4】（2023下·全国·高一专题练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
题型05 距离最值问题
【典例1】（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.
【变式1】（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·海南海口·高一海南中学校考期末）已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．（2023下·高一课时练习）若直线平面，直线，则（ ）
A． B．可能和平行
C．和相交 D．和不相交
3．（2023下·江苏盐城·高一校联考期中）在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知直四棱柱，，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为，则侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·湖北宜昌·高二校联考阶段练习）在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
10．（2024上·江西宜春·高三江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过A，，三点的正方体的截面面积为9
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题
11．（2024上·天津宁河·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ．
12．（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
13．（2024上·广东·高二学业考试）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)如果E是的中点，求证: 平面;
(3)是否不论点E在侧棱的任何位置，都有 证明你的结论.
14．（2024·全国·高三专题练习）如图， 已知正方体， 点为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：.
(3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说明理由.
B能力提升
1．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）是平面内的一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为.若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）如图，在三棱台中，平面平面，且，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
