第12讲 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课程标准 学习目标
①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题。 ②培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。 ③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式。 ④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用。 ⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用。 1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键； 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用；
知识点1：基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
知识点2：仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
【即学即练1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（ ）m（参考数据：）
A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m
【答案】C
【详解】依题意，中，，
所以由正弦定理得，即，
解得，
在中，，即．
故选：C.
知识点3：方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.
【即学即练2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在点观测灯塔的方位角为110°，航行半小时后船到达点，观测灯塔的方位角是65°，则货轮到达点时，与灯塔的距离是多少.
【答案】（km）
【详解】由题设可得，（km），
而，故，
由正弦定理可得，故（km）.
知识点4：方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，
例：(1)北偏东：(2)南偏西：
知识点5：坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.
题型01 测量距离问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（ ）
A．60米 B．130米 C．150米 D．300米
【典例2】（2023上·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【典例3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
(2)求的值．
【变式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
【变式3】（2023下·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米．若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路和，求观光线路之和最长是多少千米，此时为多少千米？
题型02 测量高度问题
【典例1】（2023上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·全国·高三专题练习）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米．
【变式1】（2023上·河北承德·高三校联考期中）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为 m．（参考数据：，结果保留整数）
【变式2】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.
题型03 测量角度问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
【典例4】 （2023下·浙江·高一校联考期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.
(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）
【变式1】（2023上·广东广州·高三校联考阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．
(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．
(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）
【变式3】（2023下·贵州铜仁·高一校考期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求的值；
【变式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）
(1)求走私船的速度大小；
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
题型04 综合应用题
【典例1】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
(1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
(2)求修建道路的总费用的最小值.
【典例3】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上．
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.
(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：）
【变式2】（2023下·广东茂名·高一茂名市第一中学校考期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记.
(1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积；
(2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.
【变式3】（2023下·上海·高三校联考阶段练习）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．
(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·山东聊城·高三校考阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山东烟台·高三统考期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M 顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（ ）
A．米 B．300米 C．350米 D．400米
7．（2023上·辽宁抚顺·高二校考开学考试）胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撒离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（ ）
A． B．
C．40m D．45m
8．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A．北偏东方向 B．南偏东方向
C．北偏东方向 D．南偏东方向
10．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
三、填空题
11．（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．
12．（2020上·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .
四、解答题
13．（2020·全国·高二假期作业）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
14．（2023·全国·高一随堂练习）如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（）
B能力提升
1．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）
A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
2．（多选）（2023下·山东潍坊·高一统考期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则（ ）
A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若，则
C．若，则
D．若，则三角形的面积是三角形面积的19倍
3．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
4．（2023下·四川成都·高一统考期末）高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．
(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度；
(2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米 （塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．
第12讲 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课程标准 学习目标
①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题。 ②培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。 ③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式。 ④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用。 ⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用。 1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键； 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用；
知识点1：基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
知识点2：仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
【即学即练1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（ ）m（参考数据：）
A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m
【答案】C
【详解】依题意，中，，
所以由正弦定理得，即，
解得，
在中，，即．
故选：C.
知识点3：方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.
【即学即练2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在点观测灯塔的方位角为110°，航行半小时后船到达点，观测灯塔的方位角是65°，则货轮到达点时，与灯塔的距离是多少.
【答案】（km）
【详解】由题设可得，（km），
而，故，
由正弦定理可得，故（km）.
知识点4：方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，
例：(1)北偏东：(2)南偏西：
知识点5：坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.
题型01 测量距离问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（ ）
A．60米 B．130米 C．150米 D．300米
【答案】B
【详解】由题设，在中，
由余弦定理，
所以米.
故选：B.
【典例2】（2023上·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【答案】
【详解】由于四点共圆，
所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
显然不合题意.
故答案为：.
【典例3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
故．
故A，C两点间距离为．
（2）设，则由题意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，所以．
【变式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.
【答案】
【详解】， ， ，，，
中，由正弦定理，有，则，
中，由余弦定理，
有，
得，即，两点间的距离为.
故答案为：.
【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
【答案】米
【详解】根据正弦定理，
在中，有(米)，
在中，有(米)．
在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．
所以A，B两点间的距离为米．
【变式3】（2023下·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米．若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路和，求观光线路之和最长是多少千米，此时为多少千米？
【答案】观光线路之和最长是4千米，此时为4千米
【详解】在中，因为，，所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得，
即，即，
又因为，所以，
当且仅当时取等号，
此时由于，，，所以≌，
又与互补，所以，所以.
所以观光线路之和最长是4千米，此时为4千米.
题型02 测量高度问题
【典例1】（2023上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示：
由题意，，，
因为在中，有，，，
所以，
在中，运用正弦定理有，
即，化简得，
又因为在中，有，，，
所以有，
因为，
所以，
由题意，
所以，
综上所述：镇国寺塔的高度约为.
故选：C.
【典例2】（2023上·全国·高三专题练习）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米．
【答案】
【详解】如图，过点作，由题意的：，，
， ，
在中， ， ，
米．
故答案为：
【变式1】（2023上·河北承德·高三校联考期中）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为 m．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】42
【详解】如图，，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
其中，
故，
又，且，所以，
又该同学身高，所以塔高约为.
故答案为：42.
【变式2】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.
【答案】26.4
【详解】在中，，，
则米.在中，，
则米.
故答案为：26.4.
题型03 测量角度问题
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向
【答案】C
【详解】如图，在中，，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以解得，
由正弦定理得，故或，
因为，故为锐角，所以，
此时灯塔位于游轮的南偏西方向.
故选：C
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】(1)航行速度为
(2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析
【详解】（1）
如图设小艇的速度为，时间为相遇，
则由余弦定理得:,
叩:,
当时，取得最小值，此时速度，
此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ，
则由(1)可得:
,
即:,解得:，
此时,
此时，在中，，
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇.
【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中学校考期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
【答案】(1)海里/时
(2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇
【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则
，
当时，（海里），此时（海里/时）.
∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
（2）设小艇与轮船在处相遇，则，
故，又，
∴，即，解得.
又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为.
此时，在△中，有海里，
故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
【典例4】 （2023下·浙江·高一校联考期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.
(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）
【答案】(1)60海里
(2)方向是南偏东，需要的时间为小时.
【详解】（1）依题意得，，
所以，
在中，由正弦定理得,
,
故（海里），
所以求两点间的距离为60海里.
（2）依题意得，
在中，由余弦定理得，
所以（海里），
所以救搜船到达C处需要的时间为小时，
在中，由余弦定理得 ,
因为，
所以，
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒
【变式1】（2023上·广东广州·高三校联考阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．
【答案】 2 /
【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.
根据余弦定理得，解得，
故，.
根据正弦定理得，解得，
故答案为：2；.
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．
(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．
(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）
【答案】(1)1950km
(2)0.64．
【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在时位于C点，其中，则，
在中，，，，
由余弦定理得，
解得，
因此，在时，人造卫星与跟踪站相距约．
（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，
由正弦定理得，
故，即，
因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为．
【变式3】（2023下·贵州铜仁·高一校考期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里．
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求的值；
【答案】(1)（海里）
(2)
【详解】（1）∵，，，
∴在中由余弦定理得，
∴（海里）．
（2）∵，由正弦定理得，
∴．
【变式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）
(1)求走私船的速度大小；
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
【答案】(1)n mile/h
(2)缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处，
点位于哨所北偏西方向n mile处，
，
，
n mile/h，
走私船的速度大小为n mile/h.
（2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，
，
，
，，
走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h，
，
在中，根据余弦定理，，
，
化简得，(舍去)，或，
此时，，
缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
题型04 综合应用题
【典例1】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，由余弦定理，得
，
于是，
解得或，
所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时.
故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00.
故选：B.
【典例2】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
(1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
(2)求修建道路的总费用的最小值.
【答案】(1)
(2)80万元
【详解】（1）在中，因为，可得，
在中，可知，
由正弦定理，可得，
所以.
（2）由（1）可知：
，
因为，则，
令，则，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元.
【典例3】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上．
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．
【答案】(1)距离为100或200米；
(2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为.
【详解】（1）由题意得，，，
在三角形中，根据余弦定理有，
即，解得或100，
故钓友与小孩之间的距离为100或200米.
（2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，
设钓友在最短时间内救援到地点为点，，
则，
所以，
整理得，解得（负根舍去），
因为，所以钓友这次救援有成功的可能，
且成功的最短时间为.
【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.
(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：）
【答案】(1)是，且定值为米
(2)元
【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则，
在中，，，则，
由正弦定理可得，则，
同理可得，
因此，
（米）.
（2）解：在中，，
由余弦定理可得
，
所以，，
当且仅当米，即当为的中点时，等号成立，
因此，建设步道总花费的最小值为（元）.
【变式2】（2023下·广东茂名·高一茂名市第一中学校考期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记.
(1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积；
(2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.
【答案】(1)，，平方米
(2)212.5平方米
【详解】（1）由题意如图所示：
则由题意知，
当时， 则.
.
∵，，
∴.
因为.
矩形的面积平方米.
所以矩形观赏台的面积平方米.
（2）由题意可知，，，，，
在中，由，
得.
矩形MNPQ的面积：.
观赏台的面积：.
整个观赏台面积.
设，，
∴.
.
∴.
∴
当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方
∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米.
【变式3】（2023下·上海·高三校联考阶段练习）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．
(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，
由题意，
因为为的中点，所以，
又，所以，
又，
由正弦定理，所以，
又，所以，
，
所以，
所以
，
所以阴影部分面积为；
（2）①雨伞不遮挡人行进的视线；
②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；
③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·山东聊城·高三校考阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设且，
过点作平行于，则，，
故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故选：A
2．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理得出隧道长度.
【详解】由余弦定理可得：
．
故选：C
3．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过构造直角三角形的方法求得.
【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，
过作圆的切线，，线段交圆于，如图，
则，，，，
则.
故选：B
4．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
5．（2023上·山东烟台·高三统考期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M 顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，利用余弦定理求出旗杆与教学楼的距离，即可得出M,N之间的距离.
【详解】由题意，
过点作于点，
则，
在中，
∴，
在中，
∴，
在中，，由余弦定理得，
，
∴,
在Rt中，，由勾股定理得，
,
故选：D.
6．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（ ）
A．米 B．300米 C．350米 D．400米
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，，结合长度关系可得，进而可得结果.
【详解】如图，过点作，垂足为，
由题意可知：，
则均为等腰直角三角形，可得，
且，可得，
因为，则，解得，
所以，
即隧道DE的长度为350米.
故选：C.
7．（2023上·辽宁抚顺·高二校考开学考试）胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撒离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（ ）
A． B．
C．40m D．45m
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义以及正弦定理，结合图象，可得答案.
【详解】由已知在中，，，，所以，
在中，，，
所以，又，
由正弦定理可得，所以，所以，
在中，，，，所以.
故选：D.
8．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由得，
故选：C
二、多选题
9．（2023下·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A．北偏东方向 B．南偏东方向
C．北偏东方向 D．南偏东方向
【答案】BC
【分析】根据题意利用正弦定理运算求解.
【详解】如图所示，由题意得，，，
则，解得，
且，所以或，
如图所示：则有：
当货轮在处时，，所以；
当货轮在处时，，所以；
综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向.
故选：BC.
10．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
【答案】AC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在中，由已知得，，
则，由正弦定理得，
所以A处与D处之间的距离为，故A正确；
在中，由余弦定理得，
又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；
，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；
灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；
故选：AC
三、填空题
11．（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．
【答案】74
【分析】由题设得，，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.
【详解】由题设及图知：，则，
在中m.
故答案为：74
12．（2020上·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .
【答案】
【分析】由图，设此山高为，后利用几何知识结合正弦定理可得答案.
【详解】设此山高为，则，
在中，.
则.
在中，利用正弦定理则有.解得：
故答案为：
四、解答题
13．（2020·全国·高二假期作业）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
【答案】
【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决．
【详解】由题可知，，，，
设乙船速度为，则.
于是在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
所以，乙船的航行速度大约是.
14．（2023·全国·高一随堂练习）如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（）
【答案】无触礁危险
【分析】解直角三角形，求出MC的长度，即可得出答案.
【详解】由题意得在中，，
在中，，
因为，所以，
即，
故该船继续东行，无触礁危险.
B能力提升
1．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）
A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
【答案】B
【详解】
设球的半径为R，
，，
故选:B.
2．（多选）（2023下·山东潍坊·高一统考期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则（ ）
A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若，则
C．若，则
D．若，则三角形的面积是三角形面积的19倍
【答案】BCD
【分析】根据三个全等的钝角三角形及一个小等边三角形DEF，应用正弦定理及余弦定理分别判断各个选项即可.
【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则，
从而三点重合，不合题意，故A错误；
在中,不妨设，
由余弦定理，
解得，,故B正确；
在中，，而，
所以，
，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，故C正确；
若,设
在中, ，
，
所以,故D正确.
故选:BCD.
3．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
【答案】/
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点，
所以，，当伞完全收拢时，，
所以，，
在中，，
则为锐角，所以，
所以.
故答案为：
4．（2023下·四川成都·高一统考期末）高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．
(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度；
(2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米 （塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．
【答案】(1)米.
(2)米.
【详解】（1）因为，，所以，
.
由正弦定理得，得米，
，米，
所以该电缆的长度为米.
（2）在直角梯形中，过作，垂足为，
则米，，米，
所以米，所以米，
所以正六边形的边长为米，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则米，，所以米，
所以3号塔吊高为米.
