(共21张PPT)
苏教版数学必修（一）
泰兴市第四高级中学 常建伟
求方程x2 － 2x－3=0的根，并画出给定一元二次函数
y＝x2 － 2x－3的图象
问题1：方程3x2＋5x－1＝0有没有实数根，若有，实数根是什么？
追问：3 x5＋5x－1＝0的根是什么？
一、创设情境，引入概念
问题2：方程的根与函数的图象和x轴的交点有什么关系？
提示：横坐标相同
问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？
请举例．
y=x+1 ; y=2x-1 ; y=ln(x-2) ;
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
结论：
方程f(x)=0有实数根x0
函数y=f(x)的图象与x轴交点横坐标x0
函数y=f(x)有零点x0
二、逐层推进，深化概念
问题4：你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、
函数的零点三者之间的关系吗？
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的零点
两个零点
x1 , x2
无零点
有两个相等的实数根x1 = x2
无实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以a>0为例
练习1 填空题：
(1)函数y=lg（x+1)-1的零点是_______
(2)函数y=2x的零点个数是_______
(3)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数
g(x)＝bx2＋3ax的零点是 ________．
f(x)=x2-2x-3
观察1 函数f(x)= x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况.
（1）f(-2)f(1)__0,
<
函数在开区间
（-2，1）内有零点-1；
函数在开区间（1，4）内有零点3；
（2）f(1)f(4)__0,
<
三、实例探究，归纳定理
问题5：满足什么条件，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？
观察2 函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.
（1）f(a)f(b)__0,
<
函数在开区间（a，b）内有零点；
函数在开区间（b，c）内有零点；
（2）f(b)f(c)__0,
<
函数在开区间（c，d）内有零点；
（3）f(c)f(d)__0,
<
练习2 下列函数在相应区间内是否存在零点？
(1) f(x)=log2x，x∈
(2）
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上
有f(a)f(b)﹤0，那么函 数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根
思考（1）若f(a)f(b)﹤0，则y=f(x)在区间(a,b)上一定有零点吗？
O
x
的图象是一条不间断的曲线，并且
猜想：
函数零点存在定理
y
问题6 通过练习2你发现了什么？
（2） 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续， f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？
（3） 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)﹤0，那么函 数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？
x
y
O
x
y
O
（1）定理的条件有： 连续和异号， 两点都具备，就能断定有零点，而少了任何一个就不能肯定有无零点了！要作进一步判断！
（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也
要作进一步判断！
注意：
对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0来说，我
们可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性
质找出零点.（可以用函数图象、定理等）
方法提炼：
由f(2)<0,f(3)>0，
则f(2)·f(3)<0，
所以函数在区间(2,3)内有零点.
又函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以函数至多有一个零点；
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
[例1] 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
综上，函数有且仅有一个零点.
四、尝试练习，巩固应用
[思路点拨] 由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．
[方法提练] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
（1）一个定义： 函数的零点
一个定理： 零点存在定理
五、课堂小结，布置作业
（3）渗透了函数与方程、数形结合的思想
（2）判断函数零点是否存在以及个数可以用：
解方程、函数图象、零点存在定理等方法
2．我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6的唯一零点在
（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？
课后探究:
1. 在同一坐标系下作下列函数图象，你发现了什么？
作业：P93 第２、３、４、５题
