(共22张PPT)
江苏省丹阳高级中学 彭姚鲜
问题·探究
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.
问题3:从该表你可以得出什么结论？
问题4： 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象
与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
两个不相等
的实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．
问题5:其他函数y=f(x)与相应方程f(x)=0之间也有类似的结论吗？举例说明！
方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
0
x
y
x1
x2
x3
x4
Y=f(x)
一.函数零点的定义：
问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？
方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点
思考1：知道了问题6后，大家来想想求函数的零点有哪几种方法 ？
2、区别：
1、联系：
①数值上相等
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点对于函数而言，根对于方程而言．
问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？
代数法
图像法
例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为
函数的零点是实数，而不是点。
温馨
提示
例题讲解
–2，0，2
我的零点是-1和3
我的零点是10
不好意思，我没有零点，你答对了吗？
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
即兴应用
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
①哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
(1)
(2)
②将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
③如何用代数形式来描述呢？
A、B在x轴的异侧时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点！
一、观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．
－1
－4
5
<
3
<
-2
2
-2
-4
1
O
1
2
3
4
-3
-1
-1
y
x
体验成功
二、观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
有
<
有
<
x
y
O
a
b
c
d
三、若函数f(x)=x-1, f(-1)·f(1)_____0(“＜”或“＞”)．在(-1,1)上______(有/无)零点；
<
有
<
无
一般地，若函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是一条不间断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
二.函数零点存在性定理：
问题8：思考并辨析下列问题
（5）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？
（1）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？
（2）如果把结论中的条件“f(a) · f(b)＜0’’去掉呢？
（3）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a) · f(b)<0的结论吗？
（6）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？
（4）为什么是开区间（a,b）内有零点，而不是闭区间[a,b]上有零点？
例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
等价于
定理应用
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：
例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
解法2
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
-4
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
10.0
12.1
14.2
思考2：如何说明函数零点的个数？
思考3：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？
解法3：
例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
方程lnx+2x－6=0根的个数
方程lnx=-2x+6根的个数
函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根
函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数
等价于
等价于
等价于
一个定义： 函数的零点
三个数学思想：函数与方程、数形结合、 转化的思想
三种方法：判断函数零点是否存的方法
小结提高
问题9：通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？
一个定理：零点存在定理
三个等价关系：
2．我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6的唯一零点在
（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？
课后探究
课堂练习：
1. 在同一坐标系下作下列函数图象，你发现了什么？
留有余味
数与形本是相倚依，
怎能分作两边飞，
数缺形时少直觉，
形少数时难入微，
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
——华罗庚
（1910—1985 ，江苏金坛人，自学成才，中国现代著名数学家，1985年6月12日 ，病逝于日本东京一个国际 学术会议的讲台上 ）
