初中数学中考专区一轮复习：二次函数中的面积计算问题 课件（29张PPT）

(共29张PPT)
二次函数中的面积计算问题
如图，二次函数 图象与轴x交于A,B两点
(A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M ， 为
直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，P点是
抛物线上位于A、C两点之间的一个动点，
则 的面积的最大值为（ ）
C
P
-3
-1
3
Q
P
Q
二次函数中面积问题常见解决方法：
一、运用
二、运用
四、运用分割
三、运用相似
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图2
A
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图1
例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，
是否存在一点P，使S△PAB＝
S△CAB ，若存在，求出P点的坐标；
若不存在，请说明理由。
一、运用
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图2
P
（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h
A
x
y
B
O
练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，
将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，
那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及
△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A
x
y
B
O
解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．
∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．
M
代入坐标易得所求抛物线的解析式为y＝
x 2＋
x．
C
（3）存在．
直线AB的解析式为y＝
x＋
x＝－1代入直线AB的解析式
∴点C的坐标为(－1， )
P
当x＝－
时，△PAB的面积有最大值，最大值为
（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为
2.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，
使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
O
B
A
C
y
x
Q
P
A
B
M
P
O
N
x
y
x＝m
y＝x
3．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，
A、B的横坐标分别为－1和4。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜
＋1）与抛物线交于点M，
（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM
的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。
与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4
MN＝MP＋PN＝－m 2＋3m＋4
当m＝1.5时，S有最大值。
例2. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的
顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕
点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），
抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
二.运用
-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
P
(1)∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)
D（0，4）代入上式
（2）S△PAB＝S四边形PEOB－ S△AOB－ S△PEA＝6
（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）
∴y＝±2．
E
C
练习1．已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为
时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，
使得△PAB的面积为
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵△＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）设x1、x2是x 2＋ax＋a－2＝0的两个根
则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．
∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为
∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13，
整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5．
∵a ＜0，∴a＝－1．
∴此二次函数的解析式为y＝x 2－x－3．
（3）设点P的坐标为（x，y）
∴|y|＝3，∴y＝±3 再得x＝－2或x＝3；x＝0或x＝1
P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）
B
A
O
Q
P
x
y
2．已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0的两个实数根，且t1＜t2，
抛物线y＝
x 2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，
使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当S＝24时, P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）
当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．
当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时□OPAQ不是菱形
要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形．
例3:如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，
与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，
当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
B
A
y
O
P
E
C
x
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，
使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．
∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）
又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，
三、运用相似
B
A
y
O
P
E
C
x
（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，
如图．∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．
∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．
∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE
∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．
此时点P的坐标为（1，0）
G
练习1．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）
是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
y
x
B
D
O
A
E
C
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作
DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，
求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？
若存在，求出最大值并求此时D点坐标；
若不存在，请说明理由．
A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．
当m＝2时，S有最大值2
D点坐标为（1，0）
2．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，
BC的坡度i＝3 : 4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，
动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点
同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．
设动点运动的时间为t秒．
（1）求边BC的长；
（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（3）连结PQ ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，
求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？
C
D
A
B
Q
P
BC＝10
t=
0≤ t ＜
时
C
D
A
B
Q
P
E
F
C
D
A
B
Q
P
E
综合①②，得
当t＝3秒时，y有最大值为
厘米2
3. （11·杭州）（本小题满分12分）
图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，
BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），
点O到EF，MN的距离分别为h1和h2， △OEF与△OGH组成的图形
称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2
满足的关系式，并求h2的取值范围。
解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.
，
即
所以当
时，
.
由
⊿ABD∽⊿AEF
y
x
B
A
O
C
例4．如图，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）
（1）k＝ ，点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ；
（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的
面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边
的直角三角形．
－3
（－1，0）
（3，0）
M
（2）M的坐标为（1，－4）．
S四边形ABMC ＝S△AOC＋ S△COM ＋ S△MOB＝9
四、运用分割方法
y
x
B
A
O
C
D
（3）设D（m，m 2－2m－3），连结OD，如图．
则0＜m＜3，m 2－2m－3＜0．
S四边形ABDC ＝S△AOC＋ S△COD ＋ S△DOB
四边形ABDC的面积最大
（4）Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．
O
C
A
B
x
y
M
（图①）
O
C
A
B
x
y
（图②）
练习1．如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和
点B(－3，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，
使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，
求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
y＝－x 2－2x＋3
S四边形BOCE 最大，且最大值为
．
E
D
C
M
y
O
A
B
Q
P
x
2．如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋
(a≠0)经过点A(－2，0)，
抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线
交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的
时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．
设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、
直角梯形、等腰梯形
y
x
B
A
O
E
3.练习：如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线
y＝－
x＋m与x轴交于点E．
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
y
x
B
A
O
E
F
G
P
解：（1）过点A作AF⊥x轴于F．
AF＝OAsin60°＝2
＝
．
则OF＝OAcos60°＝2
＝1，
∴A(1，
)．
∴m＝
∴E(4，0)．
（2）设过A、O、E三点的抛物线解析式为
y＝ax 2＋bx＋c∵抛物线过原点，∴c＝0．
∴所求抛物线的解析式为y＝
x 2＋
x．
（3）设P(x0，y0)．
S最大＝