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复习回顾： 2.5.1 函数的零点
1、函数零点的含义
我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
注：1.零点是实数，不是点；2.零点的另两个含义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根；又是函数的图像与x轴的交点的横坐标。
2、零点定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点。
2.5.2 用二分法求方程的近似解
探究新知
问题情境：
灌云高中电视台
“幸运52”
有奖竞猜
猜一猜手机的价格：手机的价格在100元～800元之间，猜测它的价格。
方案1：随机猜测。
方案2：每次增加相同数额猜测。
如：150，200，250，……
方案3：每次取价格范围的中间价格进行猜测。
有如下方案供参考：
采用什么策略竞猜能快速猜出物品
的价格？
教学目标：
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
教学重点：
理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。
教学难点：
二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。
问题1. 能否求解以下几个方程？
(1) 2x=4-x
(2) x2-2x-1=0
(3) x3+3x-1=0
(4) lgx=3-x
问题2. 不解方程，能否求出方程（2）的近似解？
指出：用求根公式法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外三个方程。
学生活动：
（答案是肯定的，能！）
可得：方程x2-2x-1=0
一个根x1在区间(2,3)内，
另一个根x2在区间(-1,0)内。
问题3. 不解方程，如何求方程x2-2x-1=0
的一个正的近似解（精确到0.1）
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象，
我们发现f(2)= -1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解x1，即x1∈(2,3)。
画出y=x2-2x-1的图象，如图
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4，停止操作，所求近似解为2.4。
2
-
3
+
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
-
2.375
-
2
-
3
+
2.25
-
2.5
+
2.375
-
2.4375
+
2
-
2.5
+
3
+
2
3
2.5
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
2
2.5
2.25
简述上述求方程近似解的过程
构建数学：
x1∈(2,3)
∵ f(2)<0, f(3)>0
x1∈(2,2.5)
∴f(2)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.25,2.5)
∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.5)
∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.4375)
∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
∵f(2.5)=0.25>0
∵ f(2.25)= -0.4375<0
∵ f(2.375)= -0.2351<0
∵ f(2.4375)= 0.105>0
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点
验证一
问题4. 能否描述二分法？
对于在区间[a,b]上图像不间断，且f (a)f (b)<0的函数y=f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法。
数学建构
问题5. 二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
数学运用
例1:利用计算器求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）
由图像可知方程lgx=3-x有唯一解，设为x1，并且x1∈(2,3)。
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
x1∈(2,3)
∵ f(2)<0, f(3)>0
x1∈(2.5,3) ……
∴f(2.5)<0, f(3)>0
∴f(2.5625)<0, f(2.625)>0 x1 ∈(2.5625,2.625)
解：分别作出y=lgx和y=3-x的图像，
∵ 2. 5625与2.625精确到0.1的近似值都是2.6, ∴x1≈2.6
验证二
例2：作出函数y=x3与y=3x-1的图像，并写出方程x3=3x-1的近似解（精确到0.1）。
解：函数图像如图，
由图像可知方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)上。
在三个区间上分别用二分法就可以得到它精确到0.1的近似解为x1≈-1.9， x2≈0.3， x3≈1.5
验证三
例3：求方程2x+x=4的近似解（精确到0.1）
1
2
x
y
4
0
4
y=2x
y=4-x
1
思考：怎样找到它的解所在的区间呢？
思考：能否不画图确定根所在的区间？
在同一坐标系内画函数y=2x
与y=4-x的图象，如图：
得:方程有一个解x0 ∈(0,4)
如果函数图象画得比较准确，可得x0 ∈(1,2)
将方程变形为2x=4-x（为什么要这么做？）
例3 解：设函数f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
∴方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0得x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0得x0∈(1,1.5)
由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0得x0∈(1.25,1.5)
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0得x0∈(1.375,1.5)
由f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0得x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
验证四
2．不断二分解所在的区间，即取区间
的中点
3．计算 ：
①若
②若
③若
4. 判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近
似解；若未达到，则重复步骤2～4。
1．利用（1）图象法、（2）函数的性质（单调性）
寻找确定近似解所在的区间[a,b] ,验证 f(a)f(b)<0；
问题6. 能否给出二分法求解方程f(x)=0
(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤？
归纳总结
练习1. 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）
C
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
问题7. 根据练习1，请思考利用二分法求函数
零点的条件是什么？
1.函数y=f (x)在[a,b]上图像不间断；
2. y=f (x)满足 f (a)f (b)<0，则在(a,b)内必有零点。
A B C D
数学应用
课堂小结
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法。
2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机（器）的使用，让我们感受到程序化的方法即算法的价值。
3.本节课充分体现了数学中非常重要的数学思想：函数与方程、数形结合、转化与化归以及无限逼近的思想。
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
作业：课本P81第5题
谢 谢 光 临！
