数学·必修3(苏教版)
黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
分析：各种血型之间不可同时进行，故给各种血型输血对应四个互斥事件．
解析：(1)对任一个，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式有：
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，根据互斥事件的加法公式，有P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
规律总结：互斥事件和对立事件都是研究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率的加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率．
?变式训练
1．据中央电视台报道，学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上．问：
(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少？
(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？
解析：(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.6～1.0)为互斥事件，所以事件C(视力不足1.0)的概率P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.65.
(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.
2．如果在一百张有奖储蓄的奖券中，只有一、二、三等奖，其中有一等奖1个，二等奖5个，三等奖10个，买一张奖券，求中奖的概率．
记事件A＝“买一张奖券中奖”，则对立事件A＝“买一张奖券不中奖”．
由条件知P(A)＝＝0.84.
由互为对立事件的概率公式得
P(A)＝1－P(A)＝1－0.84＝0.16
即中奖概率为0.16.
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解析：(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，
所以概率为P＝1－－＝.
(2)“甲不输”是“乙胜”的对立事件，
故所求概率为P＝1－＝.
有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便坐下时：
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率．
分析：本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件也较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．
解析：将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下图的图形表示出来(座位依次是a、b、c、d)：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
规律总结：当题中的基本事件较多、较为复杂时，可结合树形图进行分析，分类求解．
a，b，c，d，e五位同学按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)a在边上；(2)a和b都在边上．
分析：哪个同学在什么位置是等可能的，且结果有限，因此是古典概型．
解析：五位同学按任意次序站成一排，可看做已有五个位置，让五个同学去站，第一个人可从5个位置中任选一个位置，有5种选法，第二个人有4种选法，第三个人有3种选法，第4个人有2种选法，最后一个人有1种选法，故站法总数为
n＝5×4×3×2×1＝120，即基本事件总数为120.
(1)记“a在边上”为事件A，下面计算事件A包含的基本事件数．a可以站在左边或右边，有两种站法．其余4人依次有4种、3种、2种、1种站法，故事件A包含的基本事件数为
m1＝2×4×3×2＝48.
∴由古典概型的概率公式，得P(A)＝＝.
(2)记“a和b都在边上”为事件B，下面计算事件B包含的基本事件数．
a和b可以a在左边b在右边，也可以a在右边b在左边，因此有2种站法，其余3人分别有3种、2种、1种站法，故事件B包含的基本事件数为m2＝2×3×2×1＝12.
∴P(B)＝＝＝.
规律总结：当基本事件总数较大时，要按一定次序搜索，不重复、不遗漏“一网打尽”并计数．
古典概型是一种最基本的概型，是学习其他概型的基础．在高考中经常出现此种类型的题目．解题时要紧紧抓住此问题的两个基本特征，想清楚或写出所有基本事件．在求某些较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P(A)＝1－P(A)就可求出所求事件的概率．
?变式训练
4．有3个人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，求至少有2人分配到同一房间的概率．
解析：3个人以相同的概率被分配到4个房间中的一间，第一个人有4种可能，第二个人有4种可能，第三个人有4种可能，故所有可能结果有4×4×4＝64种．记事件A为“至少有2人分配到同一房间”，其对立事件为“一人入住一个房间”．给4个房间编号1，2，3，4；3个人记为甲、乙、丙；当3人入住1，2，3房间时，共有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)6种可能，同样，入住(2，3，4)，(1，3，4)，(1，2，4)时都有6种可能结果，故对立事件共有6×4＝24种结果．所以，所求事件的概率为P(A)＝1－＝.
5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(A)＝.
6．储蓄卡上的密码是一种六位号码，每位数上的数字可以从0到9这10个数中任取．
(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按一下六位号码正好按对密码的概率是多少？
(2)若某人未记准储蓄卡的末两位数字，随机按下这两位数字正好按对密码的概率是多少？
解析：(1)由于储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都从0到9共10种取法，故这种号码共有106个，由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码可能性均等，故正好按对密码的概率P＝.
(2)按六位号码的末两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下末两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝.
甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
分析：可以把两船到码头的时刻设为x，y，然后建立坐标系求解．
设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，则0≤x≤24，0≤y≤24，且基本事件空间为Ω＝{(x，y)|x∈[0，24]，y∈[0，24]}．所以这是几何概型．
解析：要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2，设A为“两船都不需要等待码头空出”，则A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．
A为下图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概率定义，
所求概率为P(A)＝
＝＝≈0.879 34.
规律总结：几何概型问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何试题来求随机事件的概率．
水池的容积是20 m3，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流量都是1 m3/h，它们在一昼夜内随机开0～24 h，求水不溢出水池的概率．
解析：
设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，显然x≥0，y≥0，水池不溢出水，则x＋y≤20，记“水不溢出水池”为事件C，如右图，则C所占区域面积为×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576.由几何概型的概率计算公式，得P(C)＝≈0.35.
即水不溢出水池的概率约为0.35.
规律总结：由两个水龙头引出两个变量x，y，再抓住“流量相等且都在一昼夜内随机开0～24 h”，于是符合“约会型”概率问题的条件，可依照“约会型”概率问题进行求解．
?变式训练
7．如下图所示的三个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定指针指向字母B时甲获胜，求甲获胜的概率．
解析：此题三个转盘中，虽然字母B所在区域各不相同，但所在区域的圆弧长度都是圆周长的一半，即甲获胜的概率为.
8．(2014·宁波调考)在直角坐标系中，A(1，2)，B(4，0)，动直线l与x轴垂直且交于点P，与AB交于点R，求四边形OPRA的面积不大于2的概率．
解析：如图所示，设直线l的方程为x＝a，1＜a＜4.
∵直线AB的方程为y＝－x＋，
∴点P的坐标为(a，0)，点R的坐标为.
∵四边形OPRA的面积不大于2，
∴△BPR的面积不小于2(因为△ABO的面积为4)，
∴1＜a≤4－.
记“四边形OPRA的面积不大于2”为事件M，则P(M)＝，即四边形OPRA的面积不大于2的概率为.
数学·必修3(苏教版)
概率
3．1 随机事件及其概率
3．1.1 随机现象
1．下列试验能构成事件的是( )
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100 ℃
D．摸彩票中头奖
答案：D
2．下面事件是必然事件的有( )
①如果a，b∈R，那么a·b＝b·a；
②某人买彩票中头奖；
③3＋5＞10.
A．① B．② C．③ D．①②
答案：A
3．一次掷出一分，二分，伍分的硬币各一枚，则该现象的所有结果有________种．
解析：这些结果为(1＋，2＋，5＋)(1＋，2＋，5)(1＋，2，5＋)(1，2＋，5＋)(1＋，2，5)(1，2＋，5)(1，2，5＋)(1，2，5)，其中1＋，2＋，5＋均表示正面．
答案：8
4．判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)掷一枚质地均匀的骰子的点数；
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
(3)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果；
(4)三角形的内角和为180°；
(5)2018年世界杯足球赛，德国队夺冠；
(6)2015年高考甲同学数学成绩125分．
解析：(1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现1～6点，不能确定，因此是随机现象．
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象．
(3)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有可能是两个次品，故此现象为随机现象．
(4)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故是必然现象．
(5)2018年世界杯足球赛哪个队夺冠，不能确定，是随机现象．
(6)甲同学高考数学是否得到125分，不能确定，是随机现象．
5．指出下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)三个球全部放入两个盒子且每盒不空，其中一个盒子有一个以上的球；
(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2
(4)集合{1，2，3，4，5}的子集共有32个．
解析：(1)若一个盒子中有1个，则另一个盒子中有2个，故是必然现象．
(2)若0(3)圆内的点的坐标一定使不等式成立，故为必然现象．
(4)含5个元素的集合的子集有25＝32个，是必然现象．
6．下列现象中，随机现象有哪些？
(1)某体操运动员参加下周举行的运动会；
(2)同时掷两颗骰子，都出现6点；
(3)某人购买足球彩票中奖；
(4)若x为实数，则x2＋1≥1；
(5)下周一广东北部地区的温差为10 ℃.
解析：(4)是必然现象，(1)、(2)、(3)、(5)是随机现象．
故随机现象有(1)(2)(3)(5)．
7．判断以下现象是随机现象还是必然现象．
现象1：某人明天起床的时间(准确的)；
现象2：12∶10在学生餐厅就餐的学生人数；
现象3：在一定温度和稳定电压U下(直流电)，导体内的电流强度I＝(R为导体的电阻)；
现象4：函数y＝2x与函数y＝x2的图象有3个交点．
解析：现象1、现象2为随机现象，现象3、现象4为必然现象．
8．指出下列现象是必然现象、随机现象，还是不可能现象．
(1)当x＝1时，lg x＝0.
(2)已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A.
(3)当α≠β时，sin α≠sin β.
(4)从全副扑克牌中抽出黑桃A.
(5)长度为2、3、4的三条线段可构成一个三角形．
(6)在标号为1，2，3，…，10的十个杯子中，任选取一个杯子是3号杯子．
(7)一骑自行车的人，骑车至某十字路口，遇到“红灯”．
(8)中国国际象棋队参加奥林匹克团体赛首场比赛获胜．
(9)他乡遇故知．
(10)光线在均匀媒质中发生折射现象．
解析：(1)由对数性质：1的对数是零，于是知x＝1时，lg x＝0一定成立．
(2)因为4∈B，4?A，所以B一定不是A的子集，也就不是A的真子集．
(3)当α＝30°时，β＝60°，α≠β，sin α≠sin β；当α＝30°，β＝150°时，α≠β，sin α＝sin β.所以当α≠β时，sin α≠sin β可能出现也可能不出现．
(4)从全副扑克牌中任抽一张可能是黑桃A，也可能是其余53张牌中的某一张．
(5)由2＋3>4知这三条线段一定可以组成一个三角形．
(6)从10个杯子中任取一个，有10种可能．
(7)路口有“红灯”、“黄灯”、“绿灯”三种颜色的信号灯，某人骑车至路口遇到的灯的颜色也就有三种可能．
(8)团体赛获胜、战平、失利都有可能，是随机的．
(9)两位好朋友在没有约定的情况下客乡相遇，是人生的一大喜事，可见，“他乡遇故知”是可能发生也可能不会发生的．
(10)光线在均匀媒质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象．
答案：(1)(5)是必然现象，(2)(10)是不可能现象，(3)(4)(6)(7)(8)(9)是随机现象．
9．指出下列试验的结果：
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的A的子集；
(4)语文、数学书各一本放进三个抽屉．
解析：(1)结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面；
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环；
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
(4)结果：、、、、
、、、、
.
10．下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从上海开往南京的3列航班，全部正点到达；
(2)抛50次质地均匀的硬币，硬币落地时有26次正面向上；
(3)箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，取出的3个全是正品．
解析：(1)一架飞机开出，就是一次试验，共有3次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有50次试验．
(3)抽取一次产品，就是一次试验，共有3次试验．
3．1.2 随机事件的概率
课件22张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．1 随机事件及其概率
3．1.1 随机现象情景切入
相传古代有个国王，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”，即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执法官监督，让犯人当众抽签．如果抽到“死”字的签，则立即处刑；如果抽到“生”字签，则被认为这是神的旨意，应予当场赦免．
有一次，国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，为了不让这个大臣得到半点获赦的机会，他与几个心腹密谋暗议，想出一条狠毒的计策：暗中嘱咐执法官，把“生死签”的两张纸都写成“死”字，这样，不管犯人抽的是哪张签纸，终难免一死．
当执法官宣布抽签的办法后，只见大臣以极快的速度抽出一张签纸，并迅速塞进嘴里，等到执法官反应过来，嚼烂的纸早已吞下，执法官赶忙追问：“你抽到‘死’字签还是‘生’字签？”大臣故作叹息说：“我听从天意的安排，如果上天认为我有罪，那么这个咎由自取的苦果我也已吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了．”请问，那个大臣为什么镇定自若？1了解随机事件的概念
2.能正确判断和区分随机事件自 主学 习1．在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是________．必然会发生的事件叫做________，肯定不会发生的事件叫做________．
2．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生．事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是________．可能发生也可能不发生的事件叫做________．
3．随机事件简称_____，一般用_______________表示．确定性现象必然事件不可能事件随机现象随机事件事件大写英文字母自 主学 习4．对于某个现象，如果让其条件实现一次，就是进行了一次________．每一种可能的结果，都是一个________．,试验事件一、几种现象的区别与联系要 点导 航 1．必然现象：在一定条件下，事先就能断定必然会发生某种结果的现象．
2．随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象．随机现象要满足以下三个条件：①在相同的条件下可以重复进行；②所有可能结果是预先知道的，且不止一种；③每做一次试验总会出现可能结果中的一种，但在试验之前，不能预测会出现哪种结果．要 点导 航 3．判断一个试验或现象是随机现象还是必然现象，关键是看这个试验或现象在一定条件下是否一定发生某种结果．要 点导 航 本知识点的易错之处：忽视随机现象中的“一定条件”，随机现象结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的，而这些次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一把握的． 二、对试验的理解典 例剖 析 例1判断以下现象是否为随机现象．
(1)某路口单位时间内通过“红旗”牌轿车的车辆数；
(2)n边形的内角和为(n－2)·180°；
(3)某同学竞选学生会主席的成功性；
(4)一名篮球运动员每场比赛所得的分数．典 例剖 析 判断一个现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性．若一定发生或一定不发生，则它就不是随机现象，否则为随机现象． (1)(3)(4)为随机现象，(2)不是随机现象． 随机现象具有这样的特点：当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现．典 例剖 析变式训练1．指出下列现象是必然现象，还是随机现象：
(1)在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过500辆；
(2)若a为实数，则|a＋1|≥0；
(3)发射一枚炮弹，命中目标；
(4)明天下雨；
(5)导体通电后发热；
(6)某同学高中毕业后考入中山大学．典 例剖 析 结合必然现象与随机现象的定义可知．
答案：(2)(5)是必然现象，(1)(3)(4)(6)均为随机现象．典 例剖 析 例2下列现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)从10件产品中任取1件进行检测，共取了3件，全部合格．
(2)抛10次骰子，出现3次4点．典 例剖 析试验就是探索随机现象规律的过程． (1)每取1件产品进行检测，就是1次试验，共进行了3次试验．
(2)抛一次骰子，就是一次试验，共有10次试验． 随机试验(一次试验)所代表的现象叫随机现象；对“试验”一词要作广义理解．例如，做一次游戏，参加一次考试，做一次化学实验等等，都是一次试验．典 例剖 析变式训练 2．写出下列随机试验的结果．
(1)连续抛掷1枚硬币3次，观察正反面情况；
(2)开运动会时，某人从有6个号签的盒子中任取1个选跑道；
(3)某人任意取1个一元二次方程，观察它的实根个数．典 例剖 析 (1)(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)，共8种结果．
(2)1，2，3，4，5，6，共6种结果．
(3)0个实根，1个实根，2个实根共3种结果．数学·必修3(苏教版)
概率
3．1 随机事件及其概率
3．1.2 随机事件的概率
1．从一批计算机中随机抽出100台进行质检，其中有10台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率接近10% D．次品率等于10%.
解析：可以通过频率估计概率．
答案：C
2．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币24 000次，则正面向上的次数最可能是( )
A．12 012 B．11 012
C．13 012 D．14 000
解析：试验次数越多，频率越接近概率，该试验概率为.
答案：A
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：在一年内玻璃破碎的频率为＝，用它来估计玻璃破碎的概率．
答案：
4．甲、乙两箱外形完全相同，已知甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，现随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取1球，结果取得白球．我们作出推断，该白球是从________中抽出的．
解析：作出推断的依据是“样本发生的可能性最大”．甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，由此可以看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．所以我们作出推断：该白球是从甲箱中抽出的．
答案：甲
5．下列结论正确的是________(填序号)．
①事件A的概率P(A)必有0②事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件；
③用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现对有胃溃疡的病人使用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76%；
④某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖．
解析：事件A发生的概率0≤P(A)≤1，若P(A)＝0.999，则A不是必然事件，中奖率为50%，说明有一半的机会中奖．
答案：③
6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________．
解析：通过求该事件的频率而得之．
答案：0.25
7．下表是甲、乙两名射击运动员在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
射击次数n
甲击中10环以上的次数
击中10环以上的频率
10
9
20
17
50
44
100
92
200
179
500
450
射击次数n
乙击中10环以上的次数
击中10环以上的频率
10
8
20
19
50
44
100
93
200
177
500
453
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在比赛中每次击中10环以上的概率．
解析：(1)两位运动员击中10环以上的频率为：
甲：0.9，0.85，0.88，0.92，0.895，0.9；
乙：0.8，0.95，0.88，0.93，0.885，0.906.
(2)由(1)中的数据知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以两人击中10环以上的概率为0.9，也就是说两人的实力相当．
8．掷一枚硬币，连续出现10次正面向上，试就下列情况分析．
(1)若硬币是均匀的，则下次出现反面向上的概率会大于，这种理解正确吗？
(2)若就该硬币是否均匀作出判断，你会做出哪一种判断？
解析：(1)不正确，正反面是随机的，概率均为.
(2)若是均匀硬币，则连续10次正面向上的概率为，这件事基本不可能发生，故硬币不均匀．
9．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解析：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．
②当且仅当日需求量不少于16时，利润不低于75元．故当天的利润不少于75元的概率为
P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
10．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
(注：s2＝，其中x为数据 x1，x2，…，xn的平均数)
解析：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．
事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为＝0.7，
所以P(A)约为1－0.7＝0.3.
(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．
因为x＝(a＋b＋c)＝200，
所以s2＝×[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.
课件30张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．1 随机事件及其概率
3．1.2 随机事件的概率情景切入
一个随机事件的发生具有随机性，对于随机现象，是否发生有一定的偶然性，但又存在统计规律性．在进行大量重复试验时，事件A发生的频率往往会稳定在一个常数的附近，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小．
例如，掷硬币，虽然我们不能预先判断正面向上还是反面向上，但是假如硬币均匀，直观上可以认为出现正面与反面的机会相等，即在大量试验中出现正面的频率应接近一个常数．你能确定这个常数吗？1．理解随机事件概率的定义．
2．掌握频率与概率之间的关系及概率的基本性质．自 主学 习1．对于任意一个随机事件A的概率满足________，特别地，必然事件Ω的概率P(Ω)＝________；不可能事件?的概率P(?)＝________．
2．如果随机事件A在n次试验中发生了 次，那么事件A发生的频率为，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的__________，记作__________，且P(A)≈__________．0≤P(A)≤110概率P(A)自 主学 习3．概率是可以通过________来“测量”的，或者说频率是概率的一个________，概率从________上反映了一个事件发生的可能性的大小．,频率近似值数量一、概率的统计定义要 点导 航 1．定义：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验次数 很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值，即P(A)＝ .从概率的定义中，我们可以看出随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1；当A是必然事件时，P(A)＝1；当A是不可能事件时，P(A)＝0.一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间要 点导 航[0，1]内的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A发生的可能性的大小，定义为概率，概率的这种定义叫做概率的统计定义．
2．频率与概率的关系：(1)频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率与概率越来越接近．(2)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，要 点导 航摆动幅度越来越小，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．(3)概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”、“估计”是不同的．也就是说：单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．要 点导 航二、从集合的观点认识事件的概率典 例剖 析 例1一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)．
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？典 例剖 析 利用公式fn(A)＝ 依次计算出频率值，估计男婴出生的概率． (1)计算即得到男婴出生的频率依次是：
0．520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.．典 例剖 析典 例剖 析变式训练 1．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：(1)填写表中的进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？典 例剖 析 (1)频率依次为0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76；
(2)由于上述频率接近0.8，因此这位运动员投篮一次进球的概率大约是0.8.典 例剖 析 例2掷一枚硬币，会出现正面或反面向上，对其概率的探究，历史上有不少人做过这个试验，其结果如下表：典 例剖 析(1)计算3次试验中出现正面向上的频率各是多少？
(2)掷一枚硬币出现正面向上的概率约为多少？
(3)掷一枚硬币出现反面向上的概率约为多少？典 例剖 析事件的概率．求硬币出现反面的概率有两种思路：一是由试验总次数、出现正面的次数可得到出现反面的次数，进而求出出现反面的概率，其近似值即为所求概率；二是根据掷一枚硬币向上一面非正即反，非反即正，那么掷一枚硬币“正面朝上或反面朝上”是必然事件，其概率为1，则出现反面的概率等于1减去出现正面的概率．典 例剖 析 (1)频率分别为：布丰0.506 9，皮尔逊第一次为0.501 6，皮尔逊第二次为0.500 5.
(2)由(1)中数据可知，出现正面向上的概率约为0.5.
(3)出现反面向上的概率约为0.5. 由概率的统计定义知，频率的结果的稳定值称为该随机事件的概率，概率是频率理论上的期望值，但这里的频率值应是重复试验次数尽量多，且呈现出一定的稳定性．典 例剖 析变式训练 2．在42位美国总统中，有两个人的生日相同，三人卒日相同，波尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日；门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰弗逊都卒于1826年7月4日．还有两位总统是卒于3月8日：费尔莫卒于1874年，塔夫脱卒于1930年．参照下表说明这是巧合吗？典 例剖 析典 例剖 析 这是历史上有名的生日问题，记n位相关的人数，n个人至少有两个人的生日在同一天的概率为P(A)．上表列出的结果足以引起多数人的惊奇，因为“至少有两个人的生日相同”这件事发生的概率，并不如大多数人的直觉想象中的那样小，而是相当大．由表中可以看出，当人数是40时，“至少有2个人的生日相同”的概率为0.89.因此，在42位美国总统中，有两人的生日相同，三人卒日相同，根本不是巧合，而是很正常的．这个例子告诉我们，“直觉”并不是很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性．典 例剖 析 例3某种病的治愈概率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?概率反映了事件发生可能性的大小．典 例剖 析 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．典 例剖 析 治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下随机试验A发生的频率稳定性．典 例剖 析变式训练 3．某手机配件厂生产的配件的次品率为3%，试估算该厂10 000件产品中合格品的件数． 估算该厂10 000件产品中合格品的件数为10 000(1－3%)＝9 700(件)．数学·必修3(苏教版)
概率
3．2 古典概型
1．下列试验中，是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生，观察它是否发芽；
②向上抛一枚质地不均的硬币，观察正面向上的概率；
③向正方形ABCD内，任意取一点P，点P恰与点C重合；
④从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；
⑤在区间[0，5]上任取一个数，求此数小于2的概率．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①花生发芽与不发芽的可能性不相等，不是古典概型；②硬币不均匀，所以正面向上与背面向上的可能性不相等，不是古典概型；③点P的个数是无限的，不是古典概型；⑤在区间[0，5)上任取一个数有无限个，不是古典概型．故只有④是古典概型，选B.
答案：B
2．从{1，2，3，4，5}中随机选出一个数字为a，从{1，2，3}中随机选取一个数字为b，则b＞a的概率是( )
A. B. C. D.
解析：用(a，b)表示基本事件，则基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，…，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个，其中b＞a的事件有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故其概率为＝.选D.
答案：D
3．一批产品有100个零件，其中5件次品，从中任意抽取一件产品，抽到次品的概率为________．
解析：抽到次品概率P＝＝.
答案：
4．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：数字a，b的所有取法有62＝36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，故其概率为P＝＝.
答案：
5．3名学生排一排，甲乙站在一起的概率为________．
解析：总的结果为6种，而甲乙排一起的排法有4种：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲．∴P＝＝.
答案：
6．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为________．
解析：从5个数字中可重复的抽取三个，共有53＝125种不同的结果，三位数之和等于9的数字有2，3，4；3，3，3；2，2，5；1，4，4；1，3，5；共组成6＋6＋3＋3＋1＝19个，
∴P＝.
答案：
7．任取一正整数，该数的平方的末位数是1的概率是________．
解析：首先要注意如果把正整数的全体取为样本空间，则空间是无限的，不属于古典概型．但是一个正整数的平方的末位数只取决于该正整数的末位数，正整数的末位数0，1，2，…，9中的任意一个数，现在任取一正整数的含义就是这十个数字是等可能出现的．因此取样本空间为{0，1，2，…，9}，欲求的事件为A＝{1，9}，∴P(A)＝＝.
答案：
8．若以连续掷两次骰子，分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16外的概率是________．
解析：画出相应的图形，点P的坐标总数有36个，点P落在圆x2＋y2＝16外的有28个．∴P＝＝.
答案：
9．抛掷两个均匀的正方体玩具(它的每个面上分别标有数1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的两数之和为几的概率最大？这个概率是多少？
解析：作图，由下图可知，基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应，因为S中的点数是6×6＝36个，所以基本事件总数n＝36.记“落地向上两数之和”为事件A，由图可知，数7出现6次，次数最多，即和为7出现的概率最大，P(A)＝＝.
10．箱子里有3双不同的手套，随机地拿出2只，记事件A＝{拿出的手套配不成对}；事件B＝{拿出的都是同一只手上的手套}；事件C＝{拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)请列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
解析：分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2.a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．
从箱子里的3双不同的手套中，随机地拿出2只，所有的基本事件是：(a1，a2)、(a1，b1)、(a1，b2)、(a1，c1)、(a1，c2)、(a2，b1)、(a2，b2)、(a2，c1)、(a2，c2)、(b1，b2)、(b1，c1)、(b1，c2)、(b2，c1)、(b2，c2)、(c1，c2)，共15个基本事件．
(2)①事件A包含12个基本事件，故P(A)＝＝，(或能配对的只有3个基本事件，P(A)＝1－＝)；
②事件B包含6个基本事件，故P(B)＝＝；
③事件C包含6个基本事件，故P(C)＝＝.
11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．
(1)求满足a·b＝－1的概率；
(2)求满足a·b＞0的概率．
解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．
用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，则P(A)＝＝.
(2)a·b＞0，即x－2y＞0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y＞0的事件有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(5，2)，(6，2)，共6个．
所以所求概率P＝＝.
12．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
?
解析：设三种颜色为甲、乙、丙，按顺序涂色，则每个矩形框都有3种涂法，所以试验可能的结果共有3×3×3＝27种，即n＝27.
(1)设“3个矩形颜色都相同”为事件A，则A有3个基本事件，故P(A)＝＝.
(2)设“3个矩形颜色都不同”为事件B，则事件B的基本事件个数为3×2×1＝6种，故P(B)＝＝.
13．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解析：(1)样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④， 样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.
课件42张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．2 古典概型1理解古典概型的特点.
2.掌握古典概型的概率计算公式.情景切入
在袋中装有大小均匀的5个红球、2个黑球、1个白球，现任取一球，你觉得它应该是什么颜色的球？这个问题我们可以用概率的知识解决．你们知道怎样求取出的球是红球、黑球、白球的概率吗？自 主学 习1．古典概型：具有以下两个特征的试验称为古典概型．
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有______个，即只有______个不同的基本事件．
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性________．
2．在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为________．
如果随机事件A包含的基本事件数为m，则P(A)＝________，所以在古典概型中，P(A)＝________．有限有限均等自 主学 习等可能基本事件含有m个元素的子集子集A的元素个数card(A)集合I的元素个数card(I)自 主学 习等可能出现基本事件基本事件一、古典概型的定义要 点导 航 1．定义：(1)在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)每个基本事件发生的可能性都是相等的．具有以上两个特点的概率模型称为古典概型．
2．古典概型的判断：判断一个试验是否为古典概型，关键是判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，注意并不是所有的试验都是古典概型．例如：某电话交换台在单位时间内收到的呼叫次数．要 点导 航记I＝{收到的呼叫次数}，则它的基本事件空间Ω＝{0，1，2，3，…}，由于基本事件是无限的，所以它不属于古典概型．又如：在适宜的条件下，“种一粒种子观察它是否发芽”这个试验的基本事件空间为{发芽、不发芽}，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它也不属于古典概型．要 点导 航要 点导 航二、古典概型概率计算公式典 例剖 析 例1袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率；
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球． 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数和事件B：取出的两球1个是白球，而另1个是红球的总数．套用公式求解即可．典 例剖 析 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．典 例剖 析典 例剖 析 取出两球的结果数15还可以这样计算，从袋中6个球中任取两个球，并按抽取顺序(x，y)记录结果，由于是随机抽取，因此x有6种，y有5种，共有5×6＝30种，但在记录的结果中有些是重复的，如(1，2)，(2，1)是30种中的两种，它们在“从袋中取出2个球”这件事上，是同一种情况，从而应有5×6÷2＝15种情况．典 例剖 析变式训练 1．已知5根细木棒的长度分别为1，3，5，7，9，从中任取三根，求能搭成三角形的概率．典 例剖 析 例2袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，下面有三个游戏规则，分别计算甲获胜的概率，并判断哪个游戏是公平的.典 例剖 析典 例剖 析 本题关键是找出试验所有的结果数以及相关事件的结果数来计算获胜的概率．典 例剖 析典 例剖 析 一般来说，从总体中抽取个体的问题都属于抽样问题，在抽样过程中，每个个体被抽的机会均等，且结果有限，属于古典概型，应按古典概型的概率公式求解．典 例剖 析变式训练 2．袋中有红、黄、白球各1个，每个球除颜色外都相同，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数．并计算下列事件的概率：(1)三次颜色各不相同；(2)三次颜色不全相同；(3)三次取出的球无红色或无黄色．典 例剖 析画出树状图如下图所示．每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别指红、黄、白．故基本事件个数为3×3×3＝27.典 例剖 析典 例剖 析 例3任意投掷两枚骰子，计算：
(1)出现点数相同的概率；
(2)出现点数之和为奇数的概率；
(3)出现点数之和为偶数的概率．典 例剖 析典 例剖 析 (1)的错解原因在于改变了原事件的含意，原事件是要求在投掷的所有结果中出现点数同为1，2，3，4，5，6的概率，而不是点数相同时其中之一的概率．(2)中错解给出的点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2，只出现一次：(1，1)，点数之和为3出现2次：(2，1)、(1，2)．典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析变式训练 3．同时抛掷两颗骰子，求至少有一个5点或6点的概率．典 例剖 析 4．先后抛掷2枚均匀硬币．
(1)一共可能出现多少种可能结果？
(2)出现“一枚正面、一枚反面”的结果有多少种？
(3)出现“一枚正面、一枚反面”的概率是多少？
(4)有人说：一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面、一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面、一枚反面”的概率是，这种说法对不对？典 例剖 析 (1)掷一枚硬币有正，反两种可能，我们把两枚硬币标上1，2以便区分，由于1号硬币的每一个结果都可与2号硬币的任意一个结果配对，组成掷两枚硬币的一个结果，因此同时掷两枚硬币的结果有2×2＝4种，它们是(正1，反2)、(正2，反1)、(正1，正2)、(反1，反2)．
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有两种，它们是(正1，反2)、(反1，正2)．典 例剖 析典 例剖 析 例4设人的某一特征(如瞳孔颜色)是由他的一对基因所决定的，R表示显性基因，r表示隐性基因，具有RR基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有Rr基因的人为混合性．纯显性和混合性的人都表现显性性状，纯隐性的人表现隐性性状．孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性的，则：
(1)1个孩子表现显性性状的概率是多少？
(2)2个孩子中，没有一个表现显性性状的概率是多少？典 例剖 析 本题为概率在遗传中的应用．由于人的基因遗传是等可能的，可以将各种遗传情形都列举出来．典 例剖 析 解决此类问题，关键是将各遗传情况不重不
漏地一一列举出来．典 例剖 析变式训练 5．(2014·黄冈模拟)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.若a，b是一颗骰子掷两次所得的点数．
(1)求方程有两个正根的概率；
(2)求方程没有实根的概率．典 例剖 析典 例剖 析数学·必修3(苏教版)
概率
3．3 几何概型
1．在(0，1)内任取一个数m，能使方程x2＋2mx＋＝0有两个不相等的实数根的概率为( )
A. B. C. D.
答案：D
2．已知实数x，y，可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对(x，y)满足(x－1)2＋(y－1)2＜1的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
3．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________．
解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，4]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，4]上的均匀随机数，其中[1，3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，3]内，也就是剪得两段长都不小于1 m．这样[1，3]的几何度量与[0，4]的几何度量之比就是事件A发生的概率．
答案：
4．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析：角的范围在0°到90°之间，作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件．
答案：
5．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
答案：
6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．
解析：直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为2，故所求概率为.
答案：
7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝5∶12∶13，在边AB上任取一点M，则△AMC是钝角三角形的概率为________．
解析：设a＝5k，b＝12k，c＝13k(k＞0)，∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，过C作CM⊥AB于M.由AC2＝AM·AB得：AM＝k.
∴△AMC是钝角三角形的概率为：＝.
答案：
8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．
解析：以x，y表示甲、乙两人到达会面地点的时间，两人能够会面的条件为|x－y|≤3，在平面上建立如下图所示的直角坐标系，则(x，y)的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积，而可能会面的时间由图中阴影部分(用A表示)面积表示，显然这是一个几何概型．
所以P(A)＝＝＝0.51.
即两人能够会面的概率为0.51.
9．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解析：如图，记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M，则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2.
由三角形的面积之比等于边长比的平方，
得P(M)＝＝＝＝.
10．甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，
则0≤x≤24，0≤y≤24.
且y－x≥4或y－x≤－4.
作出不等式组表示的区域(如上图)．
设“两船无需等待码头空出”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足y－x≥4；
当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2.
即
设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域(如下图)．
P(B)＝＝＝.
课件36张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．3 几何概型情景切入
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？你会计算吗？1．理解几何概型的定义及特点．
2．掌握几何概型的概率计算公式．自 主学 习1．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域中随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是________、________、________等，用这种方法处理随机试验，称为________．
2．一般地，在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则P(A)＝________．线段 平面图形 立体图形几何概型自 主学 习要求D的测度不为________，其中当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是________、________和________．
3．在几何概型中，概率为0的事件________，概率为1的事件____________．0长度 面积 体积可能发生不一定发生一、几何概型的概念要 点导 航 1．几何概型的概念：事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如下图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．要 点导 航2．几何概型的特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思想是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、总长度)”之比来表示．要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行几何度量，掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型．要 点导 航3．古典概型与几何概型的区别与联系：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形；②几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关；③在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域度量成正比，而与该区域的位置与形状无关；④对于一个具体问题能否用几何度量计算其概率，关键在于将问题几何要 点导 航化，也可根据问题的情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个区域，且是可度量的．要 点导 航二、几何概型的概率计算公式要 点导 航2．几何概型求解的一般步骤如下：①选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；②把基本事件转化为与之对应的区域D；③把随机事件A转化为与之对应的区域d；④利用概率公式计算．典 例剖 析 例1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由．
(1)在某月某日，某个市区降雨的概率；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率． 每个试验均符合结果无限，但不是每个结果出现等可能．题型一 几何概型的判断问题典 例剖 析 (1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；(2)是几何概型，因为其具有①无限性，②等可能性，符合几何概型的特征．
规律总结：根据几何概型的定义进行判断．典 例剖 析变式训练 1．判断下列试验是否为几何概型：
(1)在区间[－10，10]中任意抽取一个整数，求这个数为正数的概率；
(2)在区间这[－10，10]中任取一个数，求这个数为正数的概率；
(3)地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，求乘客到站立即上车的概率；
(4)射击运动员任意射击一次，命中8环或8环以上．典 例剖 析 (2)，(3)是几何概型，(1)，(4)不是．典 例剖 析 例2在正方形ABCD的四条边及两条对角线上随机取点M，求点M在两条对角线上的概率．题型二 几何概型的概率计算本题区域D是四条边及两条对角线，测度为长度．典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析变式训练 2．如图，在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率．(1)在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；
(2)在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB.典 例剖 析典 例剖 析 例3设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y＜1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．利用平面直角坐标系化归为平面点集求解．典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析 根据题意构造几何图形，找出两面积，利用面积比确定几何概型的概率．
求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．典 例剖 析变式训练 3．如右图所示的边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值．典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析 例4在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？题型三 生活中几何概型典 例剖 析利用面积比求解即可．典 例剖 析 生活中的概率问题很多可转化为几何概型，掌握了转化为何种几何度量是解题关键．典 例剖 析变式训练 4．甲、乙两人约定在6时到7时之间于某处会面，且先到者应等待另一人15分钟，过时即可离去，求两人能够见面的概率． 设甲、乙到达的时间为x，y，记“能见面”为事件A，则数学·必修3(苏教版)
概率
3．4 互斥事件
1．下列说法中正确的是( )
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
答案：D
2．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列判断正确的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．A、B、C中任何两个都互斥
D．A、B、C中任何两个均不互斥
答案：B
3．如果事件A，B互斥，那么________(填序号)．
①A＋B是必然事件；②A＋B是必然事件；③A与B一定是互斥事件；④A与B一定不是互斥事件．
解析：结合韦恩图即得．
答案：②
4．抛掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时间向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
答案：A，B A，B
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为×＝，故甲队获得冠军的概率为＋＝.
答案：D
6．盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率是________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是黄球或者是黑球的概率为________．
答案：0.4 0.82 0.6
7．先后抛掷3枚硬币，至少有一枚硬币背面朝下的概率是________．
解析：利用对立事件概率公式求解．
答案：
8．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．
解析：两个球的编号和不小于15，可能是7＋8、8＋8、8＋7三种可能，基本事件共8×8＝64种，∴概率为.
答案：
9．口袋中装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，求摸出黑球的概率．
解析：设“摸出红球”、“摸出白球”、“摸出黑球”分别为事件A、B、C，则A、B、C是两两互斥事件．P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.42－0.28＝0.30.
即摸出黑球的概率为0.30.
10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
又由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.2.
11．回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么？
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75，为什么？
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－＝.这样做对吗？说明道理．
解析：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥；(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件；(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.
12．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1至5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解析：(1)基本事件空间与点集S{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应．
因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n＝25.事件A包含的基本事件数共5个：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)，所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个：(1，1)、(1，3)、(1，5)、(2，2)、(2，4)、(3，1)、(3，3)、(3，5)、(4，2)、(4，4)、(5，1)、(5，3)、(5，5)．所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．
课件43张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．4 互斥事件情景切入
1．理解互斥事件、对立事件的定义．
2．掌握对立事件的概率计算公式．自 主学 习1．_______________两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An________．
2．设A，B为互斥事件，当事件A，B中至少有一个发生，我们把这个事件记作________．它是由事件A或B所包含的所有基本事件组成的集合．事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的______，即__________________．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝_______________．不能同时发生的彼此互斥A＋B 和P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)自 主学 习3．两个互斥事件_______________，则称这两个事件为________．事件A的对立事件记为________．
4．对立事件A与A必有一个发生．故A＋A为________．从而P(A＋A)＝________．由此我们得到一个重要公式P(A)＝________．
5．对立事件一定是________，互斥事件未必是________．,必有一个发生对立事件A必然事件11－P(A)互斥事件 对立事件一、互斥事件要 点导 航 1．互斥事件的定义及理解：(1)定义：事件A与事件B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称为互不相容事件)．若A∩B为不可能事件，即为A∩B＝?，那么事件A与事件B互斥．(2)对互斥事件的理解：①A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.③与集合类比，可用下图表示．④推广：如果事件A1，A2，…，An．要 点导 航中的任何两个都互斥，就称事件A1，A2，…，An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．在一次投骰子的试验中，若C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}．则事件C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥要 点导 航2．事件A＋B：(1)事件A＋B表示事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事件．
(2)用集合表示两个事件A和B的A＋B，如下图阴影部分所示： (3)事件A＋B发生具有三层意思：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A和B同时发生．
(4)性质：A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)．要 点导 航二、对立事件及概率公式1．定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A.2．对对立事件的理解：①事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．②对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A＋B为必然事件．要 点导 航③从集合角度看，事件A的对立事件是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．如上图所示．④在一次试验中，事件A与A只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．
3．对立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．
4．对立事件公式使用的前提条件是对立事件，否则不能使用此公式．当一事件的概率直接求解困难时，可考虑求其对立事件的概率，即运用间接法求概率．
要 点导 航 5．互斥事件与对立事件的关系：互斥事件和对立事件有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
典 例剖 析 例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.题型一 互斥事件与对立事件的判断典 例剖 析 (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．利用互斥事件、对立事件的定义．典 例剖 析(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．典 例剖 析 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生，故对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件．
(2)只要找出各个事件包含的所有的结果，它们之间能不能同时发生便很容易知道，这样便可判定两事件是否互斥．
(3)在互斥的前提下，看两事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．典 例剖 析变式训练 1．从装有6个红球，3个白球的袋中任意取出3个球，判断下列事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”．
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”．
(3)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”．
(4)“取出3个白球”与“取出3个球中至少有1个白球”．典 例剖 析 (1)“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能都不发生，故不是对立事件．
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能都不发生，故不是对立事件．
(3)“取出3个红球”与“取出3个球中至少1个白球”不可能同时发生，是互斥事件，又必有一个发生，故是对立事件．典 例剖 析 (4)“取出3个白球”与“取出3个球中至少有1个白球”可能同时发生，故不是互斥事件，也就不可能是对立事件．典 例剖 析 例2向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．题型二 互斥事件的概率计算 军火库要发生爆炸，只要炸弹炸中一个军火库即可，因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三军火库的事件是彼此互斥的．典 例剖 析 设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，
所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.典 例剖 析 设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，
所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.典 例剖 析 对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和．关键是确定事件是否互斥、是否对立．典 例剖 析变式训练典 例剖 析题型三 生活中几何概型典 例剖 析 两互斥事件并的概率，等于两事件的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；两对立事件的概率的和为1，即P(A)＋P(A)＝1，故P(A)＝1－P(A)．典 例剖 析 (1)“互斥”和“对立”事件很容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．典 例剖 析(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．典 例剖 析变式训练 3．(2014·长沙调研)某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：(1)求月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率；
(2)求月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率；
(3)求月收入不在[1 000，3 000)(元)范围内的概率．典 例剖 析 记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则这4个事件彼此互斥．
(1)月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率是
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率是
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.典 例剖 析 (3)P(A＋B＋C＋D)＝1－P(A＋B＋C＋D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.12＋0.25＋0.16＋0.14)＝1－0.67＝0.33.
所以，(1)月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率是0.37.
(2)月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率是0.55.
(3)月收入在[1 000，3 000)(元)范围内的概率是0.33.典 例剖 析 例4一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率． 可按互斥事件和对立事件求概率的方法，利用公式进行求解．典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析典 例剖 析 解较复杂的问题时，要注意古典概型的计算与互斥、对立事件是不矛盾的．解题时可将相关事件分解成几个彼此互斥的事件，再用古典概型计算即可．典 例剖 析变式训练典 例剖 析典 例剖 析数学·必修3(苏教版)
章末过关检测卷(三)
第3章 概 率
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案：A
2．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
3．(2014·江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A. B. C. D.
答案：B
4．如右图所示，A是圆上固定的一点，
在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A. B. C. D.
解析：
如右图，当AA′＝半径时，∠AOA′＝60°，使AA′大于半径的弧度为240°，P＝＝.
答案：B
5．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，则( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
解析：点数和为12的事件为(6，6)，P(12)＝，同理P(11)＝，P(10)＝.
答案：B
6．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
7．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
8．(2014·辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B. C. D.
解析：由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P＝＝，选B.
答案：B
9．(2014·湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
10．(2014·湖北卷)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填写在题中的横线上)
11．(2014·广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
答案：
12. (2014·新课标Ⅰ卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案：
13．(2014·新课标Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案：
14．(2014·重庆卷)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2014·四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解析：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
16．(本小题满分12分)已知集合A＝{－3，－1，0，2，4}，在平面直角坐标系中，点(x，y)的坐标x∈A，y∈A且x≠y，试计算：
(1)点(x，y)不在x轴上的概率；
(2)点(x，y)在第二象限的概率．
解析：∵x∈A，y∈A且x≠y，
∴数对(x，y)的取法共有5×4＝20种．
(1)事件A＝“点(x，y)不在x轴上”即点(x，y)的纵坐标y≠0.
∵y＝0的点的取法有4种，
∴P(A)＝＝.
(2)事件B＝“点(x，y)在第二象限”即x＜0，y＞0，
∴数对(x，y)取法有：2×2＝4种，
∴P(B)＝＝.
17.(本小题满分14分)先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．
解析：(1)每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36个．记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：A＝{(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)}，∴P(A)＝.
(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，则事件B有17个基本事件：
当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1，2；
当x＝3时，y＝1，2，3；当x＝4时，y＝1，2，3；
当x＝5时，y＝1，2，3，4；当x＝6时，y＝1，2，3，4.
∴P(B)＝.
18．(本小题满分14分)(2014·天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
女同学
X
Y
Z
男同学
A
B
C
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解析：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此事件M发生的概率P(M)＝＝.
19.(本题满分14分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每种产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．
(2)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解析：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
20．(本小题满分14分)一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．
解析：设摸到的两个球均为红色的事件为A，一红一白的事件为B，均为白球的事件为C.
显然，A、B、C为互斥事件，
依题意：?
?P(B)＝.
即两个球恰好红球白球各一个的概率为.
