数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
1.2 流程图
选择结构
1．执行如下图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：C
2．根据如图所示的框图，当输入的x为6时，输出的y＝(D)
A．1 B．2 C．5 D．10
解析：当x＝6时，x＝6－3＝3，此时x＝3≥0；
当x＝3时，x＝3－3＝0，此时x＝0≥0；
当x＝0时，x＝0－3＝－3，此时x＝－3＜0，则y＝(－3)2＋1＝10.
3．为函数y＝设计流程图．
答案：
4．根据如下图所示的流程图回答下列问题．
(1)若输入12，18，7，5，则最终输出结果是多少？
(2)该流程图的算法功能是什么？
(3)根据流程图写出它的算法．
解析：(1)若输入12，18，7，5，则最终输出的结果是5.
(2)该流程图的算法功能是求四个数a，b，c，d中的最小数．
(3)算法：
S1 输入a，b，c，d；
S2 如果a＜b，a＜c，a＜d，则输出a，否则执行S3；
S3 如果b＜c，b＜d，则输出b，否则执行S4；
S4 如果c＜d，则输出c，否则执行S5；
S5 输出d.
5．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元；汇款额超过100元，但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元一律收取50元手续费．设计汇款额为x元时，银行收取的手续费y元的过程的流程图．
解析：流程图如下图所示：
6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的斜率，试设计算法并画出流程图．
解析：算法如下：
S1 输入x1，y1，x2，y2.
S2 判断x1＝x2是否成立，
若成立，则输出“斜率不存在”，并结束；
若不成立，则计算k←.
S3 输出斜率k.
流程图如下图所示：
7．已知函数f(x)＝求f(a)(0＜a≤14)的算法中，需要用到选择结构，其中判断框的形式是________(填序号)．
答案：④
8．下面的程序框图所表示的算法的功能是________________________________________________________________________．
答案：求a，b，c三个数中的最大数
9．某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定：购物额为100元以内不予优惠；在100～300元之间优惠货款的5%；超过300元，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效．画出顾客的购物额与应付金额之间的一个算法流程图．
解析：依题意，实际交款额y与购物金额x的函数关系式为y＝
流程图如下图所示：
10．给出一百分制成绩，要求输出成绩等级“A”，“B”，“C”，“D”，“E”，90分以上为“A”，80～89分为“B”，70～79分为“C”，60～69分为“D”，60分以下为“E”，请设计流程图．
解析：可设计如下图所示的流程图：
11．写出求方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)的解的算法，并画出流程图．
解析：算法设计如下：
S1 输入a，b，c.
S2 如果a≠0，转S3；如果a＝0，转S7.
S3 Δ←b2－4ac.
S4 如果Δ＜0，输出“方程无实数根”；如果Δ≥0，则转S5.
S5 x1←，x2←.
S6 输出x1，x2.
S7 如果b≠0，转S8；如果b＝0，则转S10.
S8 x←－.
S9 输出x.
S10 如果c≠0，输出“方程无实数根”；如果c＝0，输出“方程的解是全体实数”．
流程图如下图所示：
12．为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米的收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费的算法，并画出流程图．
解析：算法设计如下：
S1 输入每月用水量x(x≥0)；
S2 判断输入的x是否超过7，若x>7，则应缴纳水费y←1.9x－4.9；否则应缴纳水费y←1.2x；
S3 输出应缴纳水费y.
流程图如图所示．
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第1章 算法初步
1.4 算法案例
1．高二年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人．已知每个班人数不超过50，这两个班共有________人．
解析：如果将两个班的人数减少1人，则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余，所以两班人数减1是9和10的公倍数，又因为每个班人数不超过50，可以求出9和10的最小公倍数，然后再加上1.所以，这两个班共有9×10＋1＝91(人)．
答案：91
2．把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个．这堆苹果至少有________个．
解析：依题意知，这堆苹果总个数添进1个苹果后，正好是9，8，4的倍数．因为9，8，4的最小公倍数是9×8＝72，所以这堆苹果至少有9×8－1＝71(个)．
答案：71
3．294和84的最大公约数为________．
解析：294＝84×3＋42，84＝42×2＋0.
答案：42
4．两个整数490和910的最小公倍数是________．
解析：910＝490×1＋420，490＝420×1＋70，420＝70×6＋0.
∴490与910的最大公约数是70.
∴490与910的最小公倍数是：(490×910)÷70＝6 370.
答案：6 370
5．求方程x3－2x＝0的近似解，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，最好应放在________之间．
答案：1和2
6．用辗转相除法和更相减损术求80和36的最大公约数．
解析：用辗转相除法：
80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.
故80和36的最大公约数是4.
用更相减损术：
80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20
20－8＝12，12－8＝4，
8－4＝4.∴80和36的最大公约数是4.
7．写出用二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1，2]内的一个近似根(误差不超过0.001)的一个算法伪代码．
解析：算法伪代码如下：
a←1
b←2
c←0.001
Do
x0←
f(a)←a3－2a－3
f(x0)←x03－2x0－3
If f(x0)＝0 Then Exit Do
If f(a)f(x0)<0 Then
b←x0
Else
a←x0
End If
Until |a－b|End Do
Print x0
8．现有长度为2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？
解析：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条，为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数，要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．用欧几里得辗转相除法求得2.4和5.6的最大公约数：5.6＝2.4×2＋0.8，2.4＝0.8×3＋0，即2.4和5.6的最大公约数为0.8.因此将正方体的棱长设为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．
9．(2014·武汉调考)分别用辗转相除法和更相减损术求(1)98和63；(2)8 251和6 105的最大公约数，从中你有什么发现？
解析：辗转相除法是做两个数的带余除法，更相减损术是做两个数的减法．
(1)用辗转相除法：
S1 98＝63×1＋35，
S2 63＝35×1＋28，
S3 35＝28×1＋7，
S4 28＝4×7.
∴98和63的最大公约数是7.
用更相减损术：
S1 98－63＝35，
S2 63－35＝28，
S3 35－28＝7，
S4 28－7＝21，
S5 21－7＝14，
S6 14－7＝7，
∴98和63的最大公约数为7.
(2)用辗转相除法：
S1 8 251＝6 105×1＋2 146，
S2 6 105＝2 146×2＋1 813，
S3 2 146＝1 813×1＋333，
S4 1 813＝333×5＋148，
S5 333＝148×2＋37，
S6 148＝37×4.
∴8 251和6 105的最大公约数为37.
用更相减损术：
S1 8 251－6 105＝2 146，
S2 6 105－2 146＝3 959，
S3 3 959－2 146＝1 813，
S4 2 146－1 813＝333，
S5 1 813－333＝1 480，
S6 1 480－333＝1 147，
S7 1 147－333＝814，
S8 814－333＝481，
S9 481－333＝148，
S10 333－148＝185，
S11 185－148＝37，
S12 148－37＝111，
S13 111－37＝74，
S14 74－37＝37，
∴8 251和6 105的最大公约数为37.
发现：辗转相除法和更相减损术在本质上是一致的，但在实际操作中，用辗转相除法比用更相减损术的计算步骤要少，但计算量相对较大，因而二者各有千秋．
10．用辗转相除法或更相减损术求三个数135，243，324的最大公约数．
解析：方法一(辗转相除法)：∵324＝243×1＋81，243＝81×3＋0，∴324与243的最大公约数为81.
又∵135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，
∴81与135的最大公约数为27.
∴三个数135，243，324的最大公约数为27.
方法二(更相减损术)：∵324－243＝81，243－81＝162，162－81＝81；135－81＝54，81－54＝27，54－27＝27.∴三个数135，243，324的最大公约数为27.
11．有甲、乙、丙三种溶液，分别重4 kg、3 kg、2 kg.现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同．问每瓶最多装多少？
解析：4＝＝；3＝＝；2＝＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；
即4、3的最大公约数是.
－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝；－＝.
即4、3、2的最大公约数是.
因此每瓶最多装 kg.
12．甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同，问每瓶最多装多少？
解析：由题意，每个小瓶应装的溶液的重量是三种溶液重量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343＝147×2＋49，147＝49×3＋0.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133＝49×2＋35，49＝35×1＋14，35＝14×2＋7，14＝7×2＋0.所以147，343，133的最大公约数是7.
因此每瓶最多装7 g.
13．相传一片远古森林栖息着凤凰，麒麟和九头鸟，凤凰有1个头，2只脚，麒麟有1个头，4只脚，九头鸟有9个头，2只脚，它们这3种动物的头共有100个，脚共有100只．问森林中3种动物各有多少只？试设计一个算法并写出伪代码．
解析：设森林中有凤凰x只，麒麟y只，九头鸟z只．本题的关键是如何考虑x、y、z三个变量之间的关系．由题意可知算法如下：
S1 当凤凰x＝1时，变量麒麟y的取值可以从1到24；
S2 让变量y从1开始取值(例如：y的值为1)；
S3 通过表达式(100－x－y)/9，计算z的值；
S4 完成上述步骤后，x、y、z三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：x＋y＋9z＝100且2x＋4y＋2z＝100；
S5 如果两个条件全部满足，就输出x、y、z的值，如果不满足，就让y值加1，然后重复S2到S4，直至y的取值超过24.
然后让x的取值加1后，重复S1到S5的操作，直至x的取值超过50为止，此时退出算法．
伪代码如下：
For x From 1 To 50
For y From 1 To 24
z←(100－x－y)/9
If 2x＋4y＋2z＝100 And
x＋y＋9z＝100 Then
Print x，y，z
End If
End For
End For
14．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有这样一首诗：
这里是一座古墓，
里面安葬着丢番图．
“请你告诉我，
丢番图寿数几何？”
“他的童年占去一生的六分之一，
接着十二分之一是少年时期，
又过了七分之一的时光，
他找到了终身伴侣．
五年之后，
婚姻之神赐给他一个儿子．
可是儿子命运不济，
只活到父亲寿数的一半，
就匆匆而去．
这对父亲是一个沉重的打击．
整整四年，
为失去爱子而悲伤，
终于告别数学，
离开人世．”
试写出其算法分析及流程图与伪代码．
解析：可设丢番图的寿数为x，则x为正整数，并且依题意可有
x＋x＋x＋5＋x＋4＝x.其算法为：
S1 x←1.
S2 判断x＋x＋x＋5＋x＋4＝x是否成立．
如果成立，则输出x，转至S3；
如果不成立，则x←x＋1，转S2.
S3 结束．
其流程图与相应的伪代码如下．
x←1
If x/6＋x/12＋x/7＋5＋x/2＋4＝x Then
Print x
Else
x←x＋1
End If
数学·必修3(苏教版)
已知平面直角坐标系内两不同点A，B，试求AB的垂直平分线的方程．试写出这个问题的算法．
分析：首先应判断A、B两点的横、纵坐标是否相等，在不等时，先求垂直平分的斜率或线段AB的中点坐标，最后由点斜式写出直线方程．
解析：算法如下：
S1 输入x1，y1，x2，y2.
S2 判断x1＝x2是否成立．
如果成立，则输出所求的直线方程为y←，转结束；
如果不成立，则判断y1＝y2是否成立．
如果成立，则输出所求的直线方程为x←，转结束；
如果不成立，则输出所求的直线方程为y－＝－，转结束．
S3 结束．
规律总结：算法设计与一般意义上的解决问题不同，这是一类问题的一般解法的抽象与概括，它要借助一般的问题解决方法，又要包含这类问题的所有可能情形，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．
?变式训练
1．设计一个算法，将高一某班50名同学某次数学考试成绩不及格者的分数打印出来．
解析：算法步骤如下：
S1 令n←1；
S2 如果n＞50，则转到S7；
S3 输入一个学生的成绩G；
S4 将G和60比较，如果G＜60，则输出G；
S5 n←n＋1；
S6 转到S2；
S7 结束．
2．已知平面直角坐标系中的两点A(－1，0)，B(3，2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
解析：算法步骤如下：
S1 计算x0＝＝1，y0＝＝1，得AB的中点N(1，1)；
S2 计算k1＝＝，得AB的斜率；
S3 计算k＝－＝－2，得AB垂直平分线的斜率；
S4 得直线AB垂直平分线的方程y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3，输出．
求正数a平方根近似值的一种算法思路是这样的：
第一步 确定平方根的首次近似值：a1 (a1可以任取一个正数)；
第二步 由代数式b1＝求出b1；
第三步 取二者的算术平均值a2＝为第二次近似值；
第四步 由方程b2＝求出b2 ；
第五步 取算术平均值a3＝作为第三次近似值；
……
反复进行上述步骤，直到获得满足误差在0.1以内的数为止．
请依照上述思路，画出相应的算法流程图．
解析：流程图如下：
规律总结：流程图是用规定的图形和流程线来准确、直观、形象地表示算法的图形．画流程图之前应先对问题设计出合理有效的算法，然后分析算法的逻辑结构，根据逻辑结构画出相应的流程图．
?
变式训练
3．写出解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法，并画出流程图．
解析：算法如下：
S1 判断a是否为零；
S2 若a＝0且b＝0，输出“方程的解是全体实数”；
S3 若a＝0且b≠0，输出“方程无解”；
S4 若a≠0，则输出x＝.
流程图如下图所示．
编写程序，输入两个实数，由小到大输出这两个数．
分析：确定好算法，根据算法过程编写程序．
解析：伪代码：
Read a，b
If a＞b Then
t←a
a←b
b←t
End If
Print a，b
规律总结：(1)条件语句用来处理算法中的选择逻辑结构，在一些需要按给定的条件进行比较、判断的问题中，如判断一个数的正负，比较两个数的大小等，常用条件语句设计程序．
(2)条件语句主要有两种格式，一是If－Else－End格式，它有两个语序列；二是If－End格式，它仅有一个语句序列．
(3)在一些较为复杂的问题的算法中还要用到复合的条件语句，它一般是在条件语句的Else分支语句中再设计一个条件语句．
?
变式训练
4．已知函数f(x)＝画出求f(f(x))的流程图并写出伪代码．
解析：流程图如下：
算法伪代码如下：
Read x
If x<2 Then
y1←x＋5
If y1<2 Then
y←y1＋5
Else
y←y12－2y1
End If
Else
y2←x2－2x
If y2<2 Then
y←y2＋5
Else
y←y22－2y2
End If
End If
Print y
画出计算3×32×33×34×35的一个算法的流程图，并写出伪代码．
分析：可利用循环语句逐个计算3，3×32，3×32×33，…
解析：流程图如下图所示：
伪代码如下：
T←1
For I From 1 To 5 Step 1
T←T×3I
End For
Print T
规律总结：(1)For循环是当型循环，即当循环变量I满足“初值”≤I≤“终值”时，就执行循环体，I可参与计算，也可起计数的作用．
(2)只有当循环次数明确时，才能使用本语句．
(3)步长可以为正、负，但是不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．
(4)程序语句中变量后不使用分号时，变量的值就会在屏幕上显示出来．利用这种功能，可以清楚地在屏幕上看出循环过程中变量值的变化情形．
(5)循环变量是用于控制算法中循环次数的变量，起计数作用，它有初值和终值，是循环开始和结束时循环变量的值，步长是指循环变量每次增加的值．步长为1时可以省略不写，但为其他值时，必须写，不能省略．
?变式训练
5．写出计算1××××…×的伪代码，并画出相应的流程图．
解析：流程图与伪代码如下：
S←1
For i From 1 to 100 Step 1
S←S×
End For
Print S
6．用For循环语句写出求12＋22＋…＋1002的值的算法的程序(sum表示求和)．
解析：伪代码如下：
sum←0
For i From 1 To 100 Step 1
sum←sum＋i2
End For
Print sum
题型五 While循环语句的程序编写
编写一个伪代码计算：1＋＋…＋，并画出流程图．
解析：伪代码：
i←1
S←0
While i≤1 000
S←S＋1/i
i←i＋1
End While
Print S
End
流程图：
?
变式训练
7．《九章算术》卷七——盈不足有下列问题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？
请画出流程图并编写伪代码解答上述问题．
解析：设人数是x，物价是y元，则画出流程图如下：
算法的伪代码如下：
x←1
While 8x－3≠7x＋4
x←x＋1
End While
y←8x－3
Print x，y
8．某商场第一年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么，从第一年起，约几年内可使总销售量达到30 000台？为解决该问题编写一个算法(sum表示求和)．
解析：伪代码如下：
i←1
S←5 000
sum←0
While sum＜30 000
sum←sum＋S
i←i＋1
S←S(1＋0.1)
End While
Print i－1
第1章 算法初步
1．1 算法的含义
1．下列关于算法的说法正确的是( )
A．一个算法的步骤是可逆的
B．描述算法可以有不同的方式
C．算法可以看成按照要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
D．算法只能用一种方式显示
答案：B
2．下列不是算法的是( )
A．解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1
B．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积就是计算π×32
解析：由算法的概念所确定．
答案：C
3．设计一个算法的步骤排列正确的是( )
①认真分析问题，找出解决问题的一般数学方法；②将解决问题的一般过程划分为若干个步骤；③借助有关变量或参数对算法加以描述；④用简单的语言将这个步骤表示出来．
A．①②③④ B．①③②④
C．①②④③ D．③①②④
答案：B
4．阅读下面的算法：
第一步 输入两个实数a，b；
第二步 若a＜b，则交换a，b的值；
第三步 输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
答案：A
5．《孙子算经》中的一题“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．输出语句中鸡、兔分别为________只、________只．
解析：设鸡x，兔y，则解方程组即得．
答案：23 12
6．求1×3×5×7×9的算法的S1是3×5，得15，S2是将S1中的运算结果15与7相乘，得105，S3是________．
答案：将105与9相乘，得945
7．完成解方程2x＋7＝0的算法过程：
第一步 移项，得________；
第二步 系数化为1，得________．
答案：2x＝－7 x＝－
8．已知算法如下：
第一步 输入x；
第二步 若x＞0，则y＝log2x；否则，y＝2x；
第三步 输出y.
若输入的x的值分别为－1，0，1时，输出的结果分别为________，________，________．
答案： 1 0
9．某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计)．试设计一个计算通话费用的算法．
解析：第一步 输入通话时间t；
第二步 若t≤3，则c＝0.2，执行第五步，否则执行第三步；
第三步 若[t]＝t，则t＝[t]，否则t＝[t]＋1；
第四步 c＝0.2＋0.1(t－3)；
第五步 输出c.
10．写出一个能找出a，b，c三个数中最小值的算法．
解析：第一步 令min＝a；
第二步 如果b＜min，则min＝b；
第三步 如果c＜min，则min＝c；
第四步 min为所求的最小值．
11．一个算法如下：
第一步 S取值0，i取值1；
第二步 若i不大于12，则执行下一步；否则执行第六步；
第三步 计算S＋i并将结果代替S；
第四步 用i＋2的值代替i；
第五步 转去执行第二步；
第六步 输出S.
则运行以上步骤输出的结果为________．
解析：S＝0，i＝1；
S＝1，i＝3；
S＝4，i＝5；
S＝9，i＝7；
S＝16，i＝9；
S＝25，i＝11；
S＝36，i＝13；
∵13＞12，∴输出S＝36.
答案：36
12．有5个小球，其中4个的重量相同，仅有一个较重，打算用天平(不用砝码)找出那个重的小球．下面设计了一种最少的测量次数测出那个重的小球的算法：
第一步 将5个小球分成A，B，C三组，每组分别有2，2，1个小球；
第二步 将A，B两组的小球分别放在天平的两侧，若天平________，则那个重的小球在__________________，然后执行第三步；若天平________，则________组的小球为那个重的小球；
第三步 将含那个重的小球的一组的两个小球分别放在天平的两侧，则较重的球为那个重的小球．
(1)将上述算法补充完整；
(2)若80个小球中含有1个较重的小球，请仿照上述算法设计一个算法，找出那个重的小球．
解析：(1)不平衡 较重的一组中 平衡 C
(2)算法如下：第一步 将全部分A、B、C三组，其中A、B组各有27个小组，C组有26个小组．
第二步 将A，B两组的小球分别放在天平的两侧，若天平不平衡，则那个重的小球在较重的一组中，执行第三步；若天平平衡，则那个重的小球在C组中．
第三步 对含那个重的小球的一组，重复第一、第二步，直到找出重的小球．
13．某高中男子体育小组20名学生的50 m赛跑成绩(单位：s)为6.4，6.5，7.0，6.8，7.1，7.3，6.9，7.4，7.5，7.6，6.3，6.4，6.5，7.5，6.7，7.1，6.9，6.4，7.1，7.0.设计一个算法，从这些成绩中搜索出成绩小于6.8 s的学生的学号和成绩，写出算法步骤．
解析：用Ni代表第i个学生的学号，Gi代表第i个学生的成绩(i＝1，2，…，30)，算法步骤如下：
第一步 i＝1；
第二步 输入Ni，Gi；
第三步 如果Gi＜6.8，则输出Ni，Gi；
第四步 i＝i＋1；
第五步 判断i＞20是否成立，若不成立，则返回第二步；若成立则算法结束．
课件24张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．1 算法的含义 情景切入
在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制三副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下50 g和5 g两个砝码，现有495 g硫磺，如何设计算法使称量的次数最少？最少需称量多少次？1．了解算法的含义，体会算法的思想．
2．理解算法的基本特征，能用算法语言表达简单的实
际问题． 栏目链接自 主学 习1．算法是解决某一类问题的一种________方法．判断一个问题是否有算法，关键看其是否有解决一类问题的________或________．
2．计算机解决问题依赖于________．
3．算法的基础特征是________、________、_______________、________、________．,程序化程序 步骤算法有限性 确定性顺序性与正确性 不唯一性 普遍性 栏目链接 栏目链接一、算法的概念要 点导 航(1)通俗地讲，算法就是人们将某类问题的思考，用一定的程序或步骤表达出来的一种方式．(2)实际上，处理任何问题都需要算法．如象棋有象棋的棋谱，国棋有围棋的棋谱，邮寄物资应有其相应手续等等．(3)每一个算法都是用来解决一类问题的，因而算法一般是机械的，有时要进行大量的重复计算，但只要按部就班地去做，总能算出结果．通常把算法过程称为数学“机械”化．(4)在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类 栏目链接要 点导 航(问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的、有效的，并且在有限步内完成． (5)算法是能解决一类问题的通法，它不同于求解一个具体问题的方法．(6)算法一方面具有具体化、程序化、机械性的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点． 栏目链接二、算法的特征要 点导 航 算法通常具有以下五个特征：(1)有限性．一个算法必须在执行有限次运算后结束，即算法有一个清晰的起始步和终止步，要在有限的步骤内使问题得到解答或指出问题无法解答. (2)确定性．算法的每一步计算，都必须有确定的结果，不能模棱两可，即算法的每一步只有唯一的执行路径，对于相同的输入只能得到相同的输出结果．(3)顺序性与正确性．算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是 栏目链接要 点导 航后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(4)不唯一性．求解某一个问题的算法不一定是唯一的，对于同一个问题，可以有不同的算法，当然这些算法有繁简之分，优劣之别．(5)普遍性．很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
说明 算法的五个特征中，有限性与确定性是最重要的两个特征，而对普遍性的要求则不是很高． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析例1 写出求1＋3＋5＋7＋9的一个算法． 按照逐一相加的程序进行．算法要求“按部就班”地做，每做一步都有唯一的结果，且在有限步之后，总能得出结果． 栏目链接典 例剖 析 算法步骤如下：
第一步 计算1＋3得到4；
第二步 将第一步的运算结果4与5相加得到9；
第三步 将第二步的运算结果9与7相加得到16；
第四步 将第三步的运算结果16与9相加得到25. 栏目链接典 例剖 析 一眼就能看出答案，为什么我们还要一步一步地做？原因是如果数多了、数大了，没有这样的过程和步骤就很难去解决这一问题，这是解决问题的通法． 栏目链接典 例剖 析1．下列语句表达中是算法的有________．
①解不等式2x＋3＞0的过程是先移项，再把x的系数化为1；②从广州去台湾可以先乘汽车到香港，再乘飞机到台湾；③解方程x2－5x＋6＝0；④利用公式V＝πr3计算半径为3的球的体积为36π.变式训练①②④ ①②④分别给出了解决问题的方法和步骤，是算法；③没有给出解方程的方法，不是算法． 栏目链接典 例剖 析例2 用二分法设计一个求方程x2－2＝0的近似解的算法． 若令f(x)＝x2－2，则求方程x2－2＝0的近似解，就是求函数f(x)的零点的近似值．借助用二分法求函数零点近似值的方法，我们便可以设计出求方程近似解的算法． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练2．下列关于算法的说法正确的有________．
①算法的步骤可以是无限的；②求解某一类问题的算法是唯一的；③算法的每一步操作都是明确的；④算法步骤执行完毕后一定产生确定的结果．③④ 算法具有有限性，确定性，因此①错误，③④正确，由于解决某类问题的算法不一定唯一，从而②错误． 栏目链接典 例剖 析例3写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法． 本题是求一元二次方程解的问题，应从一元二次方程的求根公式入手． 算法一：第一步 移项，得x2－2x＝3；①
第二步 ①两边同时加1并配方，得(x－1)2＝4；②
第三步 ②式两边开方，得x－1＝±2；③
第四步 解③得x＝3，或x＝－1. 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析3．写出求经过两点P(1，3)，Q(2，－1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积的一个算法．变式训练 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
1．2 流 程 图
1．2.1 顺序结构
1．下面关于流程图的画法规则中，错误的是( )
A．使用标准的框图符号
B．框图一般按从上到下、从左到右的方向画
C．判断框是唯一具有超过一个退出点的符号
D．判断框只有两分支的判断，没有更多分支的判断
解析：A、B、C是画算法流程图所必须遵循的规则，都是正确的；判断框有两分支的判断，也有多分支的判断，所以D不正确．
答案：D
2．流程图符号不能同时有进入点和退出点的一定是( )
A．起止框 B．输入、输出框
C．处理框 D．判断框
答案：A
3．算法中处理数据需要的算式，公式书写位置错误的是________．
① ② ③ ④
答案：①③④
4．流程图中有且只有两个同一图框的不可能是________．
① ② ③ ④
答案：②③④
5．直角三角形的两直角边分别为a，b，写出计算这个三角形面积的算法，并画出其流程图．
解析：算法如下：
S1 输入a，b；
S2 计算S←ab；
S3 输出S.
流程图表示如右图所示．
6．写出计算两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积的一个算法，并画出其流程图．
解析：算法：
S1 r1←1，r2←4，h←4；
S2 计算r←；
S3 计算S1←πr12，S2←πr22，S3←π(r1＋r2)r；
S4 计算S←S1＋S2＋S3，V←(S1＋S2＋)；
S5 输出S和V.
流程图如下图所示：
7．下图所示的流程图最终输出的结果是________．
解析：该流程图的算法是：
S1 a←2，b←8；
S2 S←＋；
S3 输出S.
最终输出的结果是.
答案：
8．已知一个三角形的三边分别是2，3，4.下图是用海伦秦九韶公式设计的一个算法的流程图，图中所缺的内容是________．
解析：从流程图看，图中所缺的内容应该是计算p的取值，所以应填p←.
答案：p←(a＋b＋c)
9．画出求两条直角边为a，b的直角三角形的外接圆半径的流程图．
．解析：流程图如下图所示．
10．已知正四面体的棱长为a，画出求其体积的流程图．
．解析：流程图如下图所示．
9
11．已知球的表面积为4π，一立方体的体积与球的体积相等，求立方体的棱长．设计出解决问题的算法，并画出流程图．
解析：设球的半径为R，体积为V，表面积为S，则
S＝4πR2，R＝，立方体的棱长为a，
则a＝
.
算法：
S1 S←4πR2；
S2 R←；
S3 V←πR3；
S4 a←；
S5 输出a.
算法的流程图如右图所示：
课件19张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．2 流 程 图
1．2.1 顺序结构 情景切入
算法的三种基本逻辑结构是：顺序结构、选择结构、循环结构，理论上已经证明，任何一个算法都可以用这三种基本逻辑结构表示．因此有必要掌握这三种基本逻辑结构．1．掌握流程图中各种图形符号及其表示的功能．
2．理解顺序结构的构成特点．
3．初步掌握用程序框图表示顺序结构的简单算法． 栏目链接自 主学 习1．流程图是由图框和流程线组成的，其中图框表示_ _____________，图框中的语言表示_________ ____，矩形表示________，菱形表示________，平行四边形表示_______________，流程线表示____________．
2．依次进行多次处理的结构称为________．,各种操作的类型 操作的内容处理框 判断框输入、输出框 操作的先后次序顺序结构 栏目链接 栏目链接一、流程图要 点导 航 一般来说，算法有下列三种描述方法：①自然语言；②流程图；③程序语言．在上节中，我们已经接触了一些用自然语言描述的算法，这一节首先学习流程图．通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图称作流程图．一个流程图包括以下几个部分：表示相应操作的图形符号；带箭头的流程线；必要的文字说明．常用的表示算 栏目链接要 点导 航法步骤的图形符号如表所示： 栏目链接要 点导 航(续表) 栏目链接要 点导 航 画流程图的规则：①使用标准的框图图形符号．②框图一般按从上到下、从左到右的方向画．③除判断框外，其他图形符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．④一种判断框是二择一形式的判断，而且仅有两个结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．⑥如果一个流程图由于纸面等原因需要分开画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码． 栏目链接二、顺序结构要 点导 航 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它由若干个依次执行的处理步骤组成，它也是任何一个算法都离不开的一种算法结构，可以用右图所示的虚线框表示顺序结构的示意图，其中A和B两个框是依次执行的，只有在执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析例1 以下给出对流程图的几种说法：①任何一个流程图都必须有起止框；②判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；③对于一个程序来说，判断框内的条件表达方法是唯一的；④输出框只能放在处理框后．其中说法正确的是________．由流程图的概念所确定．①② 栏目链接典 例剖 析1．关于流程图说法错误的是( )
A．流程图由图框和流程线组成
B．图框表示各种操作的类型
C．图框中的文字和符号表示操作的结果
D．流程线表示操作的先后次序变式训练C图框中的文字和符号表示操作的内容，所以C错误． 栏目链接典 例剖 析例2 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求线段AB的长度d及中点P的坐标．试设计算法并画出流程图． 可直接利用两点间的距离公式及中点坐标公式求距离与中点坐标． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 本题的流程图属于顺序结构，执行时是从上到下依次进行的．在画流程图时，必须遵循：(1)图形符号所表示的特定含义，而不能随意创造符号；(2)在图形符号内所描述的语言必须非常简练清晰；(3)画框图时，一般应遵循从上到下、从左到右的方向进行；(4)必须要有输入与输出口，否则这样的算法与流程无意义；(5)除判断框外，图形符号的出口与入口均为一个． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．已知直角三角形的两直角边长分别为7，24，画出求斜边c的算法流程图． 栏目链接课件21张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．2 流 程 图
1．2.2 选择结构情景切入
在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．这个算法在结构上有什么特点？1．掌握选择结构的结构特点，并会用框图表示．
2．会用选择结构解决较简单的数学问题． 栏目链接自 主学 习1．在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，像这种先_____________________，再______________________结构称为选择结构．
2．选择结构又称________．,根据条件作出判断
决定执行哪一种操作的分支结构 栏目链接 栏目链接选择结构要 点导 航 在一个算法中，经常会遇到一些条件判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．如图①所示的线框内是一种选择结构，此结构中包含一个判断框，根据所给的条件p是否成立而选择执行A框或B框，请注意无论条件p是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框和B框都不执行，无论走哪一条路径，在执行完A框或B框后，脱离本条件 栏目链接要 点导 航结构．当然A和B两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图②也是选择结构的一种． 图① 图② 栏目链接 栏目链接典 例剖 析例1 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，画出流程图． 栏目链接 栏目链接 (1)解决求分段函数的函数值问题时，一般要采用选择结构来设计算法．
(2)分清“是”与“否”所对应的处理框中的内容是解决此类问题的关键． 栏目链接典 例剖 析变式训练x<2y←log2x 栏目链接典 例剖 析例2 超市里，每本笔记本售价15元，顾客如果购买5本以上(含5本)，则按照九五折收费；如果顾客购买10本以上(含10本)，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，并画出流程图． 假设用变量a表示顾客购买的笔记本数，用C(元)表示顾客要付的金额，依题应有 栏目链接典 例剖 析 算法如下：
S1 输入a；
S2 若a＜5，则C←15a；否则，执行S3；
S3 若a＜10，则C←14.25a；否则，C←12.75a；
S4 输出C. 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 (1)求分段函数的函数值的流程图的画法为：如果是分两段的函数，只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，需要引入两个判断框；四段的函数要引入三个判断框，以此类推．
(2)判断框内的内容是没有顺序的． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．某市出租车收费标准如下：在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式并画出计算收费额的一个算法的流程图． 栏目链接 栏目链接流程图如下图所示： 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
1.2 流程图
1．2.3 循环结构
1．下列说法错误的是( )
A．一个算法中一定有顺序结构
B．循环结构中一定包含选择结构
C．一个算法中可能同时含有三种基本结构
D．一个算法中一定同时含有三种基本结构
答案：D
2．如图所示流程图输出的结果为132，则判断框中填写正确的是( )
A．i≥10 B．i≥11
C．i≤11 D．i≥12
答案：B
3．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4(单位：吨)．根据下图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为________．
解析：第一步(i＝1)：s1＝s1＋xi＝0＋1＝1，s＝s1＝1；
第二步(i＝2)：s1＝s1＋xi＝1＋1.5＝2.5，s＝×s1＝；
第三步(i＝3)：s1＝s1＋xi＝2.5＋1.5＝4，s＝×s1＝；
第四步(i＝4)：s1＝s1＋xi＝4＋2＝6，s＝×6＝；
第五步(i＝5)：i＝5>4，输出s＝.
答案：
4．用N1代表第一个学生的学号，Ni代表第i个学生的学号，Gi代表第i个学生的成绩，则下图表示的是______________________的算法流程图．
答案：统计前50号中80分以上的学生的学号和成绩．
5．下图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是________．
解析：当i＝20时应结束循环，可填i≥20或i>18或i>19或i≥19等．
答案：i≥20(或i>18或i>19或i≥19)
6．请画出求1×2×3×…×99的一个算法的流程图．
解析：如图所示．
7．高二(9)班有53名学生，请画出一个得出所有身高大于1.70 m的学生名单的算法的流程图．
解析：先对53名学生进行编号Gi(i＝1～53)，用Ni，Hi表示编号为Gi的学生的姓名，身高，流程图如图所示．
8．求使1＋2＋22＋…＋2m＞10 000成立的自然数m的最小值的算法，用流程图表示．
解析：解法一： 解法二：
9．下列问题可以设计成循环结构计算的有( )
①求1＋3＋32＋…＋310的值；
②比较m，n两个数的大小；
③对于分段函数，要求输入自变量的值，输出函数值；
④求平方值小于100的最大整数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①和④用到循环结构，②③用不到．故选C.
答案：C
10．(2015·全国新课标Ⅰ卷)执行如下图的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(C)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S＞0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S＞0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S＞0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S＞0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S＞0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S＞0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S＜0.01.
输出n＝7.故选C.
11．(2013·湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________．
解析：输入m的值为2，执行i＝1＋0＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1；判断2<1不成立，执行i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2；判断4<2不成立，执行i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6；判断8<6不成立，执行i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，判断16<24成立，跳出循环，输出i的值为4.
答案：4
12．已知f(x)＝，画出求f(－10)＋f(－9)＋…＋f(9)＋f(10)的一个算法流程图．
解析：流程图如图所示．
13．函数y＝x2与y＝2x有3个交点(x1，y1)、(2，4)、(4，16)，其中－1＜x1＜0，试画出用二分法求x1的近似值(误差不超过0.001)的算法的流程图．
解析：流程图如下图所示：
课件24张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．2 流 程 图
1．2.3 循环结构情景切入
一个班有50名学生，设计一个流程图将这50名学生中中考及格者(60分及格)的分数打印出来，并统计及格人数，那么我们该如何设计框图呢？1．掌握循环结构的结构特点，并会用框图表示．
2．会用循环结构解决较简单的问题． 栏目链接自 主学 习1．循环结构：需要________同一操作的结构称为循环结构．
2．常见的循环结构有________循环和________循环．
3．①当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件________时，执行循环体，否则终止循环．②直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件________，就继续执行循环体，直到________时终止循环．,重复执行当型 直到型满足不满足条件满足 栏目链接 栏目链接一、循环结构要 点导 航 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的处理步骤称为循环体．循环过程非常适合计算机处理，因为计算机的运算速度非常快，执行成千上万次的重复计算，只不过是一瞬间的事，且能保证每次的结果都正确．由此引出算法的第三种结构：需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．如左下图所示的流程图的功能是当给定的条件p1成立时，执行A框．执行完A框后， 栏目链接要 点导 航再判断条件p1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件不成立为止．此时不执行A框，脱离本循环结构． 栏目链接要 点导 航 如右上图所示的流程图的功能是先执行A框，然后判断给定的条件p2是否成立．如果条件p2不成立，则再执行A框，然后再对条件p2进行判断，如果条件p2仍然不成立，再执行A框．如此反复执行A框，直到给定的条件p2成立为止．此时不再执行A框，脱离本循环结构．
注意 利用循环结构时，一定要明确循环的次数，准确写出判断框内的条件，以避免出现多一次循环或少一次循环的情况． 栏目链接要 点导 航 顺序结构是最基本的也是最简单的算法结构；选择结构则是需要先判断，再决定执行哪一种操作的控制结构；循环结构则是需要重复执行同一操作的结构，循环结构一定包含顺序结构和选择结构．一般来说，这三种结构贯穿于程序中，相互结合，使程序更完美．共同特点是：(1)只有一个入口．(2)只有一个出口(实际运行的程序)．请注意：一个判断框有两个出口，而一个选择结构只有一个出口，不要将判断框的出口和选择结构的出口混为一谈．二、三种基本结构的关系 栏目链接要 点导 航(3)结构内的每一部分都有机会被执行到，也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它．如左下图中的A，没有一条从入口到出口的路径通过它，是不符合要求的流程图．(4)结构内不存在死循环，即无终止的循环，如右下图就是一个死循环，在流程图中是不允许有死循环出现的． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析例1 画出求13＋23＋…＋1003的值的流程图． 欲求13＋23＋…＋1003，只需一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值设为0，计数变量的初始值设为1. 栏目链接 栏目链接 (1)流程图中的sum为累加变量，i为计数变量，在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的计数变量，这个变量的取值一般都含在执行或中止循环体的条件中．
(2)流程图①中的循环结构为当型循环结构，流程图②中的循环结构为直到型循环． 栏目链接典 例剖 析变式训练 栏目链接流程图如下图所示： 栏目链接典 例剖 析例2 已知现有的人口总数为P，人口增长率是R，预测T年后人口总数将是多少？画出解决该问题的流程图． 1年后的人口数为P(1＋R)；
2年后的人口数为P(1＋R)2；
3年后的人口数为P(1＋R)3；
…
T年后的人口数为P(1＋R)T. 栏目链接典 例剖 析 这就是说，如果要计算10年后的人口总数，乘(1＋R)的运算要重复10次，要通过引入i作为循环变量达到对循环次数的有效控制． 栏目链接典 例剖 析流程图如下图所示： 栏目链接典 例剖 析 画出本图的关键是要理解“计算增量”和“用P＋I代替”这两个处理框的工作．P和I是两个变量，每重复一次，P和I都发生变化，在计算增量中，第一次算出的是第一年的人口量，而第二年计算人口的基数发生了变化，已不是初始值P，而是P＋I，可输出框中仍写的是P，这可能使你有点糊涂，但我们可以把P看成一个储存数据的单元，新的数据进入就把旧的数据赶走了． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．如果我国工农业生产总值每年以9%的增长率增长，几年后我国工农业生产总值翻一番？试用流程图描述其算法． 栏目链接流程图如下图所示： 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
1．3 基本算法语句
1．3.1 赋值语句 输入、输出语句
写出下列算法运行的结果．
输出结果为________．
输出结果为________．
解析：考查赋值语句的输出．
答案：(1)169 (2)1，－2，－1
2．如下图，该伪代码表示的作用是________．
Read a，b，c
m←Max(a，b，c)
Print m
答案：求a，b，c三个数中的最大值
3．在下图所示的伪代码中输入x＝2 014，则输出的结果y是________．
解析：(2 014－64)/13＝1 950/13＝150.
答案：150
4．已知f(x)＝x3－3x2＋2x＋1，写出求任意一个x的值对应的函数值f(x)的算法．
解析：解法一：算法如下：
Read x
A←x3
B←3x2
C←2x
D←A－B＋C＋1
Print D
解法二：算法如下：
Read x
m←x(x－3)
n←x(m＋2)
y←n＋1
Print y
5．试根据伪代码画出相应的流程图．
Read x，y
m←2x
n←log2y
Print m，n
x←x＋m
y←y＋n
Print x，y
解析：流程图如下图所示：
6．读下列算法回答问题：
(a) (b)
(1)写出两个算法的运行结果；
(2)上述两个算法有何区别？
解析：(1)(a)的运行结果是6，6；(b)的运行结果是5，5.
(2)算法(a)中的“x←y”是将y的值6赋给x，赋值后x的值变为6，而y的值仍保持不变；算法(b)中的“y←x”是将x的值5赋给y，赋值后y的值变为5，而x的值仍保持不变．
7．经过市场调查分析，2014年第一季度内，某地区对某件商品的需求量为12 000件，为保证商品不脱销，商家决定在月初将商品按相同的量投放市场，已知年初商品的库存量为50 000件，用S表示商品的库存量，请用伪代码写出求第一季度结束时商品的库存量的一个算法．
解析：算法如下：
S←50 000
S←S－4 000
S←S－4 000
S←S－4 000
Print S
8．读下面的算法，根据程序画出流程图．
e←2.718
Read x，y
a←3x＋y
b←3x＋ey
Print a，b
x←x＋3
y←2y＋1
Print x，y
解析：流程图如下图所示：
9．用伪代码设计算法，用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0.
解析：一元二次方程的求根公式是
x＝，
据此，可以利用赋值语句设计算法如下：
a←2
b←3
c←－1
x1←(－b＋sqrt(b2－4ac))/(2a)
x2←(－b－sqrt(b2－4ac))/(2a)
Print x1，x2
10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝，使用伪代码写出求f(g(1))＋g(f(1))的值的算法．
解析：伪代码如下：
x←1
y1←x2
z←3/x
y2←3/y1
y3←z2
y←y3＋y2
Print y
11．春节到了，糖果店的售货员忙极了，请你用伪代码设计一个算法，帮助售货员算账，已知水果糖每千克10.4元，奶糖每千克15.6元，果仁巧克力每千克25.2元，那么依次购买这三种糖果a、b、c千克，应收取多少钱？
解析：依题意，应收取钱数y＝10.4 a＋15.6b＋25.2c，程序如下：
Read a，b，c
y←10.4a＋15.6b＋25.2c
Print y
课件30张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．3 基本算法语句
1．3.1 赋值语句 输入、输出语句情景切入
在讨论课上，有一个同学出了这样一个题目：体育用品商店里摆放着大大小小，形形色色的各类球——篮球、排球、铅球、网球、乒乓球等，请设计一个程序，只要给出了球的半径就能马上知道它的体积，你会设计吗？相信你学习了这节课以后就能顺利解决这一问题．1．理解输入、输出语句和赋值语句的语法格式与功能．
2．能正确识别和编写简单的伪代码． 栏目链接自 主学 习1．任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是________、________、________、________、________．
2．伪代码是介于________语言和________语言之间的文字和符号．
3．在某些算法中，变量的初值要根据情况经常地改变．一般我们把程序和初始数据分开，每次算题时，即使初始数据改变，也不必改变程序部分，输入语句 输出语句 赋值语句条件语句 循环语句自然 计算机 栏目链接自 主学 习只要每次程序运行时，输入相应的数据即可．这个过程在程序语言中，用“________”来控制．输入语句之一是“________”，它的一般格式为：________．
4．任何程序语言必须有“________”来控制输出．输出语句的功能就是以某种形式把结果“输出”．在VB语言中，________就是其中一个输出语句，其格式是：________．输入语句ReadRead a，b输出语句PrintPrint a，b 栏目链接 栏目链接一、赋值语句要 点导 航 1．定义：在表述一个算法时，经常要引入变量，并赋给该变量一个值．用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句．在算法语句中，赋值语句是最基本的语句．
2．格式：赋值语句的一般格式为：变量←表达式．
3．作用：赋值语句中的“←”号，称作赋值号．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值． 栏目链接要 点导 航如：m←2；n←3；s←(m＋n)/2；
都是赋值语句．
注意 (1)赋值号左边只能是变量的名字，而不是表达式．例如5.3←X是错误的．
(2)赋值号左右不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如a←b，表示用b的值替代变量a原先的取值，不能改写为b←a，因为后者表示用a的值替代变量b的值． 栏目链接要 点导 航 (3)不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)，如y←x2＋3x＋2←(x＋1)(x＋2)，这是不能实现的．在赋值语句中的赋值号右边的表达式中的每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“←”．
(4)赋值号与数学中的等号的意义不同．赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后，获得一个值．如果原来已有值，则执行该语句后，以 栏目链接要 点导 航赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”．如i←i＋2在数学中是不成立的．但在赋值语句中，意思是将i的原值加2，再赋给i，即i的值增加了2.
(5)对于一个变量可以多次赋值．
4．赋值语句的基本类型：以赋值表达式中是否含有变量本身为分类标准可分为三类：一是不含有变量本身，即赋给变量常数值(如a←1)，或将含有其他变量的表达式赋给变量(如b←2a＋1)；二是仅含有变量本身而 栏目链接要 点导 航不含有其他变量，即将含有变量本身的表达式的值赋给变量(如i←3i＋1就是将3i＋1的值赋给i)；三是既含有变量本身又含有其他变量(如s←s＋i)． 栏目链接要 点导 航 1．输入语句：在某些算法中，变量的初值要根据情况经常地改变．一般我们把程序和初始数据分开，每次算题时，即使初始数据改变，也不必改变程序部分，只要每次程序运行时，输入相应的数据即可．这个过程在程序语言中用“输入语句”来控制．不同的程序语言都有自己的输入指令和方法．二、输入语句、输出语句 栏目链接要 点导 航 2．输出语句：任何求解问题的算法，都要把求解的结果“输出”．由此可知，任何程序语言也必须由“输出语句”来控制输出．不同的程序语言都有自己的输出语句和表现形式，但功能是一样的，就是以某种形式把求解结果“输出”出来．
3．输出语句和输入语句的异同点．相同点：都可以输入或输出多个常量．不同点：①语句定义符不同，输出语句的定义符是“Print”，而输入语句的定义符是“Read”．②具体内容不同，输入的具体内容只能是具体的 栏目链接要 点导 航数值和单个或多个字符；而输出的结果，可以是数量，也可能是变量，还可能是表达式或字符串．
比较输出语句与输入语句的异同，有利于我们准确地掌握这两种语句，最终达到灵活运用它们的目的．在比较时，既要从形式、结构上进行比较，又要从实质内涵上进行比较．
注意 (1)算法、流程图、伪代码三者之间相辅相成，已知三者之一，可以写出另外两个，应熟练掌握它们之间的密切关系． 栏目链接要 点导 航 (2)三种基本语句的使用：
①输入、输出语句是任何一个程序必不可少的语句，其功能是实现数据的输入、输出．
②赋值语句是最基本的语句，也是一个程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求，如赋值号左边只能是变量而不能是表达式，赋值号左右两边不能对换，不能利用赋值语句进行代数式的计算等．
③利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析例1 判断下列赋值语句是否正确．
(1)4←m；
(2)x＋y←10；
(3)A←B←2；
(4)N←N. 栏目链接 由赋值语句中的“←”左边是变量，右边是表达式知(1)错误，由赋值语句中，左边不能是代数式知(2)错误，由赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“←”知(3)错误，(4)是正确的，故(1)错误，(2)错误，(3)错误，(4)正确． 根据赋值语句的特征判断赋值语句的正确与否．(1)(2)(3)错误 (4)正确典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练1．关于输入、输出语句和赋值语句，下列说法中，不正确的有________．
①Read语句只能给一个变量赋值；
②Print语句可以在计算机屏幕上输出常量、变量的值和系统信息；
③赋值语句就是将赋值号左边的值赋给赋值号右边的变量；
④赋值语句不能给变量重复赋值，只能赋一次值． 栏目链接 Read语句可以给多个变量赋值；赋值语句是将赋值号右边表达式的值赋给赋值号左边的变量；赋值语句可以给一个变量重复赋值．由上述分析知①③④均不正确．①③④典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析例2 任意给出一个数据(正数)，写出以它为半径的圆的周长和面积．用伪代码设计一个算法． 设圆的半径为r，则周长C←2πr，面积S←πr2，其中圆周率π为常数，但计算机不能识别这个常数，因此我们必须先设定π的值，即把π的近似值赋给一个变量． 栏目链接典 例剖 析 PI←3.14
Read r
C←2×PI×r
S←PI×r2
Print C，S
π、e等常量不随着问题的改变而改变．用PI代替π，且当作一个变量，给它赋值． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．已知一个正方形的周长为16，设计算法求它的面积，并用输入、输出语句和赋值语句表示． 栏目链接典 例剖 析 PI←3.14
Read r
C←2×PI×r
S←PI×r2
Print C，S
π、e等常量不随着问题的改变而改变．用PI代替π，且当作一个变量，给它赋值． 栏目链接典 例剖 析 例3 读Read语句编写的算法，根据算法画出流程图．
Read x，y
Print x/4，2*y
x←x＋2
y←y－1
Print x，y 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 栏目链接典 例剖 析(1)5，2 (2)2，3，2 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
1．3 基本算法语句
1．3.2 条件语句
1．下列关于条件语句的叙述正确的是( )
A．条件语句中必须有Else和End If
B．条件语句中可以没有End If
C．条件语句中可以没有Else，但必须有End If结束
D．条件语句中可以没有End If，但必须有Else
答案：C
2．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求函数f(x)＝的函数值；
③求面积为6的正方形的周长；
④求三个数a，b，c中的最大数．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
3．下面程序运行的结果是( )
a←2 014，
b←2 015
If at←a
a←b
b←t
End If
Print a，b
A．a＝2 014，b＝2 015 B．a＝2 015，b＝2 014
C．a＝2 014，b＝2 014 D．a＝2 015，b＝2 015
答案：B
4．写出下列算法的运行结果．
若输入－3，输出结果为________；
若输入2，输出结果为________．
若输入x＝6，则p＝________；
若输入x＝18，则p＝________．
解析：考查条件语句的输出．
答案：(1)a negative number 3 (2)2.1 9.1
5．将下列程序补充完整．
(1)输入两个数，输出其中较大的数．
Read a，b
If a＞b Then
Print a
Else
________
End If
(2)判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值，若不是，输出它的相反数．
Read x
If________ Then
y←－x
Else
y←x2
End If
Print y
解析：考查条件语句的结构形式．
答案：(1)Print b (2)x≤0
6．铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张客票托运行李不超过50千克时，每千克0.13元，如超过50千克，超过的部分按每千克0.20元计算．如果行李重量为ω(千克)，运费为F(元)，计算公式为
F＝
设计算法，输入行李的重量ω，输出运费F.
解析：算法如下：
Read ω
If w≤50 Then
F←0.13ω
Else
F←50×0.13＋(ω－50)×0.20
End If
Print F
7．写出伪代码实现，输入x的值，计算函数y＝的值并输出．
解析：伪代码如下：
Read x
If x≤－2 Then
y←－2x－4
Else
If x＜2 Then
y←
Else
y←2x－1
End If
End If
Print y
8．写出用公式法求方程x2－5x＋6＝0的两根的算法．
解析：算法如下：
a←1，b←－5，c←6
d←b2－4ac
If d≥0 Then
t←sqrt(d)
x1←(－b＋t)/(2a)
x2←(－b－t)/(2a)
Else
Print “无实数根”
End If
9．火车站对乘客退票收取一定的费用，收费办法是：按票价10元(不足10元按10元计算)收2元，票价2元及2元以内的不退，试编写一个算法求出当输入x元的车票退掉后，返回金额y的值，并画出其流程图．
解析：流程图如下图．
算法如下：
Read x
If x≤2 Then
y←0
Else
If x mod 10＝0 Then
y←x－x/5
Else
t←int(x/10)＋1
m←2t
y←x－m
End If
End If
Print y
10．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励市民节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价2.8元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费按原价的200%收取；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费按原价的400%收取．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试就该人本季度缴纳水费的款数设计一个算法流程图，并用If语句描述该算法．
分析：假如用x表示该人本季度用水数，则对x要分三种情况考虑，所以就要用到条件语句“If-Then-Else-End If”的嵌套．
解析：设x为该人本季度用水数(单位：吨)，y为缴款数，则
y＝
算法流程图如下图所示：
用伪代码表示如下：
Read x
If x≤5 Then
y←2.8x
Else
If x≤6 Then
y←14＋(x－5)×5.6
Else
y←19.6＋(x－6)×11.2
End If
End If
Print y
11．输入三个正数a，b，c，如果这三个正数能作为一个三角形的三边长，则输出(a＋b＋c)，否则输出“它们不能组成三角形”，试用算法的伪代码表示上述过程．
分析：由题目可获取以下主要信息：①输入三个正实数a，b，c.②判断以a，b，c为边长能否构成三角形．解答本题首先要判断这三个正实数中任意两数之和是否大于第三个实数，若满足，则能构成三角形．
解析：要看两边之和是否都大于第三边．为此，必须对所有的两边之和大于第三边进行判断，伪代码如下：
Read a，b，c
If a＋b＞c And a＋c＞b And b＋c＞a Then
p←(a＋b＋c)/2
Print p
Else
Print “不能构成三角形”
End If
12．根据下面的算法，画出该算法的流程图，并说明该算法的功能．
Read a，b，c
d←b2－4ac
p←－b/(2a)
If d＜0 Then
Print “原方程无实数根”
Else
t←sqrt(d)/(2a)
x1←p＋t
x2←p－t
End If
Print x1，x2
解析：流程图如下图所示．
该程序的功能是：输入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数及常数项，输出它的实数根．
课件31张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．3 基本算法语句
1．3.2 条件语句情景切入
本课时，我们主要来学习条件语句中的If语句，If语句比较简单，建议有条件的同学多上机实践，编制应用程序解决各种实际问题．1．了解条件语句的意义及其格式．
2．掌握条件语句的步骤，结构及功能，并能用条件语句编写简单程序． 栏目链接自 主学 习1．条件语句的一般格式有两种：一种格式是：________．另一种格式是：________．
2．在条件语句中，当出现3个或3个以上的判断点时，就要用到条件语句的________．,嵌套答案： 栏目链接 栏目链接一、条件语句的格式要 点导 航 (1)If－Else－End If格式的条件语句．If－Else－End If格式的条件语句的一般格式如左下图所示，流程图如右下图所示： 栏目链接要 点导 航 计算机执行这种格式的条件语句时，如果满足条件，则执行条件后面的语句1；如果不满足条件，执行Else后面的语句2，然后结束这一条件语句．条件语句的功能是用来实现算法中的条件结构，因为人们对计算机运算的要求并不仅限于一些简单的运算，而是经常需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同处理．如判断一个数的正负，比较两数的大小，对一组数据进行排序等就需要用到条件语句． 栏目链接要 点导 航 (2)If－End If格式的条件语句．If－End If格式的条件语句的一般格式如左下图所示，流程图如右下图所示： 栏目链接要 点导 航 计算机要执行这种格式的条件语句时，先对是否满足条件进行判断，若满足条件，则执行条件后面的语句，否则直接跳过语句，执行其他语句．
(3)If－End If语句与If－Else－End If语句的关系．①If－End If语句实质上是If－Else－End If语句的简化，也就是在条件语句中，当不符合条件且不进行任何处理时，把语句2省略不写．但需要注意的是若用这种格式编写程序，在确定条件时，必须满足符合条件需要进行处理(即需要运算)，而不符合条件就不需要进行 栏目链接要 点导 航运算．②当需要进行多次比较与判断时，则需要多次运用条件语句来编写程序，但要注意这些条件语句之间的关系． 栏目链接要 点导 航 在某些较为复杂的算法中，有时需要按条件要求执行某一语句后(特别是Else后的语句)继续按照另一条件进行判断，这时可以再利用条件语句完成这一要求，这就形成了条件语句的嵌套，其一般格式如下(其流程图见右上图)：二、多个判断框的条件语句 栏目链接要 点导 航 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 本题是已知分段函数的解析式求函数值的问题，当输入一个x的值，由于x所在的范围不同，因而用来计算函数值的解析式也因范围不同而有所不同，因此要计算函数值必须先判断x的范围，因而要设计求函数值的算法必须用选择结构，相应算法的书写也应用条件语句书写． 栏目链接 用变量x，y分别表示自变量和函数值．步骤如下：
S1 输入x的值；
S2 判断x的范围，若x≥0，则y←x2－1，
否则y←2x2－5；
S3 输出y的值． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析变式训练 栏目链接典 例剖 析Read x
If x＜1 Then
y←x
Else
If x＜10 Then
y←2x－1
Else
y←3x－11
End If
End If
Print y算法如下： 栏目链接典 例剖 析例2 试设计算法步骤并写出伪代码，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出． 用a、b、c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a、b、c表示，并使a≥b≥c. 具体操作步骤如下． 栏目链接典 例剖 析 PI←3S1 输入3个整数a、b、c；
S2 将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a；
S3 将a与c比较，并把小者赋给c，大者赋给a，此时 a已是三者中最大的；
S4 将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a、b、c已按从大到小的顺序排列好；
S5 按顺序输出a、b、c. 栏目链接典 例剖 析伪代码如下： 栏目链接典 例剖 析考查“If－End If”条件语句的多次应用． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．输入一学生的数学成绩，评定其等级．规定85～100分为“优秀”，70～84分为“良好”，60～69分为“及格”，60分以下为“不及格”，试写出其算法的伪代码． 栏目链接典 例剖 析Read x
If x≥85 Then
Print “优秀”
Else
If x≥70 Then
Print “良好”
Else
If x≥60 Then
Print “及格”
Else算法如下：Print “不及格”
End If
End If
End If 栏目链接典 例剖 析 例3 某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过的部分以0.1元/分钟收取通话费(通话时间以分钟计，不足1分钟按1分钟计)．试设计一个计算通话费用的算法，画出该算法的流程图并写出相应的伪代码． 读懂题意，列出函数关系式，根据函数关系式设计算法和画流程图． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析流程图如图所示．
伪代码： 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采取阶级电价计算电费：每月用电不超过60度，按每度0.67元计算，用电超过60度时，其中的60度仍按原标准收费，超过部分每度按0.87元计算．请设计一个计算应交电费的算法的伪代码 栏目链接典 例剖 析Read x
If x≤60 Then
y←0.67x
Else
y←40.2＋0.87(x－60)
End If
Print y算法如下： 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第1章 算法初步
基本算法语句
1．3.3 循环语句
1．如图所示的伪代码中，下列说法正确的是( )
A．循环体语句执行2 014次
B．循环体无限循环
C．循环体语句只执行一次
D．循环体语句一个也不执行
答案：D
2．如图所示的伪代码中，运行结果为( )
i←1
S←0
While S≤20
S←S＋i
i←i＋1
End While
Print i－1
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：C
3．如果下面伪代码运行后输出结果是132，那么While后面条件表达式应为________．
S←1
i←12
While 条件表达式
S←S×i
i←i－1
End While
Print S
解析：12×11＝132.
答案：i≥11或i＞10
4．For i From (－100) To 190 Step 10，则执行该语句时，共执行________次循环．
解析：次数＝＋1＝30.
答案：30
5．写出下面伪代码运行后的结果是________．
For x From 5 To 1 Step －1
Print x
End For
解析：考查“For”语句．
答案：5，4，3，2，1
6．已知伪代码如下：
i←1
Do
a←Mod(i，2)
If a＝0 Then
Print i
End If
i←i＋1
Until i>100
End Do
分析该伪代码的算法功能，并画出其流程图．
解析：该伪代码的算法功能是找到并输出1至100的正整数中的所有偶数，流程图如下：
7．下面程序运行的结果为(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
8．(2014·南京八校模拟)完全数是一些特殊的自然数：它所有的真因数(即除了本身以外的约数)的和，恰好等于它本身．例如：第一个完全数是6，它的约数1，2，3，6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6.又如：8的真因数是1，2，4，而1＋2＋4＝7，所以8不是完全数．按定义设计伪代码找出500以内的完全数．
解析：伪代码如下：
P←6
While P≤500
I←1
S←0
While I＜P
If Mod(P，I)＝0 Then
S←S＋I
End If
I←I＋1
End While
If P＝S Then
Print P
End If
P←P＋1
End While
9．某高中男子体育小组的100 m赛跑成绩(单位：s)：12.1，13.2，12.7，12.8，12.5，12.4，12.7，11.5，11.6，11.7.从这些成绩中搜索出小于12.1 s的成绩，并画出流程图，编写相应的伪代码．
解析：用Ni代表学生的学号，Gi代表学生的成绩．
流程图如下图所示： 相应的伪代码如下：
i←1
While i≤10
If Gi＜12.1 Then
Print Ni，Gi
i←i＋1
Else
i←i＋1
End If
End While
10．已知一行数：a1，a2，a3，…，an－1，an，…这一行数满足条件：
编写求这行数的第n项的一个算法的伪代码．
解析：伪代码：
Read n
a←1
b←1
While n≥3
c←2a＋b
a←b
b←c
n←n－1
End While
Print b
11．1，1，2，3，5，8，13，…这一列数的规律是：第1、第2个数是1，从第3个数起，该数是其前面2个数之和．试用循环语句描述，计算这列数中前20个数之和的算法．
解析：解法一：伪代码：
m←1
n←1
i←2
S←2
While i≤10
m←m＋n
n←n＋m
S←S＋m＋n
i←i＋1
End While
Print S
解法二：伪代码：
m←1
n←1
i←2
S←2
Do
m←m＋n
n←n＋m
S←S＋m＋n
i←i＋1
Until i＞10
End Do
Print S
12．若三位数ABC满足ABC＝A3＋B3＋C3，则称其为水仙花数．试编写一个伪代码，找出100－999中所有的水仙花数．
解析：伪代码如下：
i>100
While i≤999
A←Int(i/100)
B←Int((i－100×A)/10)
C←i－Int(i/10)×10
If i＝A3＋B3＋C3 Then
Print i
End If
i←i＋1
End While
课件28张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．3 基本算法语句
1．3.3 循环语句情景切入
设计计算1＋2＋3＋…＋________＞1 000的最小自然数的算法．1．理解循环语句的概念．
2．掌握循环语句的写法及功能，并能用循环语句实现算法中的循环结构． 栏目链接自 主学 习1．循环语句的概念．
循环语句用来实现算法中的________结构．
2．循环语句的形式．
(1)当型循环语句．
①适用范围：循环的次数________．
②一般形式：
____________不确定循环While p 栏目链接自 主学 习____________
____________
③执行步骤：当所给条件p成立时，执行________部分，然后____________．如果条件p仍成立，那么再次执行循环体，如此反复，直到某一次条件p不成立时退出循环．
(2)直到型语句．
①适用范围：循环的次数不能确定．循环体End While循环体判断p是否成立 栏目链接自 主学 习②一般形式：
Do
________
____________
____________
③执行步骤：先执行________部分，然后再______________．如果p不成立，那么再次执行________，如此反复，直到________退出循环． 循环体
Until p
End Do循环体 判断p是否成立循环体 p成立 栏目链接自 主学 习(3)“For”语句．
①适用范围：循环的次数________．
②一般形式：______________________________________
______________
______________．确定For I From “初值” To “终值” Step “步长”循环体End For 栏目链接 栏目链接一、循环语句要 点导 航 1．循环语句定义．
算法中实现循环结构的语句叫做循环语句．
2．循环语句的格式．
当循环次数不能确定时，可用“While”语句或“Do”语句来实现循环．“While”的一般形式是： 栏目链接要 点导 航其中p表示判断执行循环的条件．
“Do”语句的一般形式是：当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示，“For”语句的一般形式是：
For I From “初值” To “终值” Step “步长”
循环体
End For 栏目链接要 点导 航 3．循环体．
在“While”语句中，在“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体．
在“Do”语句中，在“Do”与“Until”之间缩进的步骤称为循环体．
在“For”语句中，在“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体． 栏目链接要 点导 航 1．当循环次数已确定时，用For语句；当循环次数不能确定时，用“While…End While”或“Do…End Do”语句．
2．“For”语句和“While…End While”语句是当型循环，语句特点是先判断条件再执行循环体；“Do…End Do”是直到型循环，语句特点是先执行循环体部分，再判断条件是否成立．二、三种循环语句的区别与联系 栏目链接要 点导 航 3．“For”语句和“While…End While”语句都是不满足条件时跳出循环，“Do…End Do”语句是满足条件时退出循环．需要注意的是，“While…End While”语句和“Do…End Do”语句中要写出适当的条件． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1用伪代码写算法求使1＋2＋3＋…＋n＞100成立的最小正整数n. 栏目链接错因分析：用追踪法来判断输出的结果是否为所求，由第一次循环开始依次向下，是：①S＝0＋1，I＝1＋1＝2，②S＝1＋2，I＝2＋1＝3，③S＝1＋2＋3，I＝3＋1＝4，假设第k－1次循环得S＝1＋2＋3＋…＋(k－1)≤100，I＝k，而第k次循环：S＝1＋2＋3＋…＋k＞100，I＝k＋1，其中k即为所要求的最小正整数n，而最后“Print I”，输出的结果是k＋1，当然错误．典 例剖 析 栏目链接解法一：解法二：典 例剖 析 栏目链接循环体中“I”的位置对程序有很大影响． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．用伪代码写算法求使1×3×5×…×n>10 000成立的最小正奇数n. 栏目链接伪代码如下：s←1
i←3
While s≤10 000
s←s×i
i←i＋2
End While
Print i－2典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例2 若1＋3＋5＋…＋n＞10 000，试设计一个伪代码，寻找满足条件的最小整数． 由题目可获取以下主要信息：
①求满足不等式1＋3＋5＋…＋n＞10 000的最小整数n，
②用循环语句编写伪代码．
解答本题可以先用累加的方法，一个数一个数的向上题型二 While 语句与Do语句互化 栏目链接典 例剖 析加，直到加上一个数刚好大于10 000，则这个数即为寻找的最小整数．然后用伪代码写出相应的程序．解法一：解法二： 栏目链接典 例剖 析 当循环次数不确定时，我们采用“While…End While”或“Do…End Do”语句，此题解法具有普遍性．在输出时一定要注意使输出的值不要多一次循环，也不要少一次循环，否则不合题意． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．设计一个伪代码，求平方值小于2 000的最大数，并画出其流程图． 栏目链接 可以把最小的正整数1赋给变量i，计算出其平方值，判断其是否小于2 000，若小于2 000，将i＋1的值赋给变量i，即对变量i进行累加，并判断其平方值是否小于2 000，直到i2值大于2 000时，停止循环，将i值减去2就是所求的最大整数．流程图如下图所示：典 例剖 析 栏目链接解法一：伪代码：典 例剖 析S←0
i←1
While S＜2 000
S←i2
i←i＋1
End While
i←i－2
Print i 解法二：伪代码：S←0
i←1
Do
S←i2
i←i＋1
Until S≥2 000
End Do
i←i－2
Print i 栏目链接课件50张PPT。数学·必修3（苏教版）第1章 算法初步
1．4 算法案例情景切入
韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2人多余；接着立即下令将队形成为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．
在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2 333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的．同学们，你知道吗？1．理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．
2．理解中国剩余定理在数学中的应用．
3．理解二分法求方程的近似解的算法． 栏目链接自 主学 习1．孙子剩余定理即______________，在近代数学和电子计算机程序设计中有着广泛的应用．
2．公元前3世纪，欧几里得在《原本》中介绍的求两个正整数的最大公约数的方法，称为__________________．
3．63与231的最大公约数是__________．中国剩余定理欧几里得辗转相除法21 栏目链接 栏目链接一、中国剩余定理要 点导 航 中国剩余定理，也称为孙子剩余定理．该定理在近代数学和电子计算机程序设计中有着广泛的应用．
(1)剩余问题．
在整数除法里，一个数分别除以几个数，得到整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题． 栏目链接要 点导 航 (2)两个性质．
性质1：几个数相加，如果只有一个加数不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和就不能被数a整除．
如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以(10＋15＋7)不能被5整除．
性质2：二数不能整除，若被除数扩大(或缩小)了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)． 栏目链接要 点导 航 如：22÷7＝3……1
(22×4)÷7＝12……1×4(＝4)
[要余2，则22×2÷7＝6……2；(22×9)÷7＝28……1×9－7(＝2)]
(要余5，则22×5÷7＝15……5)
(3)中国剩余定理．
中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题(称为“物不知数”问题)及其解法： 栏目链接要 点导 航 今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？
答曰：二十三．
术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之，得二百三十三，以二百一十减之即得．”
“术”即解法．书中还介绍了上述问题中余数为一的一般解法：凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百五减之即得． 栏目链接要 点导 航 在明朝程大位著《算术统宗》一书中，把上述问题的基本解法，用诗句概括为：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百减五便得知．
依定理译成算式为：
70×2＋21×3＋15×2＝233，233－105×2＝23.
这就是享誉中外的“中国剩余定理”．
(4)“物不知数”问题的算法分析与算法的流程图与伪代码表示，请直接参见教材相关部分． 栏目链接要 点导 航 1．辗转相除法．
公元前3世纪欧几里得在《原本》中提出的：“设有不相等的二数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直下去，若余数总是量不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互质．”二、求两个正整数的最大公约数的算法 栏目链接要 点导 航 辗转相除法就是把给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数，继续上面的除法，直到余数为零，此时的除数就是所求的最大公约数．
从算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用a表示)除以较小的数(用b表示)，得到：a＝nb＋r(0≤r＜b)．
由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数r是否等于0决定，所以我们可以把它看作一个循环体，用循环结构就可以实现其算法． 栏目链接要 点导 航 2．更相减损术．
用更相减损术求两个正整数的最大公约数的过程与算法设计：对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，接着将得到的差与较小的数比较，用这两个数中的较大的数减去较小的数，继续上述的操作(大数减小数)，直到产生一对相等的数为止，那么这个数(等数)就是所求的最大公约数．这是因为每次操作后所得的两数与前两数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减小，经过有限步操作后一定可得相等的两数． 栏目链接要 点导 航 3．“更相减损术”与“辗转相除法”的异同点．
“更相减损术”与“辗转相除法”这两种算法分别来源于东西方古代数学名著，但二者的算理确是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但实质都是一个不断的递归过程．
辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r(a＞b)?r＝a－nb得a，b与b，r有相同的公约数；更相减损术的理论依据是：由a－b＝r(a＞b)?a＝b＋r得a，b与b，r 栏目链接要 点导 航有相同的公约数．所以，它们有相同的理论依据，只不过一个用除法，另一个用减法罢了． 栏目链接要 点导 航三、二分法 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1我国《算经十书》之一《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”你能用程序解决这个问题吗？ 这个问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．著名的“韩信点兵问题”即为此例的应用． 栏目链接 栏目链接因此，可以让m从2开始检验，若三个条件中有任何一个不成立，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止． 栏目链接 栏目链接流程图如下图所示：伪代码如下： 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．有一堆桃子不知数目，猴子第一天吃掉一半，觉得不过瘾，又多吃了一个，第二天照此办法，吃掉剩下桃子的一半另加一个，天天如此，到第十天早上剩下一个桃子，问这堆桃子有多少个？ 栏目链接典 例剖 析 第十天桃子数：S10＝1(个)；
第九天桃子数：S9＝(1＋1)×2＝4(个)；
第八天桃子数：S8＝(1＋4)×2＝10(个)；
…
第一天桃子数：S1＝(S2＋1)×2(个)．
所以递推关系是
S10＝1，Sn＝(Sn＋1＋1)×2，n＝1，2，…，9.
故可用循环结构设计算法．流程图如右上图所示． 栏目链接典 例剖 析 例2 写出求两个正整数a，b(a＞b)的最大公约数的一个算法，并画出流程图，写出相应的伪代码． 利用辗转相除法，求出数列a，b，r1，r2，…，rn，0，这列数从第三项开始每项都是前两项相除(小的除大的)所得的余数，余数0的前一个rn即为a和b的最大公约数． 栏目链接典 例剖 析算法如下：
S1 输入两个正整数a，b(a＞b)；
S2 r←a÷b的余数；
S3 a←b，b←r；
S4 如果r≠0，转S2；
S5 输出最大公约数b. 栏目链接典 例剖 析伪代码如下： 栏目链接流程图如下图所示：典 例剖 析 辗转相除法是解决求最大公约数的通法，也是解决求两个正整数最小公倍数的通法，可以输入不同的a、b值，先求两数的最大公约数．典 例剖 析变式训练 2．下述伪代码输出的结果是________． 栏目链接典 例剖 析 伪代码是求375和85的最大公约数．
375＝85×4＋35，
85＝35×2＋15，
35＝15×2＋5，
15＝5×3＋0，
∴375与85的最大公约数是5.5 栏目链接典 例剖 析 例3 现有长度为360 cm和780 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样才能保证正方体体积最大且不浪费？编写算法流程图，并写出相应的伪代码． 正方体的所有棱长都相等，故必须将钢筋剪裁成长度相等的钢筋条，又必须不浪费，这就说明必须剪后无剩余，于是为了保证正方体的体积最大，剪的钢筋的最大长度为360 cm和780 cm的最大公约数，可用更相减损术求最大公约数． 栏目链接典 例剖 析 根据更相减损术求780和360的最大公约数的步骤如下：
780－360＝420，
420－360＝60，
360－60＝300，
300－60＝240，
240－60＝180，
180－60＝120，
120－60＝60，
60－60＝0. 栏目链接典 例剖 析则60即为360和780的最大公约数．
流程图如下图所示： 栏目链接典 例剖 析伪代码如下： 栏目链接典 例剖 析 (1)更相减损术的基本步骤是用较大的数(用a表示)减去较小的数(用b表示)，每次操作后所得的两数与前两数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减小，经过有限步操作后，总能得到相等的两个数，即求得两数的最大公约数． 栏目链接典 例剖 析 (2)辗转相除法进行的是除法运算，执行次数由余数是否为0决定，更相减损术进行的是减法运算，执行次数由差数与较小的数是否相等决定，二者实质都是一个不断递归的过程，是一个反复执行的步骤，因而用循环结构就可实现其算法． 栏目链接典 例剖 析 3．运行下面的伪代码，当输入78和36时，输出的结果是________．变式训练 栏目链接典 例剖 析 伪代码是求78与36的最大公约数．
(78，36)→(42，36)→(6，36)→(6，30)→(6，24)→(6，18)→(6，12)→(6，6)，所以78和36的最大公约数为6.6 栏目链接典 例剖 析 例4 已知函数f(x)＝x2－5，写出求方程f(x)＝0在[2，3]上的近似解(精确到0.001)的算法伪代码，并画出流程图． 由题目可获取以下主要信息：
(1)已知函数f(x)＝x2－5；
(2)求方程f(x)＝0在[2，3]上的近似解； 栏目链接典 例剖 析(3)精确到0.001.
解答本题可先回忆一下二分法求近似根的步骤，由步骤画出流程图，然后再写出算法的伪代码．
流程图如下图所示： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析伪代码为： 栏目链接典 例剖 析 针对这个类型的题目书写伪代码时一定要注意伪代码的具体格式，另外循环语句中一定包含有条件结构的语句．求高次方程近似解时，一定要给出精确度． 栏目链接典 例剖 析变式训练 4．写算法，用二分法求log230的值(精确到0.001)．并画出流程图，写出伪代码． 栏目链接典 例剖 析 设log230＝m，令f(x)＝log230－x，据估计m∈[4，5]．令a＝4，b＝5，其算法步骤可表示为：
第一步 取[a，b]中点m0＝(a＋b)，将区间一分为二．
第二步 若f(m0)＝0，则m0即为所求；否则，判断m在m0的左侧还是右侧．
若f(a)·f(m0)＞0，则m∈(m0，b)，以m0代替a；
若f(a)·f(m0)＜0，则m∈(a，m0)，以m0代替b.
第三步 若|a－b|＜0.001，计算终止，此时m≈m0，否则转第一步． 栏目链接典 例剖 析流程图如下图所示． 栏目链接典 例剖 析流程图如下图所示．a←4
b←5
Do
m0←(a＋b)
f(a)←log230－a
f(m0)←log230－m0
If f(m0)＝0 Then Exit Do
If f(a)f(m0)＜0 Then b←m0
Else
a←m0
End If
Until |a－b|＜0.001
End Do
Print m0 栏目链接数学·必修3(苏教版)
章末过关检测卷(一)
算法初步
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有9枚银元，其中有一枚略重的是真银元，用天平(不用砝码)将真银元找出来，最少称多少次就一定能将真银元找出来( )
A. 1 B．2 C．7 D．8
答案：B
2．45和150的最大公约数与最小公倍数分别为( )
A．5，150 B．15，450 C．450, 15 D．15，150
答案：B
3．(2015·湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )
A. B. C. D.
答案：B
4．(2014·江西卷，改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )
A．7 B．9 C．10 D．11
答案：B
5．(2015·四川卷)执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案：D
6．(2014·陕西卷，改编)根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1) C．an＝2n D．an＝2n－1
答案：C
7．用秦九韶算法和直接算法求当x＝x0时，f＝3x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64的值，做的乘法次数分别为( )
A．6，20 B．7，20 C．7，21 D．6，21
答案：D
8．(2015·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )
A．2 B．7 C．8 D．128
答案：B
9．(2015·安徽卷)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
10．(2014·湖南卷，改编)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于( )
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4，5] D．[－3，6]
解析：由图知是求分段函数
s(t)＝的值域，即s(t)∈[－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6]，选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填写在题中的横线上)
11．(2015·江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．
第11题图 第12题图 第13题图
第14题图
答案：7
12．(2014·江苏卷)如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
答案：5
13．(2014·浙江卷，改编)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．
答案：6
14．(2014·辽宁卷，改编)执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)某学生数学、语文、英语三门课的成绩分别为a、b、c，画出计算该学生平均成绩的程序框图．
解析：算法流程图如下：
16．(本小题满分12分)用更相减损术求228与1 995的最大公约数．
解析：由于1 995不是偶数，把228和1 995以较大数减小数．并重复操作，如图所示：
1 995－228＝1 767
1 767－228＝1 539
1 539－228＝1 311
1 311－228＝1 083
1 083－228＝855
855－228＝627
627－228＝399
399－228＝171
228－171＝57
171－57＝114
114－57＝57
所以，228和1 995的最大公约数等于57.
17．(本小题满分14分)(2014·新课标Ⅰ卷，改编)执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，求输出的M的值．
解析：输入a＝1，b＝2，k＝3，n＝1≤3，所以M＝1＋＝，a＝2，b＝，n＝2；因为n＝2≤3成立，所以M＝2＋＝，a＝，b＝，n＝3；因为n＝3≤3成立，所以M＝＋＝，a＝，b＝，n＝4.因为n＝4≤3不成立，所以输出的M＝.
18．(本小题满分14分)设计算法流程图，要求输入自变量x的值，输出函数f(x)＝ 的值，并用复合If语句描述算法．
解析：算法流程图如下：
算法程序为：
Read x
If x＜0 Then
y←*x＋3
Else
If x＝0 Then
y←0
Else
y←*x－5
End If
End If
Print y
19．(本小题满分14分)现欲求1＋＋＋…＋的值(其中n的值由键盘输入)，请画出流程图，并写出伪代码．
解析：流程图如下图所示．
伪代码如下：
Read n
S←0
i←0
Do
i←i＋1
S←S＋
Until i＝n
End Do
Print S
20．(本小题满分14分)数列{an}的通项为an＝n2·2n，请画出一个求前n项和Sn的流程图，并写出伪代码．
解析：算法流程图如下：
伪代码如下：
Read n
i←1
S←0
While i≤n
S←S＋i*i*2i
i←i＋1
End While
Print S
