1．（2024高一下·温岭月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·温岭月考）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
3．（2024高一下·温岭月考）某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18.5
4．（2024高一下·温岭月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·温岭月考） 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·温岭月考）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·温岭月考）设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
8．（2024高一下·温岭月考）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
9．（2024高一下·温岭月考）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
10．（2024高一下·温岭月考）已知向量满足，则向量在上的投影向量为 .
11．（2024高一下·温岭月考）若，则的最大值为 .
12．（2024高一下·温岭月考）在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 .
13．（2024高一下·温岭月考）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
（2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
14．（2024高一下·温岭月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
15．（2024高一下·温岭月考）如图，在平面四边形ABCD中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求BC．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知i2=-1知i4=1，故i2024=(i4)506=1，而，故z=，故虚部为，
故答案为：B.
【分析】根据虚数运算的规则可知i2024=(i4)506=1，分母有理化可化简，得到虚部.
2．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，即
∵，，
∴，
∴，
即，
即原平面图形的面积是．
故选：D
【分析】考查斜二测画法，将直观图还原为原图进而求解出答案。
3．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列6，8，9，10，11，13，15，17，20，21以上有10个数据，10×75%=7.5，比7.5大的最小整数为8，第8个数字为17，故 数据的75%分位数17.
故答案为：C
【分析】用数据的总数n乘以75%得7.5，大于7.5的最小整数为8，取第8个数字即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由正弦定理得sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，同时A+B+C=π得sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，
即有sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC，于是sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，得sinA=cosA+1，
由sin2A+cos2A=1得2cos2A+2cosA=0得cosA=-1(舍去)或cosA=0，故A=90°；故“”是“为直角三角形的充分条件，
而当ABC为直角三角形时，A、B、C都有可能为直角 ，故不一定成立，故“”是“为直角三角形不必要条件.
综上，“”是“为直角三角形的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别将“”和“为直角三角形当条件进行推导即可.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为，故，
因为与为互斥事件，故，
所以
，故，故.
故答案为：A
【分析】本题考查对立事件的概率，互斥事件的概率计算公式，事件的概率公式.根据对立事件的概率可求出，再根据互斥事件的概率计算公式可推出，利用并事件的概率公式进行计算可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点，
∵，，
∴，⊥，则⊥，
由于⊥，
故即为二面角的平面角，
则，
过点作⊥于点，
∵⊥，⊥，，平面，
故⊥平面，
∵平面，所以⊥，
又，平面，
则⊥平面，，
取的中点，则外接球球心在平面的投影为，
即⊥平面，
连接，，则，过点作，交直线于点，
则，
，
，
由余弦定理得
，
设，则，故，
由勾股定理得，，
故，
解得，
故外接球半径为，
外接球表面积为.
故选：C
【分析】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．即作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积.
7．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A选项，若，，则或如下图所示，故A错误；
B选项，令，，，则，
即有，，但不满足，如下图所示，故B错误；
C选项，若，，，所以，因为是不同的平面
即，故C正确；
D选项，若，，则或或与斜交，如下图所示，故D错误.
故选：ABD
【分析】根据空间中的线与线、面与面、线与面之间的关系进行判断，举出反例即可得
8．【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：A选项：如图：
当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确；
B选项：如图：
当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，
即动点轨迹的周长为：，故B错误；
C选项：如图：
当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，
故C正确；
D选项：如图：
当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧
则即为二面角的平面角，
即当与的中点重合时，二面角取得最大值，
此时，因为，所以.
故D错误.
故选：AC
【分析】本题为立体几何中动点轨迹问题，需根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断.
9．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴由正弦定理，得，
即，
∵，∴，且，即.
对于A选项：若，则，
则的外接圆的直径 ，即，
∴的外接圆的面积为，故选项A正确；
对于B选项：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，故选项B错误；
对于C选项：由正弦定理，得 ，即，
∵，∴，
∵为锐角三角形，
∴ ，即，
∴，即，故选项C正确；
对于D选项：∵，∴由正弦定理得，
∵，∴，
故由正弦定理，得，即，
∴，
即，
∴，∴，
∵，则，故，解得 ，
∵，所以，
即是直角三角形，
∴内切圆的半径为，
即的面积为，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】本题是考察正弦定理和余弦定理的综合应用。即解三角形。解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题。需结合每个选项条件进行求解。
10．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
即又在上的投影向量为，
故答案为：.
【分析】本题考查投影向量的计算公式
11．【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b为实数)，故z++i=a++(b+1)i，于是，即，设a+=cosθ，b+1=sinθ，其中θ∈[0，2π]，则有a=cosθ-，b=sinθ-1，故a2+b2=(cosθ-)2+(sinθ-1)2=5-(2cosθ+2sinθ)=5-4sin(θ+)，最大值为9，故|z|=的最大值为3.
故答案为3.
【分析】直接设z=a+bi(a，b为实数)，直接翻译题中的条件，可得关于a、b的方程，当作标准圆的方程，利用三角代换，可求得|z|的表达式，从而求得最大值.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，又，
由，
解得，
∵，得，则有，.
，
则有，
，则有，所以有，，
的外接圆为圆O，P为圆O上的点，
由正弦定理得的外接圆半径，
则有，
，
，，
为中点，，，
当与方向相同时，有最大值，
当与方向相反时，有最小值，
∴的最大值为，最小值为，
即的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查求两个向量的数量积，利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换等求解正确结果。
13．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为.
（2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的小矩形面积之和为1，结合P(C)=0.85即可分别求出a和b的值，同时求出甲的中位数；
(2)分别求出A组和B中离子残留百分比高于5.5的概率，即可得概率.
14．【答案】（1）证明：取的中点，连结，则四边形是正方形，
则，，所以，且
∴，所以，
∵平面平面，平面平面，PA在面PAB内，
∴平面；
（2）
在上取点，使，连结，在上取点，使，
在上取点，使，连结，则，且，则，
即，且，
则四边形是平行四边形，所以，且，即，
则，所以四点四点共面，连结，
，
∵，所以点三点共线，
∴五点共面，
即与平面交于点，
由（1）可知，平面，平面，
∴，且，，且平面，
∴平面，平面，
∴，
且是等腰直角三角形，点为的中点，
即，且，平面，
∴平面，
，
即，
，，，
∴，即，
∵，
∴，
设点到平面的距离为，则，
即，
∴，
∵点是的中点，
∴点到平面的距离也是，
若点到平面的距离为，则，
即存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）可利用面面垂直的性质定理，然后证明线面垂直。
（2）是根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，然后需求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置.
15．【答案】（1）解：由可得，
∵故
∴
（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，
即，化简得，
即，
利用降幂公式有，
利用辅助角公式有，
故，
利用诱导公式可得，
故
∵，
解得，
又由正弦定理有，
即
【知识点】解三角形；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由∠ABD的余弦值可得AD的长，即可得△ABD的面积；
(2)由正弦定理得θ的关系式即可得，再由正弦定理得BC的长.
1 / 11．（2024高一下·温岭月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知i2=-1知i4=1，故i2024=(i4)506=1，而，故z=，故虚部为，
故答案为：B.
【分析】根据虚数运算的规则可知i2024=(i4)506=1，分母有理化可化简，得到虚部.
2．（2024高一下·温岭月考）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，即
∵，，
∴，
∴，
即，
即原平面图形的面积是．
故选：D
【分析】考查斜二测画法，将直观图还原为原图进而求解出答案。
3．（2024高一下·温岭月考）某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（ ）
A．12 B．16 C．17 D．18.5
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列6，8，9，10，11，13，15，17，20，21以上有10个数据，10×75%=7.5，比7.5大的最小整数为8，第8个数字为17，故 数据的75%分位数17.
故答案为：C
【分析】用数据的总数n乘以75%得7.5，大于7.5的最小整数为8，取第8个数字即可.
4．（2024高一下·温岭月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由正弦定理得sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，同时A+B+C=π得sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，
即有sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC，于是sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，得sinA=cosA+1，
由sin2A+cos2A=1得2cos2A+2cosA=0得cosA=-1(舍去)或cosA=0，故A=90°；故“”是“为直角三角形的充分条件，
而当ABC为直角三角形时，A、B、C都有可能为直角 ，故不一定成立，故“”是“为直角三角形不必要条件.
综上，“”是“为直角三角形的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别将“”和“为直角三角形当条件进行推导即可.
5．（2024高一下·温岭月考） 设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为，故，
因为与为互斥事件，故，
所以
，故，故.
故答案为：A
【分析】本题考查对立事件的概率，互斥事件的概率计算公式，事件的概率公式.根据对立事件的概率可求出，再根据互斥事件的概率计算公式可推出，利用并事件的概率公式进行计算可求出答案.
6．（2024高一下·温岭月考）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点，
∵，，
∴，⊥，则⊥，
由于⊥，
故即为二面角的平面角，
则，
过点作⊥于点，
∵⊥，⊥，，平面，
故⊥平面，
∵平面，所以⊥，
又，平面，
则⊥平面，，
取的中点，则外接球球心在平面的投影为，
即⊥平面，
连接，，则，过点作，交直线于点，
则，
，
，
由余弦定理得
，
设，则，故，
由勾股定理得，，
故，
解得，
故外接球半径为，
外接球表面积为.
故选：C
【分析】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．即作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积.
7．（2024高一下·温岭月考）设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A选项，若，，则或如下图所示，故A错误；
B选项，令，，，则，
即有，，但不满足，如下图所示，故B错误；
C选项，若，，，所以，因为是不同的平面
即，故C正确；
D选项，若，，则或或与斜交，如下图所示，故D错误.
故选：ABD
【分析】根据空间中的线与线、面与面、线与面之间的关系进行判断，举出反例即可得
8．（2024高一下·温岭月考）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．存在点使得
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D．当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：A选项：如图：
当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确；
B选项：如图：
当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，
即动点轨迹的周长为：，故B错误；
C选项：如图：
当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，
故C正确；
D选项：如图：
当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧
则即为二面角的平面角，
即当与的中点重合时，二面角取得最大值，
此时，因为，所以.
故D错误.
故选：AC
【分析】本题为立体几何中动点轨迹问题，需根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断.
9．（2024高一下·温岭月考）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：∵，
∴由正弦定理，得，
即，
∵，∴，且，即.
对于A选项：若，则，
则的外接圆的直径 ，即，
∴的外接圆的面积为，故选项A正确；
对于B选项：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，故选项B错误；
对于C选项：由正弦定理，得 ，即，
∵，∴，
∵为锐角三角形，
∴ ，即，
∴，即，故选项C正确；
对于D选项：∵，∴由正弦定理得，
∵，∴，
故由正弦定理，得，即，
∴，
即，
∴，∴，
∵，则，故，解得 ，
∵，所以，
即是直角三角形，
∴内切圆的半径为，
即的面积为，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】本题是考察正弦定理和余弦定理的综合应用。即解三角形。解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题。需结合每个选项条件进行求解。
10．（2024高一下·温岭月考）已知向量满足，则向量在上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
即又在上的投影向量为，
故答案为：.
【分析】本题考查投影向量的计算公式
11．（2024高一下·温岭月考）若，则的最大值为 .
【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：设z=a+bi(a，b为实数)，故z++i=a++(b+1)i，于是，即，设a+=cosθ，b+1=sinθ，其中θ∈[0，2π]，则有a=cosθ-，b=sinθ-1，故a2+b2=(cosθ-)2+(sinθ-1)2=5-(2cosθ+2sinθ)=5-4sin(θ+)，最大值为9，故|z|=的最大值为3.
故答案为3.
【分析】直接设z=a+bi(a，b为实数)，直接翻译题中的条件，可得关于a、b的方程，当作标准圆的方程，利用三角代换，可求得|z|的表达式，从而求得最大值.
12．（2024高一下·温岭月考）在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，又，
由，
解得，
∵，得，则有，.
，
则有，
，则有，所以有，，
的外接圆为圆O，P为圆O上的点，
由正弦定理得的外接圆半径，
则有，
，
，，
为中点，，，
当与方向相同时，有最大值，
当与方向相反时，有最小值，
∴的最大值为，最小值为，
即的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查求两个向量的数量积，利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换等求解正确结果。
13．（2024高一下·温岭月考）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
（2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为.
（2）组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的小矩形面积之和为1，结合P(C)=0.85即可分别求出a和b的值，同时求出甲的中位数；
(2)分别求出A组和B中离子残留百分比高于5.5的概率，即可得概率.
14．（2024高一下·温岭月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
【答案】（1）证明：取的中点，连结，则四边形是正方形，
则，，所以，且
∴，所以，
∵平面平面，平面平面，PA在面PAB内，
∴平面；
（2）
在上取点，使，连结，在上取点，使，
在上取点，使，连结，则，且，则，
即，且，
则四边形是平行四边形，所以，且，即，
则，所以四点四点共面，连结，
，
∵，所以点三点共线，
∴五点共面，
即与平面交于点，
由（1）可知，平面，平面，
∴，且，，且平面，
∴平面，平面，
∴，
且是等腰直角三角形，点为的中点，
即，且，平面，
∴平面，
，
即，
，，，
∴，即，
∵，
∴，
设点到平面的距离为，则，
即，
∴，
∵点是的中点，
∴点到平面的距离也是，
若点到平面的距离为，则，
即存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）可利用面面垂直的性质定理，然后证明线面垂直。
（2）是根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，然后需求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置.
15．（2024高一下·温岭月考）如图，在平面四边形ABCD中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求BC．
【答案】（1）解：由可得，
∵故
∴
（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，
即，化简得，
即，
利用降幂公式有，
利用辅助角公式有，
故，
利用诱导公式可得，
故
∵，
解得，
又由正弦定理有，
即
【知识点】解三角形；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由∠ABD的余弦值可得AD的长，即可得△ABD的面积；
(2)由正弦定理得θ的关系式即可得，再由正弦定理得BC的长.
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