1．（2024高二下·抚州期末）已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，
所以.
故选：A.
【分析】利用极限的计算方法即可得解.
2．（2024高二下·抚州期末）在数列中，若，则（ ）
A．-2 B．4 C．1 D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.
故选：B
【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案.
3．（2024高二下·抚州期末） 2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等可能事件的概率；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门的结果有：不选化学也不选地理的方式有1种，则化学和地理至少有一门被选中的概率是
故答案为：D.
【分析】本题主要考查概率公式及排列组合的运用，反面法运用，通过化学和地理至少有一门被选中的互为反面不选化学也不选地理的方式进行求解即可.
4．（2024高二下·抚州期末）设 ， ，随机变量X的分布列是（ ）
a
则方差 （ ）
A．既与 有关，也与 有关 B．与 有关，但与 无关
C．与 有关，但与 无关 D．既与 无关，也与 无关
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列可得 ，
故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合随机变量X的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，再利用方差公式，从而求出随机变量X的方差，进而推出随机变量X与 有关，但与 无关 。
5．（2024高二下·抚州期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列与的前项和分别为，且，
所以设，
所以
.
故选：D
【分析】利用等差数列的性质()与求和公式，结合已知条件求解即可.
6．（2024高二下·抚州期末）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，则，
因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，
即，可得，设，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
当时，，故.
故选：B.
【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
7．（2024高二下·抚州期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式；斐波那契数列
【解析】【解答】解：由题意从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，这样的数列称为“斐波那契数列”得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
8．（2024高二下·抚州期末）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
两边同时加，得：.
设，则，所以在上单调递增.
所以.
设，，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由.
故选：C
【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围.
9．（2024高二下·抚州期末）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ）
A．的减区间是
B．的增区间是
C．有一个极大值点，两个极小值点
D．有三个零点
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：结合导函数图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断.
10．（2024高二下·抚州期末）下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．若，则
C．已知，若，则事件M，N相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
【答案】B,C
【知识点】独立性检验的基本思想；互斥事件与对立事件；相互独立事件；随机数的含义与应用；条件概率
【解析】【解答】解：A项，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误；
B项，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确；
C项，因为，所以，即，
则，则事件M，N相互独立，故C正确；
D项，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误；
故选：BC
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据正态分布的对称性求解概率判断B，根据条件概率及独立事件的概念判断C，根据独立性检验的试验结果判断D.
11．（2024高二下·抚州期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
12．（2024高二下·抚州期末）若直线与曲线相切，则 .
【答案】2
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，所以.
由，
因为，所以切点坐标为，
因为点在直线上，所以.
故答案为：2
【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值.
13．（2024高二下·抚州期末）小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，
则.
故答案为：.
【分析】借助条件概率公式计算即可得.
14．（2024高二下·抚州期末） 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点A到直线的距离为：，可得：，
又，根据可得：和y=x在R上单调递增，
所以，在R上单调递增，其值域为R，又，可令，所以，求导可得：，令可得：t=1，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，则实数a最大值为：
故答案为：.
【分析】根据点到直线的距离公式可得点A到直线的距离d，进而得到，然后在将函数进行构造再结合换元法，构造新函数，然后求导，确定其单调性进而找到其最小值，进而进而即可求解.
15．（2024高二下·抚州期末）已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由题意，得
解得或（舍）
∴；
（2）解：，，
此时；
，
，
，
，
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1） 根据条件和等差数列的通项公式，列出关于的方程，即可得出答案；
（2） 由（1）可知，，利用错位相减法和等比数列的求和公式求和.
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得
解得或（舍）
∴；
（2），，
此时；
，
，
，
，
所以.
16．（2024高二下·抚州期末）已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数的范围.
【答案】（1）解：，
由解得，或，
所以的单调增区间为，；
（2）解：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
则
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，令解不等式即可得到函数的单调递增区间；
（2）利用导数正负和函数单调性的关系求出在的值域可得答案.
（1），
由解得，或，
所以的单调增区间为，；
（2），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
则.
17．（2024高二下·抚州期末）已知数列的首项，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）若数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）解：因为，
所以，
即，
将上述个式子相乘得，
所以，当时，成立，
故.
（2）证明：由（1）得，
所以，
所以，
即.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法即可求解数列通项公式；
（2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法（裂项相消法的实质是将数列中的每一项(通项)分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，）即可证明.
（1）因为，
所以，
即，
将上述个式子相乘得，
所以，当时，成立，
故.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
即.
18．（2024高二下·抚州期末）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．
附：若，则．
【答案】（1）解：因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）解：依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
【知识点】随机数的含义与应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性（正态分布图像关于对称，其中为正态分布的期望值，且）可求，故可估算年龄不低于60岁的人数.
（2）利用不等式组可求取得最大值时的值.
（1）因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
19．（2024高二下·抚州期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1.
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）证明：当时，；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）解：由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函数的单减区间为，单增区间为．
（2）证明：由（1）知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即．
（3）证明：首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数．根据导数正负和函数单调性的关系即可求解函数在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）求出的最小值，化简．构造，根据导数正负和函数单调性的关系判断在（0，+∞）上单调递增，得到，推出结果．
（3）首先证明：当时，恒有．令，则．推出在（0，+∞）上单调递增，得到．利用累加法推出．
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式．
（1）由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函数的单减区间为，单增区间为．
（2）由（1）知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即．
（3）首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．
1 / 11．（2024高二下·抚州期末）已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·抚州期末）在数列中，若，则（ ）
A．-2 B．4 C．1 D．
3．（2024高二下·抚州期末） 2024年是安徽省实施“”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·抚州期末）设 ， ，随机变量X的分布列是（ ）
a
则方差 （ ）
A．既与 有关，也与 有关 B．与 有关，但与 无关
C．与 有关，但与 无关 D．既与 无关，也与 无关
5．（2024高二下·抚州期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·抚州期末）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·抚州期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·抚州期末）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·抚州期末）函数，的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（ ）
A．的减区间是
B．的增区间是
C．有一个极大值点，两个极小值点
D．有三个零点
10．（2024高二下·抚州期末）下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．若，则
C．已知，若，则事件M，N相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
11．（2024高二下·抚州期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
12．（2024高二下·抚州期末）若直线与曲线相切，则 .
13．（2024高二下·抚州期末）小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ．
14．（2024高二下·抚州期末） 已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 ．
15．（2024高二下·抚州期末）已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·抚州期末）已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数的范围.
17．（2024高二下·抚州期末）已知数列的首项，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）若数列的前项和为，证明：.
18．（2024高二下·抚州期末）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．
附：若，则．
19．（2024高二下·抚州期末）已知函数（为常数，为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1.
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）证明：当时，；
（3）证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，
所以.
故选：A.
【分析】利用极限的计算方法即可得解.
2．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.
故选：B
【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】等可能事件的概率；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门的结果有：不选化学也不选地理的方式有1种，则化学和地理至少有一门被选中的概率是
故答案为：D.
【分析】本题主要考查概率公式及排列组合的运用，反面法运用，通过化学和地理至少有一门被选中的互为反面不选化学也不选地理的方式进行求解即可.
4．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由分布列可得 ，
故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合随机变量X的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，再利用方差公式，从而求出随机变量X的方差，进而推出随机变量X与 有关，但与 无关 。
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列与的前项和分别为，且，
所以设，
所以
.
故选：D
【分析】利用等差数列的性质()与求和公式，结合已知条件求解即可.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，则，
因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，
即，可得，设，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
当时，，故.
故选：B.
【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】数列的递推公式；斐波那契数列
【解析】【解答】解：由题意从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，这样的数列称为“斐波那契数列”得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
两边同时加，得：.
设，则，所以在上单调递增.
所以.
设，，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由.
故选：C
【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：结合导函数图象可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，错误，正确，
所以函数在，时取得极小值，在时，函数取得极大值，C正确；
因为无法确定，，的正负，从而无法确定函数的零点个数，D错误.
故选：BC
【分析】由已知结合导数与单调性及极值关系，函数性质检验各选项即可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】独立性检验的基本思想；互斥事件与对立事件；相互独立事件；随机数的含义与应用；条件概率
【解析】【解答】解：A项，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误；
B项，因为，所以正态曲线的对称轴为，则，故B正确；
C项，因为，所以，即，
则，则事件M，N相互独立，故C正确；
D项，因为，所以不能根据作出D中的判断，故D错误；
故选：BC
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据正态分布的对称性求解概率判断B，根据条件概率及独立事件的概念判断C，根据独立性检验的试验结果判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
12．【答案】2
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，所以.
由，
因为，所以切点坐标为，
因为点在直线上，所以.
故答案为：2
【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，
则.
故答案为：.
【分析】借助条件概率公式计算即可得.
14．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点A到直线的距离为：，可得：，
又，根据可得：和y=x在R上单调递增，
所以，在R上单调递增，其值域为R，又，可令，所以，求导可得：，令可得：t=1，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，则实数a最大值为：
故答案为：.
【分析】根据点到直线的距离公式可得点A到直线的距离d，进而得到，然后在将函数进行构造再结合换元法，构造新函数，然后求导，确定其单调性进而找到其最小值，进而进而即可求解.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由题意，得
解得或（舍）
∴；
（2）解：，，
此时；
，
，
，
，
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1） 根据条件和等差数列的通项公式，列出关于的方程，即可得出答案；
（2） 由（1）可知，，利用错位相减法和等比数列的求和公式求和.
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得
解得或（舍）
∴；
（2），，
此时；
，
，
，
，
所以.
16．【答案】（1）解：，
由解得，或，
所以的单调增区间为，；
（2）解：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
则
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，令解不等式即可得到函数的单调递增区间；
（2）利用导数正负和函数单调性的关系求出在的值域可得答案.
（1），
由解得，或，
所以的单调增区间为，；
（2），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
，，
所以，
若方程在有解，
则.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
即，
将上述个式子相乘得，
所以，当时，成立，
故.
（2）证明：由（1）得，
所以，
所以，
即.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法即可求解数列通项公式；
（2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法（裂项相消法的实质是将数列中的每一项(通项)分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，）即可证明.
（1）因为，
所以，
即，
将上述个式子相乘得，
所以，当时，成立，
故.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
即.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）解：依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
【知识点】随机数的含义与应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性（正态分布图像关于对称，其中为正态分布的期望值，且）可求，故可估算年龄不低于60岁的人数.
（2）利用不等式组可求取得最大值时的值.
（1）因为，所以，
则，
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）依题意可得，，
设，
所以，
所以
所以，因为整数，所以，
所以当取得最大值时的值为8．
19．【答案】（1）解：由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函数的单减区间为，单增区间为．
（2）证明：由（1）知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即．
（3）证明：首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数．根据导数正负和函数单调性的关系即可求解函数在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）求出的最小值，化简．构造，根据导数正负和函数单调性的关系判断在（0，+∞）上单调递增，得到，推出结果．
（3）首先证明：当时，恒有．令，则．推出在（0，+∞）上单调递增，得到．利用累加法推出．
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式．
（1）由，得．
又，所以．所以，．
由，得．
所以函数的单减区间为，单增区间为．
（2）由（1）知．
所以，即，．
令，则．
所以在上单调递增，所以，即．
（3）首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则．
由（2）知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则，，．
以上各式相加，有．
所以，
所以，
即．
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