1．（2024高二下·衡阳期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·衡阳期末）若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024高二下·衡阳期末）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．（2024高二下·衡阳期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·衡阳期末）将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ）
A．78 B．92 C．100 D．122
6．（2024高二下·衡阳期末）已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·衡阳期末）如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2024高二下·衡阳期末）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·衡阳期末）下列命题正确的是（ ）
A．数据的分位数为11
B．已知变量的线性回归方程，且，则
C．已知随机变量最大，则的取值为3
D．已知随机变量，则
10．（2024高二下·衡阳期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为
B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为
D．该正八面体结构的内切球表面积为
11．（2024高二下·衡阳期末）“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线C也可看作某一个函数的图象．下列说法正确的有（ ）
A．点在旋轮线C上
B．函数是偶函数
C．函数不是周期函数
D．当时，函数在单调递减
12．（2024高二下·衡阳期末）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
13．（2024高二下·衡阳期末）已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为 .
14．（2024高二下·衡阳期末）已知的内角的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是 .
15．（2024高二下·衡阳期末）已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）当时，，求的取值范围．
16．（2024高二下·衡阳期末）已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
17．（2024高二下·衡阳期末）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
18．（2024高二下·衡阳期末）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
（3）设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
19．（2024高二下·衡阳期末）若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
（1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
（2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
（3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：或，
，
所以.
故选：D.
【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义（交集是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 称为集合A和B的交集）即可得解.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】利用复数的四则运算（加法和减法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相加或相减，结果仍然是一个复数。乘法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相乘，然后按照特定的方式组合，结果也是一个复数）先化简，再求其模长即得.
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
【分析】由条件结合投影向量的定义（投影向量是将一个向量投影到另一个向量上得到的向量）可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
由题意知，
所以，所以，
所以，
则.
故选：D
【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得，再由同角三角函数的平方关系与商关系，即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，
当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.
综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.
故不同的分配方法数是.
故选：C
【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.
6．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：有等差数列可知，，周期，故只需考虑前项的值：，，，，，，
由题意知，这个式子只能取到个不同的值.借助三角函数的定义，
即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值（如图所示），于是集合，
即所有元素乘积为，
故选：A.
【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而可得的周期为，故只需研究前项的值，进而可得解.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为四边形是一个平行四边形，且，如图所示：
可得，即，
由双曲线，可得，渐近线方程为，即，
可得，且，
因为直线，可得，
又因为，所以即，
代入双曲线方程，可得，整理得，
所以，可得，即，
所以离心率.
故选：A.
【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示，
①因为当直线与曲线相切于点时，，
所以当或时，直线与函数的图象恰有一个交点，
当时，直线与函数的图象恰有两个交点，
②当直线与曲线相切时，
设切点为，则，
化简得，解得，或，，
当时，直线与函数的图象恰有一个交点，
当或时，直线与函数的图象恰有两个交点，
当时，直线与函数的图象恰有三个交点，
综上的取值范围是.
故选：C.
【分析】画出函数的图象，数形结合讨论，将零点转换成分段函数与函数 的交点，①当直线与曲线相切于点时，，推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围；②当直线与曲线相切时，设切点为，通过，求出，或，，然后判断求解的范围.
9．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以这组数据的分位数为14，故A错误；
对于，因过点，则有，解得，故B正确；
对于由，其中.
由此时， 递增；
此时，；
此时递减，
故，
即最大时，的取值为 3 或 4，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
【分析】对于A，利用百分位数的定义（ 百分位数的计算方法是将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数）即可求得；对于B，因线性回归方程必经过样本中心点，代入即可求得；对于C，作商，对结果进行分类讨论，从而完成，的大小比较，分析即得；对于D，根据正态分布曲线的对称性易求出即可判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，故选项A正确；
因
故当变为时，变为，此时的值不变
，即，故为偶函数，选项B正确：
因，
所以当变为时，变为，此时的值不变，即，
故函数是周期为的周期函数，故选项错误；
当时，，故函数单调递增，
当时，，当时，，
而在时单调递减，
即当时，随着的增加在内增加，随着的增加而减小，
故在单调递减，选项D正确.
故选：ABD.
【分析】用来可判断A选项；由奇偶性的定义（一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数。一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数）可判断B选项；结合周期函数的定义，变为即可判断C选项；先利用导数判断的单调性，进而求的最大最小值，然后判断的单调性，从而可判断选项.
12．【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由三角形中的射影定理，结合已知条件，可得，
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
【分析】由三角形中的射影定理，结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
13．【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设直线方程为，
因为的周长为，所以，且，
所以，所以椭圆，
联立可得，
所以，所以，
又因为与坐标轴交于，
所以，
取等号时，
所以面积的最小值为，
故答案为：.
【分析】设出直线的方程，根据焦点三角形的周长求解出的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的求解出的关系式，然后表示出面积并结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求解出面积的最小值.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，得，
两边加得，即，
解得，或，
当时，由余弦定理得，而，
则，由为最大边，得为最大角，于是，，因此；
当时，，则，此时为最大角，为最大边，符合题意，
令，则，
由正弦定理得，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】变形给定的等式，结合余弦定理（三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即）求得或，由为最大边，当时求出；当时，利用正弦定理结合三角函数性质求出的范围即得.
15．【答案】解：（1）当时，，
当，时，，，，
在，上单调递增，
，．
（2）当，时，
，
，，，，
当时，，
在，上单调递增，，
，，
的取值范围为，．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，根据的范围可得，再利用导数正负与函数单调性的关系判断函数的单调性，即可求出最值．
（2）先得到，时，，再利用导数求出函数的最小值即得解．
16．【答案】（1）证明：不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）证明，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直）即可得证；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
17．【答案】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【知识点】二项分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
18．【答案】（1）解：由题意得，因为，
所以，
所以
（2）解：设，联立，，
设方程的两根为，则，
因为，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
则的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；
（2）根据弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，参数的取值范围，进而可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；
（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.
（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
19．【答案】（1）证明：由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
（2）证明：设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
（3）解：设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存在等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合等差数列定义（一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差）可得数列是等差数列，结合新定义找到对应的等差数列，使得集合元素的个数不大于；
（2）构造对应函数、，结合所给定义可得集合元素的个数不超过个，即可得证；
（3）借助与的关系，得到当时，，存在等差数列，使元素个数不超过个，即可得证.
（1）由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
（2）设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
（3）设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存在等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
1 / 11．（2024高二下·衡阳期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：或，
，
所以.
故选：D.
【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义（交集是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 称为集合A和B的交集）即可得解.
2．（2024高二下·衡阳期末）若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】利用复数的四则运算（加法和减法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相加或相减，结果仍然是一个复数。乘法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相乘，然后按照特定的方式组合，结果也是一个复数）先化简，再求其模长即得.
3．（2024高二下·衡阳期末）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
【分析】由条件结合投影向量的定义（投影向量是将一个向量投影到另一个向量上得到的向量）可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
4．（2024高二下·衡阳期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
由题意知，
所以，所以，
所以，
则.
故选：D
【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得，再由同角三角函数的平方关系与商关系，即可得到结果.
5．（2024高二下·衡阳期末）将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ）
A．78 B．92 C．100 D．122
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，
当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.
综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.
故不同的分配方法数是.
故选：C
【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.
6．（2024高二下·衡阳期末）已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：有等差数列可知，，周期，故只需考虑前项的值：，，，，，，
由题意知，这个式子只能取到个不同的值.借助三角函数的定义，
即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值（如图所示），于是集合，
即所有元素乘积为，
故选：A.
【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而可得的周期为，故只需研究前项的值，进而可得解.
7．（2024高二下·衡阳期末）如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为四边形是一个平行四边形，且，如图所示：
可得，即，
由双曲线，可得，渐近线方程为，即，
可得，且，
因为直线，可得，
又因为，所以即，
代入双曲线方程，可得，整理得，
所以，可得，即，
所以离心率.
故选：A.
【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解.
8．（2024高二下·衡阳期末）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数的图象如图所示，
①因为当直线与曲线相切于点时，，
所以当或时，直线与函数的图象恰有一个交点，
当时，直线与函数的图象恰有两个交点，
②当直线与曲线相切时，
设切点为，则，
化简得，解得，或，，
当时，直线与函数的图象恰有一个交点，
当或时，直线与函数的图象恰有两个交点，
当时，直线与函数的图象恰有三个交点，
综上的取值范围是.
故选：C.
【分析】画出函数的图象，数形结合讨论，将零点转换成分段函数与函数 的交点，①当直线与曲线相切于点时，，推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围；②当直线与曲线相切时，设切点为，通过，求出，或，，然后判断求解的范围.
9．（2024高二下·衡阳期末）下列命题正确的是（ ）
A．数据的分位数为11
B．已知变量的线性回归方程，且，则
C．已知随机变量最大，则的取值为3
D．已知随机变量，则
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以这组数据的分位数为14，故A错误；
对于，因过点，则有，解得，故B正确；
对于由，其中.
由此时， 递增；
此时，；
此时递减，
故，
即最大时，的取值为 3 或 4，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
【分析】对于A，利用百分位数的定义（ 百分位数的计算方法是将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数）即可求得；对于B，因线性回归方程必经过样本中心点，代入即可求得；对于C，作商，对结果进行分类讨论，从而完成，的大小比较，分析即得；对于D，根据正态分布曲线的对称性易求出即可判断.
10．（2024高二下·衡阳期末）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为
B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为
D．该正八面体结构的内切球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
11．（2024高二下·衡阳期末）“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线C也可看作某一个函数的图象．下列说法正确的有（ ）
A．点在旋轮线C上
B．函数是偶函数
C．函数不是周期函数
D．当时，函数在单调递减
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，故选项A正确；
因
故当变为时，变为，此时的值不变
，即，故为偶函数，选项B正确：
因，
所以当变为时，变为，此时的值不变，即，
故函数是周期为的周期函数，故选项错误；
当时，，故函数单调递增，
当时，，当时，，
而在时单调递减，
即当时，随着的增加在内增加，随着的增加而减小，
故在单调递减，选项D正确.
故选：ABD.
【分析】用来可判断A选项；由奇偶性的定义（一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数。一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数）可判断B选项；结合周期函数的定义，变为即可判断C选项；先利用导数判断的单调性，进而求的最大最小值，然后判断的单调性，从而可判断选项.
12．（2024高二下·衡阳期末）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由三角形中的射影定理，结合已知条件，可得，
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
【分析】由三角形中的射影定理，结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
13．（2024高二下·衡阳期末）已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为 .
【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设直线方程为，
因为的周长为，所以，且，
所以，所以椭圆，
联立可得，
所以，所以，
又因为与坐标轴交于，
所以，
取等号时，
所以面积的最小值为，
故答案为：.
【分析】设出直线的方程，根据焦点三角形的周长求解出的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的求解出的关系式，然后表示出面积并结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求解出面积的最小值.
14．（2024高二下·衡阳期末）已知的内角的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由，得，
两边加得，即，
解得，或，
当时，由余弦定理得，而，
则，由为最大边，得为最大角，于是，，因此；
当时，，则，此时为最大角，为最大边，符合题意，
令，则，
由正弦定理得，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】变形给定的等式，结合余弦定理（三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即）求得或，由为最大边，当时求出；当时，利用正弦定理结合三角函数性质求出的范围即得.
15．（2024高二下·衡阳期末）已知函数．
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】解：（1）当时，，
当，时，，，，
在，上单调递增，
，．
（2）当，时，
，
，，，，
当时，，
在，上单调递增，，
，，
的取值范围为，．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，根据的范围可得，再利用导数正负与函数单调性的关系判断函数的单调性，即可求出最值．
（2）先得到，时，，再利用导数求出函数的最小值即得解．
16．（2024高二下·衡阳期末）已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）证明，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直）即可得证；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
17．（2024高二下·衡阳期末）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【知识点】二项分布；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
18．（2024高二下·衡阳期末）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
（3）设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
【答案】（1）解：由题意得，因为，
所以，
所以
（2）解：设，联立，，
设方程的两根为，则，
因为，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
则的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；
（2）根据弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，参数的取值范围，进而可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；
（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.
（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
19．（2024高二下·衡阳期末）若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
（1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
（2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
（3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
【答案】（1）证明：由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
（2）证明：设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
（3）解：设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存在等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合等差数列定义（一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差）可得数列是等差数列，结合新定义找到对应的等差数列，使得集合元素的个数不大于；
（2）构造对应函数、，结合所给定义可得集合元素的个数不超过个，即可得证；
（3）借助与的关系，得到当时，，存在等差数列，使元素个数不超过个，即可得证.
（1）由，
故，
即，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即，
故存在等差数列，使，
由，故数列有性质；
（2）设对数列，存在等差数列，使，
对数列，存在等差数列，使，
则对数列，存在等差数列，
使的值为，
这样的最多有个，即数列有性质；
（3）设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得，
当时，有
，
由，
故当时，，
当时，，当时，可能有种，
故这样的最多有个，
即存在等差数列，使，
的元素个数不超过个，
故一定存在，使得数列具有性质.
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