数学·必修3(苏教版)
第2章 统计
总体分布的估计
频率分布直方图与折线图
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A．相应各组的频数
B．相应各组的频率
C．组距
D．组数
答案：B
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克，且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75 C．60 D．45
解析：由图可知，产品净重小于100克的频率为(0.100＋0.050)×2＝0.3，因为产品小于100克的个数是36，所以样本容量为36÷0.3＝120，又因为样本中净重大于或等于98克，且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.125＋0.150)×2＝0.75，所以产品个数为0.75×120＝90.
答案：A
3．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如下图所示，若130～140分分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．
解析：总人数＝90÷0.05＝1 800，而90～100分数段人数为：1 800×0.45＝810.
答案：810
4.
从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图)．由图中数据可知a＝________．若要从身高在[ 120 , 130)，[130 ，140), [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为________．
答案：0.030 3
5．某班一次数学测验成绩如下：
63 84 91 53 69 81 61 69 91 78 75
81 80 67 76 81 79 94 61 69 89 70
70 87 81 86 90 88 85 82 67 71 87
75 87 95 53 65 74 77
大部分同学处于哪个分数段？成绩的整体分布情况怎样？
解析：先将成绩按10分的距离分段，统计每个分数段学生出现的频数．
成绩段：49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5
人数：2 9 10 14 5
根据刚才的人数统计绘制直方图与折线图(如下图)：
由图中可以看出：79.5分到89.5分这个分数段的学生人数最多，而90分以上和不及格的学生人数较少．
6．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
解析：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08，又因为频率＝，所以样本容量＝＝＝150.
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为×100%＝88%.
(3)由已知可得，各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．
7．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率．
(2)问参加这次测试的学生人数是多少？
(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
解析：(1)第四小组的频率＝1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.
(2)n＝第一小组的频数÷第一小组的频率＝5÷0.1＝50.
(3)因为0.1×50＝5，0.3×50＝15，0.4×50＝20，
0．2×50＝10.
即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10.
所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．
8．为了了解初中学生的体能情况，从实验中学八年级学生中随机抽取若干名学生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.1米)进行整理后，分成6组，画出频率分布直方图．如下图所示是频率分布直方图的一部分，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第六小组的频数是7.
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)该校参加这次铅球测试的学生有多少人？
(3)若成绩在8.0米以上(含8.0米)的为合格，试求这次铅球测试的合格率；
(4)在这次测试中，你能确定该校参加测试的学生的铅球成绩的中位数落在哪个小组内吗？
解析：(1)由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1，所以第六小组的频率是：1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝1－0.86＝0.14，与第三小组的频率相等，故补充完整的频率分布直方图如下图所示．
(2)由(1)知，第六小组的频率是0.14，已知其频数为7.所以共有＝50(人)；
(3)由频率分布直方图可知，第四、五、六小组的成绩在8.0米以上，其频率之和是0.28＋0.30＋0.14＝0.72，所以这次铅球测试的合格率是72%；
(4)观察频率分布直方图可知中位数落在第四小组内．
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某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是________．
解析：总体人数为28＋54＋81＝163(人)，样本容量为36.若按36∶163取样，无法得到整数解．故考虑先剔除1人，抽样比变为36∶162＝2∶9，则中年人取54×＝12(人)；青年人取81×＝18(人)；先从老年人中剔除1人，老年人取27×＝6(人)．这样组成容量为36的样本．
答案：先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
规律总结：根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种抽样方法的共同点、适用范围和各自特点，恰当选取抽样方法．在抽取样本时，要按照各种抽样方法的步骤进行．三种抽样方法的比较见下表：
类别
共同点
相互联系
适用范围
各自特点
简单随机抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的机会相等(2)抽样过程都是不放回抽样
总体中的个数较少
从总体中逐个抽取
系统抽样
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个数较多
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
分层抽样
每层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
将总体分成几层，分层进行抽取
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1．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的方案：
学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；
学生乙：我给我们小区居民的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；
学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．
请你分析上述3名学生设计的调查方案能够准确地获得小区平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有何建议？
解析：学生甲的方案得到的样本不能够反映不上网的居民的月用水量情况，其所得到的样本代表性差，不能很准确地获得小区平均每户居民的月用水量；
学生乙的方案实际上是普查，花费的人力、物力、时间更多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到小区平均每户居民的月用水量；
学生丙的方案是一种随机抽样法，在所在小区的每户居民都装有电话的前提下，建议采用随机抽样法获得数据，即用学生丙的方案，既节省人力、物力、时间，又可以得到比较精确的结果．
有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5，15.5)6，[15.5，18.5)16，[18.5，21.5)18，[21.5，24.5)22，[24.5，27.5)20，[27.5，30.5)10，[30.5，33.5]8.
(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)；
(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图；
(3)根据累积频率分布估计小于30的数据约占多大百分比．
分析：按照画频率分布直方图的要求操作．
解析：(1)样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
累计频率
12.5～15.5
6
0.06
0.06
15.5～18.5
16
0.16
0.22
18.5～21.5
18
0.18
0.40
21.5～24.5
22
0.22
0.62
24.5～27.5
20
0.20
0.82
27.5～30.5
10
0.10
0.92
30.5～33.5
8
0.08
1.00
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图(1)所示，累积频率分布图如图(2)所示．
(3)在累积频率分布图中找到横坐标为30的点，然后量出这个点的纵坐标约为0.90，这说明小于30的数据约占90%.
规律总结：(1)频率分布表列出的是各个区间内取值的频率；
(2)频率分布直方图是用矩形的面积的大小来表示各个区间内取值的机会的，可直观地看出在各个区间内机会的差异．
用样本估计总体一般分两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征(如平均数、方差等)估计总体的数字特征．
用样本频率分布估计总体的分布就是利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况做出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布我们可以大致估计出总体的分布，但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示；数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便．
?变式训练
2．李老师为了分析期中数学考试情况，从全级1 500人中抽了50人，将分数分为5组，第一组到第三组的频数分别是10，23，11，第四组的频率是0.08，那么落在第五组90～100分的频数是多少？频率是多少？全级学生分数在90～100分的大约有多少人？
解析：第四组的频数为0.08×50＝4，则第五组的频数为50－10－23－11－4＝2，频率为＝0.04，故全级分数在90～100的约有0.04×1 500＝60(人)．
甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
试根据这组数据估计哪一种小麦品种的产量比较稳定．
分析：与样本的稳定和波动有关的数字特征是方差．只需计算方差即可．
解析：甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02，
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24>0.02.
所以，由这组数据可以认为甲种小麦的产量比较稳定．
规律总结：用样本数字特征估计总体的数字特征就是为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征做出估计．众数就是样本数据中出现最多的那个值；中位数就是把样本数据分成相同数目的两部分，其中一部分比这个数小，另一部分比这个数大的那个数；平均数就是所有样本数据的平均值；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式如下：
s＝.
有时也用标准差的平方s2——方差来代替标准差，实质一样．
?
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3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7.现去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________，________．
解析：最高分是9.9，最低分是8.4，去掉后的数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，它们的平均数是：x＝＝9.5，
方差为：s2＝＋
＝0.016.
在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据：
第n年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
城市居民年收入x/亿元
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
某商品销售额y/万元
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
(1)画出散点图；
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．
分析：两个随机变量是否具有线性相关关系有两种方法判断：一是从散点图中直观地看；二是看相关系数r＝，目前以第一种方法进行判断．
解析：(1)散点图如下图：
(2)由(1)知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系．列表：
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
32.3
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
yi
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
xiyi
805
933
1 118.6
1 324.6
1 446.9
1 558
1 638
1 892
2 140.8
2 346
x＝37.97，y＝39.1，
x＝14 663.67，xiyi＝15 202.9
通过计算得：
b＝＝
＝≈1.447，
a＝y－bx＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，
因此所求的回归直线方程是
y^＝1.447x－15.843.
规律总结：(1)分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归直线方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归直线方程．
(2)求回归直线方程的方法及步骤．
①“表格”法的步骤：
a．先把数据制成表，从表中计算出,;
b．计算回归系数a，b.公式为：
c.写出回归直线方程y^=bx＋a.
②利用工作表软件求法的步骤：调状态→输入数据→按键得结果→写出所得方程．
(3)画样本频率分布直方图的步骤：求极差→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．
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4．为了研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
(1)画出散点图；
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程．
解析：(1)画出散点图如下：
(2)从散点图可知，两个变量之间有线性相关关系．
此题中，n＝6，计算可得
xi＝105，xi2＝2 275，yi＝56.92，
xiyi＝1 076.2，从而得x＝17.5，y＝9.487，
计算得b＝0.183，a＝6.285.
于是得到线性回归方程y^＝6.285＋0.183x.
5．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
(1)画散点图；
(2)如果y对x有线性相关关系，求回归方程；
(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内(保留1位小数)?
解析：(1)散点图如下图所示：
(2)由散点图可知，两变量之间具有线性相关关系，列表，计算：
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
xiyi
176
126
96
40
xi2
256
196
144
64
＝12.5，＝8.25，=660，xiyi＝438
设所求回归方程为＝bx＋a，则由上表可得
b＝＝＝＝，a＝－b＝8.25－×12.5＝－，
∴回归方程为＝x－.
(3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14.9转/秒内．
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第2章 统计
抽样方法
2．1.1 简单随机抽样
1．下列调查中，属于简单随机抽样的是( )
A．2014年巴西世界杯运动员的体检
B．袋装牛奶合格率调查
C．汽车站行李安检
D．美国总统的支持率调查
答案：B
2．从某鱼塘中捕得120条鱼，做了记号再放回塘中，经过适当的时间后，再从塘中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼塘中共有鱼的条数为( )
A．1 000 B．1 200 C．130 D．1 300
答案：B
3．从50个产品中随机抽取10个进行检查，则总体个数为________，样本容量为________．
解析：样本容量无单位．
答案：50 10
4．福利彩票的中奖号码是在1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．
解析：由抽样法的特点决定．
答案：抽签法
5．关于简单随机抽样，下列说法中正确的有________．
①当总体中个体数不多时，可以采用简单随机抽样；
②采用简单随机抽样不会产生任何代表性差；
③用随机数表法抽取样本时，读数的方向可以向右，也可以向左、向下、向上等等；
④抽签法抽取样本对每个个体来说都是公平的．
解析：由简单随机抽样法特点决定．
答案：①③④
6．用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a被抽到的可能性是________．
答案：
7．为了解某地普通话水平测试的650名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生成绩是________．
解析：掌握抽样法的有关概念．
答案：样本
8．用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是________，________．
解析：简单随机抽样的特点是每个个体被抽到都是等可能的．
答案：
9．为了了解某班学生的考试合格率，要从该班70名学生中抽取30人进行考察分析，则这次考察的总体数为________，样本容量为________．
解析：掌握总体与个体、样本容量的有关概念．
答案：70 30
10．已知：高三(1)班有50名学生，学号为01～50号，数学老师在上统计课时，运用随机数表法随机提问5名学生．老师首先选定随机数表(见教材附录)中第4行第5组数码(26)，然后依次提问，那么被提问的5名学生是26号，________号，________号，________号，________号．
解析：按随机数表法读数即可．随机数表见教材附录．
答案：27 31 05 03
11．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人．以每人被抽取的可能性为0.2，向该中学抽取一个容量为n的样本，则n等于________．
解析：n＝(400＋320＋280)×0.2＝200.
答案：200
12．1936年，美国著名的《文学摘要》杂志社，为了预测总统候选人罗斯福与兰登两个谁能当选，他们以电话簿上的地址和俱乐部成员名单上的地址发出1 000万封信，收回回信200万封，在调查史上这是少有的样本容量，花费了大量的人力、物力，《文学摘要》相信自己的调查结果，即兰登将以57%对43%的比例获胜，并进行大量宣传，最后选举却是罗斯福以62%对38%的巨大优势获胜，这个调查断送了这家原本颇有名气的杂志社的前程，不久只得关门停刊，试分析这次调查失败的原因．
解析：失败的原因：(1)抽样方法不公平，样本不具有代表性，样本不是从总体(全体美国公民)中随机地抽取的．当年，美国有私人电话和参加俱乐部的家庭都是比较富裕的家庭，1929～1933年的世界经济危机，使美国经济遭到打击，“罗斯福新政”动用行政手段干预经济，损害了部分富人的利益，“喝了富人的血”，但广大的美国人民从中得到了好处，所以，从富人中抽取的样本严重偏离了总体；(2)样本容量相对过小，也是导致估计出现偏差的重要原因，因为样本容量越大，估计才能越准确，发出的信不少，但回收率太低．
课件33张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．1 抽样方法
2．1.1 简单随机抽样情景切入
在进行抽样时，如何做才能满足抽样的随机性和每个个体被抽取机会的均等性呢？下面首先介绍一种最简单、最基本的抽样方法——简单随机抽样． 栏目链接自 主学 习1．一般地，我们把所考查对象的全体叫________，组成总体的每一个________称为个体，从总体中抽取的一部分个体叫________，样本中所含个体的数目叫________．
2．一般地，从元素个数为N的总体中________地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性________，这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做______________．最常用的简单随机抽样的方法有________和_____________两种．总体研究对象样本样本容量不放回相同简单随机样本抽签法随机数表法 栏目链接自 主学 习3．用简单随机抽样的方法从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等，即等于________．
4．用随机数表法从全班60人(男生24人)抽选20人参加社会实践活动，男生甲被抽到的可能性是________．, 栏目链接 栏目链接一、抽签法要 点导 航 1．抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n(n≤N)次，记下号签上的号码，就得到一个容量为n的样本．
2．抽签法简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．但是，当总体中的个体数较多时，将总体“搅拌均匀”就比较困难， 栏目链接要 点导 航会导致抽样的不公平．
3．一般地，用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤为：①将总体中的N个个体编号(号码可以从1到N)；②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽出一个号签，连续抽取n次；⑤将总体中与抽到的号签的编号相一致的n个个体取出． 栏目链接要 点导 航 1．用抽签法抽取样本时，编号的过程有时可以省略(如用已有编号)，但制签的过程就难以省去了，而且，制签也比较麻烦．简化制签过程的一个有效办法就是制作一个表，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表，于是，我们只需按一定的规则到随机数表中选取号码就可以．这种抽样方法叫随机数表法．二、随机数表法 栏目链接要 点导 航 2．用随机数表法抽取样本的步骤是：①将总体中的个体进行编号(每个号码位数一致)；②在随机数表中任选一个数作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过去，如此继续下去，直到取满为止；④根据选定的号码抽取样本． 栏目链接要 点导 航 3．在用随机数表法抽样时会遇到以下问题：要求用题中所给的编号抽取样本，但所给编号位数不一致．这时，可以用以下方法进行调整：①在位数少的数前添加“0”，凑齐位数，如1，2，…，100可调整为001，002，…，100.②把原来的号码加上10的倍数，如1，2，…，100，每个数加10的倍数可调整为101，102，…，200.③把个体重新编号，按新编号抽取完以后，再对应找出原来的号码． 栏目链接要 点导 航 1．一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．当总体中的个体较少时，常用简单随机抽样．它的特点如下：①它要求被抽取样本的总体中的个体数有限．这样，便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．②它是从总体中逐个地进行抽取．这样，便于在抽样实践中进行操作．三、简单随机抽样的概念 栏目链接要 点导 航 ③它是一种不放回抽样．由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．④它是一种机会均等的抽样．不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的机会相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性． 栏目链接要 点导 航 本知识点易错之处：①简单随机抽样定义中的有关概念，如个体、样本、样本容量等易混淆．
②简单随机抽样的特点之四在计算时易出错． 栏目链接典 例剖 析 例1现有关单位要了解新课改体制下的高考及学生的适应情况，决定在课改省市的重点中学进行抽样调查．假设要从某中学的高三年级全体同学450人中随机抽出20人．请用抽签法抽出人选，写出抽取过程． 由于总体数量不大，抽取样本数量小，故可采用抽签法． 栏目链接 抽签法：先把450名同学的学号写在小纸片上，揉成小球，放到一个不透明袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动． 使用抽签法应注意：①个体数不多；②样本容量较小． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．为了解2014年世界杯后各国家队的训练情况，现从32个参赛中选取8个队进行调查，请用抽签法设计抽样方案． 栏目链接典 例剖 析 (1)将32个队编号，分别为1，2，…，32；(2)将这32个号码分别写在相同的32个乒乓球上；(3)将这32个乒乓球放入一个容器中，均匀搅拌，拿出1个乒乓球，记录号码，重复以上过程，直到拿出8个乒乓球．(4)这8个乒乓球的号码就是选出的8个队的号码． 栏目链接典 例剖 析 例2 有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？ 由题目可获取以下主要信息：①要从编号为1，2，3，…，112的112台机器中抽取10台；②每台机器被抽取的可能性相同．
解答本题可采用抽签法和随机数表法． 栏目链接典 例剖 析 解法一：把机器都编上号码001，002，003，…，112，如用抽签法，则把号码写在112个形状、大小相同的号签上，并放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本．
解法二：第一步 将原来的编号调整为001，002，003，…，
112；
第二步 在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如：选第9行第5个数“1”，向右读； 栏目链接典 例剖 析第三步 从“1”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到078，001，096，097，067，031，055，052，014，109；
第四步 对应原来编号078，001，096，097，067，031，055，052，014，109的机器便是要抽取的对象．(此随机数表见教材附录). 栏目链接典 例剖 析 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)随机数表中共随机出现0，1，2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？ 栏目链接典 例剖 析 S1 将元件的编号调整为010，011，…，099，100，…，600.
S2 在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向．比如，选第1行第7个数，向右读．
S3 从选定的数开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到162，332，560，111，410，246.
S4 以上号码对应的6个元件就是要抽取的对象．(此随机数表见教材附录) 栏目链接典 例剖 析 例3下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 栏目链接典 例剖 析 C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 栏目链接典 例剖 析 根据简单随机抽样的特点进行判断．A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C项，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．B 栏目链接典 例剖 析 解答本题时，应关注两个方面的问题：
(1)抽出的样本必须准确地反映总体特征；
(2)操作起来比较方便．
个体和总体未必是有形的实物，具体问题应依据研究的对象来确定何为个体、总体． 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件． 栏目链接典 例剖 析 (1)不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样． 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第2章 统计
2．1 抽样方法
2．1.2 系统抽样
1．从2 009名志愿者中选取50名组成一个志愿团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 009人中剔除9人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行选取，则每人入选的机会( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等 D．无法确定
答案：C
2．为了解3 600名学生对学校食堂的意见，打算从中抽取一个容量为90的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为( )
A．40 B．30 C．20 D．12
答案：A
3．系统抽样适用的总体应是( )
A．容量较少的总体
B．个体差异较大的总体
C．个体数较多但均衡的总体
D．任何总体
答案：C
4．某厂将在64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2014年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中另外一个员工的编号是________．
解析：采用系统抽样，将64名员工平均分成4段，每段16名，因为8号、24号、56号在样本中，故可推出8号、24号、56号是从第1，2，4段中抽取的，则从第3段中抽取的号码是8＋2×16＝40.
答案：40
5．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解析：(1)先把这253名学生编号001，002，…，253.
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．
(3)把余下的250名学生重新编号1，2，3，…，250.
(4)分段，取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生．
(5)从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．
6．(2014·湘潭调研)某大学有教师1 001人，中层以上领导干部20人，现抽取教师40人，中层以上领导干部4人组成代表队参加活动，应怎样抽取？
解析：教师1 001人抽取40人，适宜用系统抽样；中层以上领导20人抽取4人，适宜用抽签法．
(1)将1 001名教师用随机方式编号．
(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)将剩下的1 000名教师重新编号(分别为0001，0002，…，1 000)，并平均分成40段，其中一段包含＝25个个体．
(3)在第一段0001，0002，…，0025，这25个编号中用简单随机抽样抽出一个(如0003)作为起始号码．
(4)将编号为0003，0028，0053，…，0978的个体抽出．
(5)将20名中层以上领导用随机方式编号，编号为01，02，…，20.
(6)将这20个号码分别写在一个大小、形状相同小纸条上，揉成小球，制成号签．
(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌．
(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出，以上两类方法得到的个体便是代表队成员．
7．下列抽样中不是系统抽样的是________(填序号)．
①从标有1～15号的15个球中，任选3个作为样本．按从小号到大号排序，随机选起始号i0以后i0＋5，i0＋10(超过15则再从1数起)号作样本；
②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔三分钟抽一件产品进行检验；
③搞某一市场调查，规定在商场门口随机找一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止；
④在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈．
解析：样本总体不确定，抽样的方法不能保证每个个体按事先规定的等可能性入样．
答案：③
8．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是______(填序号)．
①从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动；
②一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本；
③从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况；
④从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况．
解析：当总体中的个体数较多，样本中的个体数也较多时最好用系统抽样．此时用简单随机抽样较麻烦．
答案：③
9．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析：因为m＝8，k＝8，则m＋k＝16，个位为6，又在第8组中，所以此号码为76.
答案：76
10．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，现打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法将总体分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．
解析：总体中共有1 000个个体，样本容量为50，分段间隔1 000÷50＝20，在第一部分抽取的是0015，第40个号码是39×20＋0015＝0795.
答案：0795
11．某种福利彩票有1 000个有机会中奖的号码(设号码为000～999)，有关机构按随机抽取的方式确定最后两位数为36的号码为中奖号码．试分别写出10个中奖号码．
解析：(1)把1 000个号码分成10组．
(2)第一组选036，根据系统抽样，各号码依次为036，136，236，336，436，536，636，736，836，936.
12．下面给出某村委会调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题．
本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人．
应抽户数：30.
抽样间隔：＝40.
确定随机数字：取一张人民币，编号后两位数为12.
确定第一样本户：编号12的户为第一样本户．
确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户．
……
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程存在哪些问题？试修改．
(3)何处是用简单随机抽样？
解析：(1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔：＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．
(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位数为2.
课件29张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．1 抽样方法
2．1.2 系统抽样 情景切入
实际抽样中往往要考察容量很大的总体，例如某省农村家庭的年平均收入状况，某电视机厂生产的某种型号的电视机的质量是否合格．这时样本容量越大越能更好地反映总体特征，但工作量也随之增大．当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事．这时，我们采取新的抽样方法——系统抽样．1．理解系统抽样的概念，系统抽样和简单随机抽样的关系．
2．掌握系统抽样的一般步骤，会用系统抽样在总体中抽取样本． 栏目链接自 主学 习1．系统抽样被称为________，它按照时间或空间________抽取样本，即将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分_______________，得到所需要的样本．系统抽样与简单随机抽样的联系在于：对将总体均分的每一部分进行抽样时，采用的是________．
2．用系统抽样从a1，a2，…，a2 015中抽取5个作为样本，样本容量为______，间隔为______．, 栏目链接等距抽样等距间隔抽取一个个体简单随机抽样5403 栏目链接一、系统抽样要 点导 航 栏目链接要 点导 航 3．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．
4．由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样．在进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便．
5．在系统抽样中，如果总体中的个体数正好能被样本容量整除，则可用它们的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能被整除，则可 栏目链接要 点导 航 用简单随机抽样的方法从总体中剔除若干个个体，其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数．然后再编号、分段、确定第1段的起始号，继而确定整个样本．在上述过程中，因为总体中的每个个体被剔除的机会相等，也就是每个个体不被剔除的机会相等，所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会仍然相等． 栏目链接要 点导 航二、系统抽样的步骤 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 (2)系统抽样与简单随机抽样的区别与联系： 栏目链接要 点导 航 面对实际问题，能准确地选择一种合理的抽样方法，对初学者来说至关重要．可采用以下原则：①当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法(也可用随机数表法)；②当总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法；③当总体容量较大，样本容量也较大时也可用系统抽样法． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为________．40 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．某工厂生产的产品，用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔3分钟从传送带上的特定位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是________． 栏目链接系统抽样典 例剖 析 例2 某单位有在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取68名工人进行调查．如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 栏目链接典 例剖 析 ∵624＝68×9＋12，
∴为保证“等距”分段，应先剔除12人．
S1 将624名职工用随机方式编号；
S2 从总体中剔除12人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的612名职工重新编号(分别为000，001，002，…，611)，并分成68段；
S3 在第一段000，001，002，…，008这九个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号码；
S4 将编号为003，012，021，…，606的个体抽出，组成样本． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．某校高中三年级有学生962名，为了了解学生的某些情况，按1∶8的比例抽取一个样本，用系统抽样方法进行抽取，并写出过程． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例3某制罐厂每小时生产易拉罐10 000个，每天生产时间为12小时，为了保证产品的合格率，每隔一段时间要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天共抽取1 200个进行检测，请你设计一个抽样方案．若工厂规定每天共抽取980个进行检测呢？ 因为总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法抽样． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 系统抽样分组时，对多余个体的剔除不影响抽样的公平性． 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．从已编号的1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选5枚导弹的编号可能是( )
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，4，6，16，32 栏目链接典 例剖 析 栏目链接B数学·必修3(苏教版)
第2章 统计
2．1 抽样方法
2．1.3 分层抽样
1．某大学共有本科生10 000人，其中一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生为( )
A．160人 B．80人
C．120人 D．40人
答案：D
2．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )
A．都是从总体中逐个抽取
B．将总体分成几部分，按事先规定的要求在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同
D．将总体分成几层，分层进行抽取
答案：C
3．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是________．
解析：依据概念，区分三种抽样．
答案：系统抽样
4．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为________．
解析：对应设x，y，z，由＝＝＝，可直接求出．
答案：15，10，20
5．某公司有2 000名员工，其中高层管理人员占5%，属于高收入者；中层管理人员占15%，属于中等收入者；一般员工占80%，属于低收入者，现对该公司员工的收入情况进行调查，拟调查10%的员工，应当怎样进行抽样？
解析：按收入水平分层，2 000×10%＝200(人)，200×5%＝10(人)，200×15%＝30(人)，200×80%＝160(人)，故应从高层管理人员中抽取10人，从中层管理人员中抽取30人，从一般员工中抽取160人，再对这200人的收入调查．
6．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
解析：总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程师人数为×6＝人，技术人员人数为×12＝人，技工人数为×18＝人，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
7．对某单位1 000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限
人数
5年以下
300
5～10年
500
10年以上
200
试利用上述资料，设计一个抽样比为的抽样方法．
解析：因为抽样比为，
故只需从1 000人中抽取1 000×＝100(人)．
故从任职5年以下的人中抽取300×＝30(人)；
任职5～10年的人中抽取500×＝50(人)；
任职10年以上的人中抽取200×＝20(人)．
8．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A．8 B．6 C．3 D．30
解析：分层抽样中每个个体被抽到的可能性相等，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是×(10＋20)＝6.
答案：B
9．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②，③都不能为系统抽样
B．②，④都不能为分层抽样
C．①，④都可能为系统抽样
D．①，③都可能为分层抽样
解析：本题主要考查系统抽样及分层抽样的概念．
答案：D
10．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．
解析：由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．
答案：分层抽样法
11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴儿奶粉的品牌数是7，则n＝________．
答案：20
12．某校高一、高二和高三年级学生数分别为n1，n2，n3，为了解学生视力情况，现用分层抽样抽取容量为n0的样本，则在高一抽的人数占高一总人数的比例是________．
答案：
13．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分别在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
小计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
小计
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽取？
(2)若要开一个25人参加的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查市民对北京奥运会筹备情况的了解，则应怎样抽取？
解析：要达到什么样的目的，就应该考虑怎样抽取样本才具有合理公正性，这就涉及如何使用恰当的抽样方法．
(1)因为身体状况主要与年龄有关，所以可以按老年、中年、青年分层抽样法进行抽样，要抽取40人，可以在老年、中年、青年职工中分别抽取4、12、24人．
(2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门，所以可以按部门分层抽样的方法进行抽样，要抽取25人，可以在管理、技术开发、营销和生产各部门的职工中分别随机抽取2、4、6、13人．
(3)因为对北京奥运会筹备情况的了解与年龄、部门关系不大，所以可以用系统抽样或简单随机抽样的方法抽取样本．
14．中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面是三名同学为电视台设计的调查方案．
同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计出收视率了．
同学B：我给我们居民小区的每一位住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．
同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．
请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？
解析：调查的总体是所有可能看电视的人群．
学生A的设计方案考虑的人群是：上网而且登陆某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登陆某网址的人群就被排除在外了．因此A方案抽取的样本的代表性差．
学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性．因此B方案抽取的样本的代表性差．
学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性．因此C方案抽取的样本的代表性差．
所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．
课件24张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．1 抽样方法
2．1.3 分层抽样情景切入
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本能更好地反映总体的情况，应当分别兼顾这几个部分，采取新的抽样方法——分层抽样．1．理解分层抽样的概念，能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并能选择适当的方法进行抽样．
2．掌握分层抽样的步骤． 栏目链接自 主学 习1．当总体中的几部分个体有______________________时，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做____，在各层中按层在总体中所占的______进行__________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是________的．
2．放回抽样：
________________________________________________________________________；明显的差异且易于区别层比例简单随机相等系统在抽样中，如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样 栏目链接自 主学 习不放回抽样：
________________________________________________________________________.
3．分层抽样时每个层次抽取的个体数量是按____ _______________________________进行抽取的．,在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，
称这样的抽样为不放回抽样各组个体数量在总体上的比例 栏目链接 栏目链接一、分层抽样的概念要 点导 航 1．分层抽样的前提条件：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体在总体上所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，只要分层恰当，一般说来抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况．
2．分层抽样的公平性：分层抽样是将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一部分个体，得到所需 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 3．分层抽样的优点：使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的抽样法．
注意 分层标准要一致，层与层之间互不重叠，分层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样． 栏目链接要 点导 航二、分层抽样的步骤 栏目链接要 点导 航本知识点易错之处：利用抽样比计算各层所抽取的个体数时，容易出错，理解且解决的关键是认真阅读知识点一中的“分层抽样的公平性”． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适________．分层抽样总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．分层抽样 栏目链接典 例剖 析 认真分析题意，根据总体特征选择正确的抽样方法．
注意三种抽样方法的联系与区别，抓住三种抽样的共同和不同之处． 栏目链接典 例剖 析 例2 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有140人，40岁及40岁以上的有350人．为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个样本容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在40岁及40岁以上的教师中应抽取的人数是________． 栏目链接典 例剖 析50人 根据题意，保证每名教师被抽取的几率都相等． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．某学校有在编人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人，教育部门为了了解学校机构改变意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例3某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数见下表：电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？ 栏目链接典 例剖 析 因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样法，而以分层抽样法为妥． 栏目链接典 例剖 析 此题宜采取分层抽样法获取样本，这是因为此题情景符合分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本．则应该从所有学生中剔除________人，从高一，高二，高三年级中分别抽取的人数是______________．280、60、50 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第2章 统计
总体分布的估计
2．2.1 频率分布表
1．一个样本如下：
78 80 81 81 72 77 89 90 92 85
则这个样本的极差是( )
A．72 B．92 C．7 D．20
答案：D
2．一个容量为20的样本数据，将其分组如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
数量
2
3
4
5
4
2
则样本在区间(－∞，50)上的频率为( )
A．0.5 B．0.25 C．0.6 D．0.7
答案：D
3．一个容量为100的样本，数据的分组和各组的一些相关信息如下：
分组
频数
频率
[12，15)
6
[15，18)
0.08
[18，21)
0.16
[21，24)
21
[24，27)
0.18
[27，30)
16
[30，33)
0.10
[33，36]
合计
100
1.00
完成上面的表格．
解析：补全后的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12，15)
6
0.06
[15，18)
8
0.08
[18，21)
16
0.16
[21，24)
21
0.21
[24，27)
18
0.18
[27，30)
16
0.16
[30，33)
10
0.10
[33，36]
5
0.05
合计
100
1.00
4．一个容量为20的样本数据，分组后，各组与其对应的频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2.则样本中的区间[30，50)上的频率为________．
解析：[30，50)的频数为4＋5＝9，∴频率为9÷20＝45%.
答案：45%
5．某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：千克)：
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57
56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 55
54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52
51 51 51 50 50 49 48
列出样本的频率分布表．
．解析：(1)计算全距61－48＝13；
(2)决定组距与组数，取组距为2.
∵＝6，∴共分7组．
(3)决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第1组的分点减小0.5，即分成如下7组：[47.5，49.5)，[49.5，51.5)，[51.5，53.5)，[53.5，55.5)，[55.5，57.5)，[57.5，59.5)，[59.5，61.5]．
(4)列出频率分布表如下：
分组
频数累计
频数
频率
[47.5，49.5)
2
2
0.05
[49.5，51.5)
7
5
0.125
[51.5，53.5)
14
7
0.175
[53.5，55.5)
23
9
0.225
[55.5，57.5)
33
10
0.25
[57.5，59.5)
38
5
0.125
[59.5，61.5]
40
2
0.05
合计
40
1.00
6.5
6．一个容量为20的样本，已知某组的频率是0.25，则该组的频数为________．
7．为了估计某人的射击技术状况，在他的训练记录中抽取了50次进行检验，他的命中环数如下：
7 8 6 9 6 5 9 10 7 8
5 6 5 6 7 8 7 9 10 9
8 5 7 8 7 6 8 6 7 7
9 6 5 8 6 9 6 8 10 7
8 7 8 6 9 8 7 10 8 9
(1)作出频率分布表；
(2)估计该人命中6～8环的百分比是多少．
．解析：(1)频率分布表如下：
环数
频数
频率
5
5
0.10
6
10
0.20
7
11
0.22
8
12
0.24
9
8
0.16
10
4
0.08
(2)由频率分布表知：0.20＋0.22＋0.24＝0.66，知该人命中6～8环的百分比为66%.
8．某电信部门执行的新的电话收费标准中，其中本地网营业区内的通话费标准是：前3分钟为0.20元(不足3分钟按3分钟计算)，以后的每分钟收0.10元(不足1分钟按1分钟计算)．在一次实习作业中，某同学调查了A、B、C、D、E五人某天拨打的本地网营业区内的电话通话时间情况，其原始数据如下表所示：
A
B
C
D
E
第一次通话时间
3分
3分45秒
3分55秒
3分20秒
6分
第二次通话时间
0分
4分
3分40秒
4分50秒
0分
第三次通话时间
0分
0分
5分
2分
0分
应缴话费/元
(1)在上表中填写出个人应缴的话费．
(2)设通话时间为t分钟，试根据上表完成下表的填写(即这五人在这一天内的通话情况统计表)：
时间段
频数
频率
累计频率
02
0.2
0.2
345合计
(3)若该本地网营业区原来执行的电话收费标准是：每3分钟为0.20元(不足3分钟按3分钟计算)．问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比，是增多了还是减少了？增或减了多少？
解析：(1)如下表：
A
B
C
D
E
第一次通话时间
3分
3分45秒
3分55秒
3分20秒
6分
第二次通话时间
0分
4分
3分40秒
4分50秒
0分
第三次通话时间
0分
0分
5分
2分
0分
应缴话费/元
0.20
0.6
1.00
0.90
0.50
(2)统计表如下：
时间段
频数
频率
累计频率
02
0.2
0.2
35
0.5
0.7
42
0.2
0.9
51
0.1
1
合计
10
1
1
(3)设这五人这天的实际平均通话费为x1元，按原收费标准算出的平均通话费为x2元，则x1＝(0.2＋0.6＋1.00＋0.9＋0.5)＝0.64(元)，
x2＝(0.2＋4×0.2＋6×0.2＋5×0.2＋2×0.2)＝0.72(元)，
x2－x1＝0.08(元)，
即这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比，减少了0.08元．
课件29张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．2 总体分布的估计
2．2.1 频率分布表情景切入
用随机抽样的方法在总体中抽取样本，我们就得到一组数据．然后，对这组数据进行概括和整理，想了解总体的什么特性，就画出与之相应的统计图(或列统计表)．但是，当一个总体容量很大，从总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个数字中直接看出样本所包含的信息．如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征．
把大量的数据进行概括和整理的过程，有两个问题：概括的方向和整理的速度．把数据形成频数分布是概括的方向之一，整理的速度快与慢是技术性的，你是否想到用计算机编程解决呢？1．了解频率分布的意义和作用．
2．掌握频率分布表的编制及其应用． 栏目链接自 主学 习1．频数是指落在各个小组内数据的________，频率是指________与______________的比值．
2．反映________频率分布的表格称为频率分布表．
3．编制频率分布表的步骤：(1)求全距，决定________和________，(2)分组，通常对组内数值所在区间取_______________，最后一组取________，(3)登记频数，计算________，列出________．个数频数数据总个数总体组数组距左闭右开区间闭区间频率频率分布表 栏目链接自 主学 习4．全距也叫________，它实际上是所取的全部样本数据中__ ________ ______的差．,极差最大值与最小值 栏目链接 栏目链接一、频率分布表要 点导 航 一般地，当总体很大或者不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
注意 (1)用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布去估计总体分布，因此不能认为样本的分布状态就是总体的分布状态，这里可能会有误差，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确． 栏目链接要 点导 航(2)初中已经学习过频率分布表，它介绍了抛掷硬币的试验，由于这个试验比较简单，它的结果只有两种，因此频率分布表比较简单，我们现在所研究的是比较复杂的频率分布表． 栏目链接要 点导 航二、频率分布表的编制 栏目链接要 点导 航 (2)“组距”的大小由所分的组数来确定，这根据实际需要来确定．组数分得过多或过少，都不利于制作频率分布表，更主要的是不利于通过样本的分布状态估计总体，所以应选择合适的组数．
(3)如果取全距时不利于分组(如不能被组数整除)，可以适当地增大全距，如在左右两端各增加适当的范围(尽量使两端增加的量相同)． 栏目链接要 点导 航(4)除最后边的区间是闭区间外，其他区间都是左闭右开区间．一般称区间的左端点为下组限，右端点为上组限，本书均采用下组限在内而上组限不在内的分组方法． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1连续抛掷一个骰子120次，得到1，2，3，4，5，6点的次数各为18，19，21，22，20，20.
列出样本的频率分布表． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累计频率)；
(2)估计成绩在[60，90)分的学生比例；
(3)估计成绩在85分以下的学生比例． 栏目链接典 例剖 析(1)频率分布表如下： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例2 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5～18岁的男生的体重情况，结果如下(单位：kg)： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 试根据上述数据画出样本的频率分布表，并对相应的总体分布作出估计．. 确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点． 按照下列步骤获得样本的频率分布．
(1)找最大值与最小值的差：
在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差(又称为全距)是76－55＝21.
(2)确定组距与组数： 栏目链接典 例剖 析如果将组距定为2，那么由21÷2＝10.5，组数为11，这个组数适合，于是组距为2，组数为11.
(3)决定分点：
根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，由于规定分组的区间是“左闭右开”的，这样所得到的分组是[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，…，[74.5，76.5]．
(4)列频率分布表如下： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析（续上表） 栏目链接典 例剖 析 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功．
列出频率分布表，就可以从“频数”栏目知道数据落在各个小组的个数，也可以从每一组的频率，知道数据落在各个小组的比例大小． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件．
(1)作出样本的频率分布表；
(2)根据上述结果，估计此产品为二级品或三级品的百分比约是多少？ 栏目链接典 例剖 析(1)样品的频率分布表为： 栏目链接课件35张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．2 总体分布的估计
2．2.2 频率分布直方图与折线图 当我们把样本从总体中抽出来后，可以通过频率分布表对样本进行分析，频率分布直方图和折线图也可以对样本进行分析，而且频率分布直方图更能直观地体现数据的分布规律．1．了解频率分布直方图与折线图的特征．
2．掌握频率分布直方图与折线图的画法及其应用． 栏目链接自 主学 习1．作频率分布直方图的步骤为：(1)计算全距，即___ ___________________________；(2)__________；(3)__________；(4)列____________________；(5)绘制______________________．
2．频率分布直方图中，______________＝组距×＝频率，即以________的形式反映了数据落在各小组内的________的大小，各小长方形的面积之和等于________．一组数据的最大值与最小值的差决定组数与组距决定分点频率分布表频率分布直方图小长方形面积面积 频率1 栏目链接自 主学 习3．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到_______________．一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小，随着样本容量的增加，作图时所分的________也在增加，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做______________，它反映了一个总体____ ________ ____的规律．,频率分布折线图组数总体密度曲线在各个区域内取值 栏目链接 栏目链接一、频率分布直方图要 点导 航 频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图．
(1)频率分布直方图的绘制方法与步骤．
S1 先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
S2 把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距．
S3 在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 注意 同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的图的形状也会不同．不同的形状给人的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断；同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同．但是，它们都可以近似地看作总体的分布．
(2)频率分布直方图的特点：从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出 栏目链接要 点导 航所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
注意 (1)为方便起见，组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，要适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程，将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航二、频率分布折线图 1．频率分布折线图：把频率分布直方图各个长方形上边中点用线连接起来，就得到频率分布折线图．为了方便看图，一般习惯把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际的意义．如下图所示的频率分布折线图． 栏目链接要 点导 航 2．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．
3．频率分布与总体分布：(1)总体密度曲线反映了一个总体在各个区域内取值的规律，它能给我们提供 栏目链接要 点导 航更加精细的信息．总体在某一区间取值的百分比就是该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积．
(2)总体密度曲线通常都是由样本的频率分布估计出来的．这是因为：①并非所有的总体都存在密度曲线，如一些离散型总体；②尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样被准确地画出来，我们只能用它进行估计．一般说来，样本容量越大，这种估计就越精确． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料(单位：cm)： 栏目链接典 例剖 析(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)求身高小于142 cm的人数占总人数的百分比．
分析：先列出频率分布表，画出直方图，然后估计身高小于142 cm人数占总人数的百分比． 栏目链接典 例剖 析(1)频率分布表如下： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析(2)频率分布直方图如下图所示： 栏目链接典 例剖 析 频率分布表中的前两列数据题目已经给出，即分组与每组所对应的频数．根据这些数，我们可求每组所对应的频率，频率等于每组的频数与男孩总数之商，画频率分布直方图，还需要一组数据，即频率/组距．频率分布直方图的纵轴上的数据，可先标出最大值，为好计算也可标出比最大的频率/组距还大一点的数，然后再依次平分即可，不要从最小开始标，那样可能会要不断地接纵轴或画的纵轴太长需擦去，致使整个图象比例不协调． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．(2014·南宁模拟)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如下图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题： 栏目链接典 例剖 析 (1)本次活动共有多少件产品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组中哪组获奖率较高？ 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例3已知50个数据的分组以及各组的频数如下：
153．5～155.5 2 161.5～163.5 10
155．5～157.5 7 163.5～165.5 6
157．5～159.5 9 165.5～167.5 4
159．5～161.5 11 167.5～169.5 1
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图． 栏目链接典 例剖 析此题按照频率分布直方图的绘制步骤解决即可．(1)频率分布表如下： 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 连接频率分布直方图的各个小长方形上边中点就得到频率分布折线图．(2)频率分布直方图和频率分布折线图如下图所示． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组如下：
[10.75，10.85)，3；[10.85，10.95)，9；[10.95，11.05)，13；[11.05，11.15)，16；[11.15，11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35，11.45)，7；[11.45，11.55)，4；[11.55，11.65]，2.
(1)列出频率分布表； 栏目链接典 例剖 析(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
(3)根据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是多大？ 栏目链接典 例剖 析(1)频率分布表如下： 栏目链接典 例剖 析(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图． (3)由上述图表可知，数据落在[10.95，11.35)范围内的频率为0.13＋0.16＋0.26＋0.20＝0.75＝75%，即数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是75%. 栏目链接数学·必修3(苏教版)
第2章 统计
2.2总体分布的估计
2．2.3 茎 叶 图
1．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知甲、乙两人得分最大值和为________．
答案：103
2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听说测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数为12，则x，y的值为( )
A．12，13 B．13，12
C．13，13 D．13，14
答案：C
3．为了了解中年知识分子在知识分子中的比例，对某单位全体知识分子的年龄进行了登记，结果如下(单位：岁)：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，47，46，58.
列出样本的频率分布表及茎叶图，并计算36～52岁的知识分子所占的比例．
解析：最大值为67，最小值为28，全距为67－28＝39，分为10组，组距为4，频率分布表如下：
分组
频数
频率
[28，32)
3
0.06
[32，36)
1
0.02
[36，40)
7
0.14
[40，44)
7
0.14
[44，48)
13
0.26
[48，52)
6
0.12
[52，56)
5
0.10
[56，60)
4
0.08
[60，64)
2
0.04
[64，68]
2
0.04
用茎叶图表示为：
2
8 9 9
3
4 6 7 7 7 8 9 9
4
0 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9
5
0 0 1 2 3 3 4 4 7 8 9 9
6
2 3 5 7
从以上可以看出用频率分布表中的数据易得36～52岁的知识分子所占的比例为0.14＋0.14＋0.26＋0.12＝0.66.
4．名著《简·爱》的中英文版中，第一节部分内容每句话所含单词(字)数如下：
英文句子所含单词数：10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；
中文句子所含字数：11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.
(1)作出这些数据的茎叶图．
(2)比较茎叶图，你能得到什么结论？
解析：(1)茎叶图如下图所示．
英文句子所含单词数 中文句子所含字数
9
0
7 9
1 0 0
1
1 1 7 8
3 1
2
0
1 0
3
3 6 7
0
4
5
6 2
5
1
6
3
9
7
1 5 9
8
7
(2)从这个茎叶图看，英文句子所含单词数与中文句子所含字数都分布得比较分散，总的看来，每句话所含的字(单词)数差别较大，但因为数量较少，不能给出较有把握的结论．
5．(2014·湛江调研)某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下(单位：分)：
甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解析：用中间的
数字表示两位同学得分的十位数字和百位数字，两边的数字分别表示两人每场数学考试成绩的个位数字．
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示，从这个茎叶图中可以看出，乙同学的得分情况大致是对称的，集中在90多分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，集中在80多分，因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
6．某同学每天下午打半小时篮球，她把每天进球的情况都记了下来．下面是她从2009年3月12日至4月10日每天打球时进球的记录：
23 15 18 15 17 31 21 17 31 18 14 17 16 18 13 18 41 19 19 32 17 18 41 67 52 71 61 80 81 78
请根据这批数据绘制出茎叶图来反映这30天中的进球情况．
解析：如下图所示.
1
3 4 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9
2
1 3
3
1 1 2
4
1 1
5
2
6
1 7
7
1 8
8
0 1
7．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454；
品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430.
(1)作出品种A、B亩产量数据的茎叶图．
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
解析：(1)茎叶图如下图所示．
(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布情况，而且还可以看出每组中的具体数据．
(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均亩产量为411.08千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在其平均亩产量附近．
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2．2 总体分布的估计
2．2.3 茎 叶 图情景切入
除了前面讲过的几种图、表能帮助我们理解样本数据外，统计中还有一种被用来表示数据的图，它是一种将样本数据有条理地一一列出来，从中观察样本分布情况的图．.了解茎叶图的特征
.掌握茎叶图的画法及应用 栏目链接自 主学 习1．统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图．制作茎叶图的方法：将所有两位数的十位数字作为________，个位数字作为叶，茎按______________从上向下列出，其茎的叶一般按______________________的顺序同行列出．
2．当数据是三位有效数字时，以________为茎，________为叶画茎叶图．,茎从小到大的顺序从大到小(或从小到大)前两位数末位数 栏目链接 栏目链接茎叶图要 点导 航将数据有条理地列出来，从中观察数据的分布情况，这种方法就是画出数据的茎叶图．制作茎叶图的思路是将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面，这样就可以清楚地看到每个主杆后面有几个数，每个数具体是多少．
茎叶图中的茎是“叶”的上一级单位，右边的是数组中的变化位，它是按照一定的间隔将数组中的每个变化 栏目链接要 点导 航的数一一列出来，像一条枝上抽出的叶子一样，所以人们形象地叫它茎叶图．
茎叶图既可以分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．
茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录与表示．但茎叶图表示三位数以上的数据时不够方便，一般要通过专业的软件来帮助处理． 栏目链接要 点导 航 注意 (1)茎叶图可以展示未分组的原始数据，这与频率分布表以及频率分布直方图不同．
(2)茎叶图由“茎”和“叶”两部分组成，绘制茎叶图的关键是设计好树茎，通常是以该组数据的高位数值作为树茎，树茎一经确定，树叶就自然地长在相应的树茎上了． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数，请设计适当的茎叶图表示这组数据，并由图出发说明一下这个车间此日的生产情况．
134 112 117 126 128 124 122 116 113 107 116 132 127 128 126 121 120 118 108 110 133 130 124 116 117 123 122 120 112 112 栏目链接典 例剖 析 对于三位数的情况，以前两位数为茎，个位数为叶，可以作出相应的茎叶图，从而可据图分析数据的特征．茎叶图如下图：
百位 十位 个位 栏目链接典 例剖 析 该生产车间的工人加工零件数大多都在110到130之间，且分布较对称、集中，说明此车间日生产情况稳定． 茎叶图中当所给的数据超过两位数时，常以个位数为叶，其余的十位数、百位数等为茎． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录上午8：00～11：00间各自的销售情况如下(单位：元)：
甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41；
乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23.
你能用适当的统计图表示上面的数据吗？ 栏目链接典 例剖 析 如图所示的茎叶图中，中间的数字表示甲、乙两城市自动售货机销售额的十位数，两边的数字分别表示它们的个位数．
甲 乙 栏目链接典 例剖 析 例2在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子中所含的字的个数如下：
10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，15，22，11，24，27，17.
在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字的个数如下：
27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，35，12，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22. 栏目链接典 例剖 析(1)将这两组数据用茎叶图表示．
(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？ 作茎叶图先确定中间数取数据的哪几位，填写数据时边读边填，无需按大小排列．
比较时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来比较． 栏目链接典 例剖 析(1)茎叶图如下图所示．
电脑杂志 报纸文章 栏目链接典 例剖 析(2)如上图，电脑杂志上每个句子的字数大多集中在10～30之间，中位数为22.5；而报纸上每个句子的字数大多集中在20～40之间，中位数为27.5.可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少，说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明． 栏目链接典 例剖 析 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况如下：
甲的得分：12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50
乙的得分：8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51
试作出两名运动员成绩的茎叶分布图，并对他们的成绩进行比较． 栏目链接典 例剖 析两人得分的茎叶图如下：
甲 乙 栏目链接典 例剖 析 从这个茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分、众数及中位数都是30多分；乙运动员的得分除一个51分外，也大致对称，平均得分、众数及中位数都是20多分，因此甲运动员发挥得比乙运动员稳定，总体得分情况比乙好． 栏目链接数学·必修3(苏教版)
统计
2．3 总体特征数的估计
2．3.1 平均数及其估计
1．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中位数为22，则x＝( )
A．21 B．15 C．22 D．35
解析：由题意得：＝22，
解得x＝21.
答案：A
2．已知一组数据8，5，14，x，10，13，且这组数据的平均数是10，那么这组数据的众数是( )
A．7 B．6 C．4 D．10
解析：∵＝10，
∴x＝10，故众数为10.
答案：D
3．某公司5位职员的年薪如下：5万，4万，3.2万，4万，6万，则这5人的年薪的中位数是________万，平均数是________万，众数是________万．
解析：根据定义求解．
答案：4 4.44 4
4．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则数据3x1－4y1＋1，3x2－4y2＋1，…，3xn－4yn＋1的平均数是________．
解析：∵＝，
＝
∴＝3·－4·＋1＝3－4＋1.
答案：3－4＋1
5．某公司的33名人员的月工资如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
(元)
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数(精确到元)；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么(精确到元)?
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
解析：(1)平均数是＝(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)平均数是＇＝(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．
6．甲、乙两人同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同)，甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为每千克x元，第二次购买粮食的单价为每千克y元，求：
(1)甲、乙两次购买粮食的平均单价各为多少？
(2)谁两次购粮的平均单价比较低？
解析：(1)根据题意，甲两次购粮分别用去100x元、100y元，乙两次购粮的数量为千克和千克．
∴甲两次购粮的平均单价为＝，
乙两次购粮的平均单价为＝.
(2)－＝＝.
∵x>0，y>0，∴x＋y>0.
又由已知x≠y，
∴(x－y)2>0.∴>0.∴>.
∴乙两次购粮的平均单价比较低．
7．为了发展，某公司新开发了10个项目．其中一个项目投资为200万，另外9个项目均在2万与30万之间．经分析，中位数是20万，平均数是35万，众数是4万，你会选择哪种数字特征表示这批项目的投资？为什么？
解析：选择平均数较合适．平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．从而对总投资资金更有代表性、更有说服力．
8．某次测试共3道题，每道题一分，全班得3分、2分、1分、和0分的学生所占比例分别30%，50%，10%，10%.
(1)若全班共50人，求平均分；
(2)如果该班人数未知，能求出该班的平均分吗？
解析：(1)若全班50人，则总分为：50×30%×3＋50×50%×2＋50×10%×1＝100(分)，平均分＝＝2(分)．
(2)如果该班人数未知，能求出该班的平均分．不妨设全班有m人，则总分为m×30%×3＋m×50%×2＋m×10%×1＝2m(分)，平均分＝＝2(分)．
9．某校要从甲、乙两名跳远运动员中选一名参加某项校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下：
甲：585596610598612597604600613601
乙：613618580574618593590598585624
(1)他们的平均成绩分别是多少？
(2)历届比赛表明：成绩达到596 cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
解析：(1)x甲＝600＋
＝601.6(cm)，
x乙＝600＋
＝599.3(cm)．
(2)从10次跳远成绩看，甲有9次成绩达到596 cm，乙仅有5次，若要夺冠，选甲运动员比较适合．
课件24张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．3 总体特征数的估计
2．3.1 平均数及其估计情景切入
我们已经学习了用图、表来组织、概括样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布．但是，在很多情况下，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征，如平均数、方差等．1．理解众数、中位数、平均数的意义．
2．掌握平均数的计算方法并能用样本平均数估计总体平均数. 栏目链接自 主学 习1．在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按从小到大的顺序依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的________；如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么x＝______________叫做这n个数的平均数．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图的面积________．,最多中间中位数相等 栏目链接 栏目链接众数、中位数、平均数要 点导 航 1．众数是样本观测值中出现次数最多的数，在频率分布直方图中它是最高的矩形的中点．样本众数通常用来表示分类变量的中心值，容易计算，但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息．通常用于描述分类变量的中心位置．
2．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据) 栏目链接要 点导 航的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间的数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在“一些错误数据”(如数据的录入错误或测量错误等)时，应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值．
3．平均数是频率分布直方图的“重心”．由于平均数与样本的每一个数据都有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．因此，平均数可以反映出更多的关于数据全体的信息．一般情况下，一组数据的平均值可以反映出这组数据的一般情况，比如某班一次考试 栏目链接要 点导 航成绩的平均分可以反映出该班学生该科的学习水平．但特殊情况下，平均值可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．
4．众数、中位数、平均数的区别与联系：(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的 栏目链接要 点导 航排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下．
[12.5，14.5)，6，0.06；[14.5，16.5)，16，0.16；[16.5，18.5)，18，0.18；[18.5，20.5)，22，0.22；[20.5，22.5)，20，0.20；[22.5，24.5)，10，0.10；[24.5，26.5]，8，0.08.试估计总体的平均数． 栏目链接典 例剖 析 由于每组的数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数． 解法一：总体的平均数约为
×(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
解法二：求组中值与对应频率积的和． 栏目链接典 例剖 析 13．5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.
故总体的平均数约为19.42. 当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求近似平均数． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：
(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？
(2)这组数组的中位数、众数分别是多少？ 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例2为了估计一次性筷子的用量，2010年某县从600家高、中、低档饭店中抽取10家，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下(单位：盒)；0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.
(1)通过对样本数据的计算，估计该县2010年共消耗了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)． 栏目链接典 例剖 析 (2)2012年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2011年、2012年这两年一次性筷子用量平均每年增加的百分率．
(3)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简要说明你的做法． 栏目链接典 例剖 析 根据样本平均数估算总体平均数，进一步确定总体的数目． 栏目链接典 例剖 析 (2)由于2010年一次性筷子用量是平均每天2盒，而2012年用量是平均每天2.42盒，设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42＝2×(1＋x)2，解得x＝10%，所以该县2011年、2012年这两年一次性筷子的用量平均每年增长10%.
(3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子的用量计算平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量． 栏目链接典 例剖 析 统计学的一个重要思想就是利用样本的信息来推断总体的有关信息，这样才能体会学习统计知识的作用和价值，我们要善于通过对表面随机现象进行统计分析，来揭示事物的内在规律． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽10名男生测验100 m短跑，测得成绩如下(单位：s)：问哪个班里男生100 m短跑平均水平高一些？ 栏目链接典 例剖 析 栏目链接数学·必修3(苏教版)
统计
2．3 总体特征数的估计
2．3.2 方差与标准差
1．一组数据的方差为s2，将这组数据扩大2倍，则新数据的方差为( )
A．s2 B.s2 C．2s2 D．4s2
解析：∵s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，＝，
∴＇＝＝2.
∴s′2＝[(2x1－2)2＋(2x2－2)2＋…＋(2xn－2)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4s2.
答案：D
2．设x1＝4，x2＝5，x3＝6，则该样本的标准差为( )
A. B. C. D.
解析：∵x1＝4，x2＝5，x3＝6，∴＝＝＝5，
∴s2＝[(4－5)2＋(5－5)2＋(6－5)2]＝，
∴s＝，选B.
答案：B
3．一组数据中的每一个数都加上10后，得到一组新的数据，这组数据的平均数是20，方差是12，则原来这组数据的平均数和方差分别是多少？
解析：设原来这组数据为x1，x2，…，xn，每个数据加上10后所得新数据为x1＋10，x2＋10，…，xn＋10.则
[(x1＋10)＋(x2＋10)＋…＋(xn＋10)]＝20.
即[(x1＋x2＋…＋xn)＋10n]＝20.
(x1＋x2＋…＋xn)＋10＝20.
(x1＋x2＋…xn)＝20－10＝10.
即x＝10，原来这组数据的平均数为10.
因为新数据方差为12，即
{[(x1＋10)－20]2＋[(x2＋10)－20]2＋…＋[(xn＋10)－20]2}＝[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2]＝12.
故原来数据的方差是12.
4．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：
甲：27，38，30，37，35，31；
乙：33，29，38，34，28，36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
解析：x甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，s甲2＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]≈15.7，x乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s乙2＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]≈12.7.所以x甲＝x乙，
s甲2>s乙2，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
5．已知甲、乙两个样本(样本容量一样大)，若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2，那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是______________．
解析：一组数据其方差越大，波动就越大，方差越小，波动也就越小．
答案：甲样本的波动比乙大
6．已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的标准差为________．
解析：由方差的性质得新数据的方差为22×2＝8，故其标准差为2.
答案：2
7．两名跳远运动员在10次测试中的成绩分别如下(单位：m)：
甲：5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.89 6.05 6.00 6.19
乙：6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
分别计算两个样本的标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
解析：甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为0.104，0.156；甲运动员的成绩比较稳定．
8．(2014·武汉调研)某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员分别进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75
经预测，跳高高度达到1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高高度达到1.70 m方可获得冠军呢？
解析：甲的平均成绩和方差如下：
甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋ 1.68＋1.67)＝1.69(m)．
s甲2＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68(m)，s乙2＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15，显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高高度达到1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛，在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m及以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩稳定性也不如甲，但是若跳高高度达到1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．
课件27张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．3 总体特征数的估计
2．3.2 方差与标准差情景切入
前面我们学习了通过对样本数据的平均数的分析处理，对总体的水平有了初步的了解，但当两组数据的平均数相同时，是不是它们的总体水平就相同呢？答案是否定的．这一节课我们就来看一下，还有哪些方法可以对总体的分布状态进行比较分析．1．理解方差，标准差的定义．
2．掌握方差，标准差的计算公式，并能用样本的方差与标准差估计总体的方差与标准差． 栏目链接自 主学 习1．数据的离散程度可以用极差、________或________来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数________的大小．一般地，样本的标准差用s表示，s＝_____ ________ ____ ________ ____ ___，标准差的平方叫________，用s2表示，s2＝__ ____ __ ________ _ ________ ____ _ ________ _____．
2．一般地，样本的数字特征是指________、________、________．,方差标准差 波动方差平均数方差 标准差 栏目链接 栏目链接标准差与方差要 点导 航 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 注意 (1)方差与极差的区别：一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差的大小反映了该组数据集中与分散的程度，但两组数据集中差异程度不大时，不宜得出结论．
(2)概念的理解：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)；标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据 栏目链接要 点导 航没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表： 栏目链接典 例剖 析(1)试估计这种日光灯的平均寿命．
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？ 总体的平均数与标准差往往很难求，甚至是不可求的，通常的做法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法就是合理的． 栏目链接典 例剖 析 (1)各组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得平均数为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
(2)将(1)组中值对于此平均数求方差： 栏目链接典 例剖 析 (1)在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 栏目链接典 例剖 析
(2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题． 栏目链接典 例剖 析变式训练 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例2从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？题型二 用样本平均数、方差(标准差)估计总体 栏目链接典 例剖 析 看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种玉米苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样．平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产出的次品数分别是：分别计算出两个样本的平均数与方差．从计算结果看，哪台机床10天生产中出次品的平均数较小？出次品的波动较小？ 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析∵x乙∴乙机床10天生产中出次品的平均数较小，
又∵s乙2∴乙机床出次品的波动较小． 栏目链接数学·必修3(苏教版)
统计
2．4 线性回归方程
1．下列关系中，是相关关系的有( )
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．
答案：A
2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0 C. D．1
答案：D
3．观察下列变量x，y的散点图：
如图所示的两个变量具有相关关系的是( )
A．(2)(3) B．(1)(2)
C．(2)(4) D．(3)(4)
解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.
答案：C
4．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据(xi，yi)，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.
答案：D
5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．
气温x(℃)
18
13
10
－1
用电量y(度)
24
34
38
64
由表中数据，得回归直线方程＝x＋，若＝－2，则＝________．
解析：∵＝＝10，
＝＝40，
∴40＝－2×10＋，∴＝60.
答案：60
6．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是________．
①直线y^＝bx＋a必经过点(x，y)；
②直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；
③直线y^＝bx＋a的斜率为；
④直线y^＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的总偏差[yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
解析：回归直线一定过点(x，y)，但不一定要过样本点．
答案：②
7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
(1)作散点图；
(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；
(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．
解析：(1)见下图．
(2)由散点图可知y与x线性相关．设回归直线方程y^＝bx＋a，列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
6
8
10
yi
64
138
205
285
360
xiyi
128
552
1 230
2 280
3 600
x＝6，y＝210.4，
xi2＝220，xiyi＝7 790
∴b＝＝＝36.95.
∴a＝210.4－36.95×6＝－11.3.
∴回归方程为y^＝36.95x－11.3.
(3)当x＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321.
即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
解析：儿子和父亲的身高列表如下：
父亲身高
173
170
176
儿子身高
170
176
182
设回归直线方程＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－bx＝176－173＝3，故回归直线方程为＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.
答案：185
9．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：
玩具个数
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
若回归方程的斜率是b，则它的截距是________．
解析：∵a＝－b，而由表中数据可求得＝11，＝22，∴a＝22－11b.
答案：22－11b
10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)若x与y线性相关，求回归直线方程：
(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？
解析：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x与y线性相关．
(2)设所求回归直线方程为＝bx＋a.∵＝159.8，＝172，xiyi=287 640. xi2=265 448, ∵b=≈1.267，a＝－b≈－30.47.故所求的回归直线方程为＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟．
11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：
年度
年收入x/亿元
皮鞋销售额y/万元
1971
32.2
25.0
1972
31.1
30.0
1973
32.9
34.0
1974
35.8
37.0
1975
37.1
39.0
1976
38.0
41.0
1977
39.0
42.0
1978
43.0
44.0
1979
44.6
48.0
1980
46.0
51.0
求y对x的回归直线方程．
解析：
序号
x
y
x2
xy
1
32.2
25
1 036.84
805.0
2
31.1
30
967.21
933.0
3
32.9
34
1 082.41
1 118.6
4
35.8
37
1 281.64
1 324.6
5
37.1
39
1 376.41
1 446.9
6
38.0
41
1 444.00
1 558.0
7
39.0
42
1 521.00
1 638.0
8
43.0
44
1 849.00
1 892.0
9
44.6
48
1 989.16
2 140.8
10
46.0
51
2 116.00
2 346.0
Σ
379.7
391
14 663.67
15 202.9
b＝
＝
≈1.447.
a＝y－bx＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6.
所以y对x的回归直线方程为：y^＝1.45x－15.84.
12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学成绩/x
88
76
73
66
63
化学成绩/y
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程．
解析：(1)散点图为：
(2)
序号
x
y
x2
xy
1
88
78
7 744
6 864
2
76
65
5 776
4 940
3
73
71
5 329
5 183
4
66
64
4 356
4 224
5
63
61
3 969
3 843
Σ
366
339
27 174
25 054
b＝＝≈0.624 869，
a＝y－bx＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6.
所以y对x的回归直线方程为y^＝0.62x＋22.06.
13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份201x(年)
0
1
2
3
4
人口总数y(十万)
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；
(3)据此估计2015年该城市人口的总数．
(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)
解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．
(2)由表可知＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝(5＋7＋8＋11＋19)＝10.
∴b＝
a=-b=36
14．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：
时间t/s
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度y/μm
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y与时间t的回归直线方程．
解析：（1）如下图
,
(2)经计算可得
t≈46.36，y≈19.45，＝36 750，＝13 910.
b＝
＝
≈0.3.
a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.
故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.
课件40张PPT。数学·必修3（苏教版）第2章 统 计
2．4 线性回归方程情景切入
在实际问题中我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们互相联系、互相制约．有的变量间有完全确定的函数关系，而有一些变量，它们之间也有一定的关系，然而这种关系并不完全确定，例如正常人的血压与年龄有一定关系，但它们之间的关系就不能用一个确定的函数关系式表达出来．这些变量，其实是随机变量(或至少其中有一个是随机变量)，它们之间的关系我们常称为相关关系．为了深入了解事物的本质，往往也需要我们去寻找这些变量间的数量关系．回归分析就是寻找这类不完全确定的变量间的数学关系式并进行统计推断的一种方法，在这种关系中最简单的是线性回归．1．了解相关关系的概念．
2．了解最小二乘法的思想，并能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程． 栏目链接自 主学 习1．相关关系是指自变量取值一定时，因变量的取值____ ____________________的两个变量之间的关系．
2．如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由小变大，这种关系称为________；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种关系称为________．
3．线性回归方程是________________，其中b＝_____________，a＝________．带有一定的随机性正相关负相关y－bx 栏目链接自 主学 习4．线性回归方程 ＝bx＋a必过交点________．, 栏目链接 栏目链接一、变量之间的相关关系要 点导 航 相关关系：(1)变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y与身高x有关，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系． 栏目链接要 点导 航 (2)相关关系与函数关系的异同点．相同点：两者都是指两个变量之间的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；函数关系是两个非随机变量间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量间的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 栏目链接要 点导 航 散点图：将n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．
散点图形象地反映了各对数据的密切程度．二、散点图及作用 栏目链接要 点导 航 1．线性相关关系．
能用直线方程y＝bx＋a近似表示的相关关系，叫做线性相关关系．如果散点图中，各点集中在一条直线附近，则称这两个量具有线性相关关系．
2．线性回归方程和回归直线．
一般地，设有(x，y)的n对观察数据如下三、线性回归方程 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航 注意 (1)用此法推导出的直线方程表示的直线上各点与对应的散点的坐标差的平方和最小，这种方法叫做最小平方法，利用的是二次函数的最值问题．
(2)由不具有线性相关关系的两个变量推出的回归方程没有意义．
(3)求线性回归方程的步骤．
①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
②如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b，并写出线性回归方程． 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高D 栏目链接典 例剖 析 由函数关系与相关关系的概念即知． 函数关系是确定性的，而相关关系是随机性的． 栏目链接典 例剖 析变式训练1．工人月工资(元)与劳动生产率(千元)变化的回归方程为y^＝80x＋50，则下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元B 栏目链接典 例剖 析 例2(2014·珠海调研)如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关关系的是________． 栏目链接典 例剖 析观察散点图的特征． 由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系，是不相关的；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的，即两个变量具有相关关系的是②④. 栏目链接②④典 例剖 析 散点图直观地描述了两个变量之间有没有相关关系，由散点图判断相关关系有两种情况，若所有的点看上去都在一条直线附近波动，则两个变量是线性相关的；若所有的点看上去都在某条曲线附近波动，则两个变量是非线性相关的，这两种情况都说明两个变量间具有相关关系． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：判断它们是否有相关关系．若有，作一拟合直线． 栏目链接典 例剖 析 以年龄作为x轴，y轴表示脂肪含量，可得相应散点图如下图．由散点图可见，两者之间具有相关关系． 栏目链接典 例剖 析 例3以家庭为单位，某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据如下表：(1)画出散点图；
(2)如果变量x、y有线性关系，求出回归直线方程． 栏目链接典 例剖 析 对于给定一组调查数据，可以借助一些有效的手段进行处理．
(1)画出散点图，如下图所示． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析因此所求的回归直线方程是y^＝－0.825 9x＋4.495 1. 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误． 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程． 栏目链接典 例剖 析 (1)散点图如下图． (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例3高二(2)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该生数学成绩． 栏目链接典 例剖 析 两个有相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，而对总体的预测可由回归直线方程帮助解决． 因为学习时间与学习成绩具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 本题数据表中，自变量x的取值没有按从小到大排列，这更接近实际，对结论没有任何影响．从表中看出：同样是每周用16 h学数学，一位同学成绩是64分，另一位却是68分，这正反映了y与x只有相关关系，没有函数关系． 栏目链接典 例剖 析变式训练 4．(2014·上饶调考)下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据；(1)画出散点图；
(2)求回归方程；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 栏目链接典 例剖 析 (1)散点图如图所示． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接数学·必修3(苏教版)
章末过关检测卷(二)
第2章 统 计
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
答案：D
2．(2014·重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150 C．200 D．250
答案：A
3.
右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )
A．65 B．64
C．63 D．62
答案：B
4．(2014·广东卷)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40 C．25 D．20
答案：C
5. (2014·湖北卷)根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
解析：作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.所以a＞0，b＜0，故选A.
答案：A
6.
(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8
C．12 D．18
解析：由频率分布直方图可得第一组与第二组的频率之和为1×(0.24＋0.16)＝0.4，又其频数为20，故样本容量为＝50，而第三组的频率为0.36，因此其频数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12，故选C.
答案：C
7．下列说法：①一组数据不可能有两个众数 ②一组数据的方差必须是正数 ③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变 ④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：C
8．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
解析：据已知易得
＝＝＋100，
又sy2＝
＝sx2，故选D.
答案：D
9．已知样本：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11
9 12 9 10 11 12 12
那么频率为0.25的范围是( )
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
答案：D
10．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：
甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 93
乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 96
则下列结论正确的是( )
A.甲＞乙，s甲＞s乙 B.甲＞乙，s甲＜s乙
C.甲＜乙，s甲＞s乙 D.甲＜乙，s甲＜s乙
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填写在题中的横线上)
11.
某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如右图)．s1，s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则s1________s2(填“＞”、“＜”或“＝”)．
答案：＜
12．(2014·上海卷)某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为________．
答案：70
13．(2014·湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案：1 800
14．(2014·江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
解析：由直方图可得树木底部周长小于100 cm的频率是(0.025＋0.015)×10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60＝24.
答案：24
三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2014·广东卷)某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄(岁)
工人数(人)
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
解析：(1)这20名工人年龄的众数为30，极差为40－19＝21.
(2)茎叶图如下：
(3)年龄的平均数为
＝30，
故这20名工人年龄的方差为
[(－11)2＋3×(－2)2＋3×(－1)2＋5×02＋4×12＋3×22＋102]＝(121＋12＋3＋4＋12＋100)＝×252＝12.6.
16．(本小题满分12分)某学校从高一年级、高二年级、高三年级学生中采用分层抽样抽一个容量为45人的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有高中学生多少人？
解析：设此学校共有高中学生x人，则样本容量与总体容量的比值为.
则×300＝45－20－10，故x＝900.
答：学校共有高中学生900人．
17．(本小题满分14分)抽样调查30个工人的家庭人均月收入，得到如下数据(单位：元)：
404 444 556 430 380 420 500 430 420 384
420 404 424 340 424 412 388 472 358 476
376 396 428 444 366 436 364 438 330 426
(1)取组距为60，起点为320，列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440，500)的家庭所占的百分比．
解析：(1)分布表如下：
分组
频数
频率
[320，380)
6
0.20
[380，440)
18
0.60
[440，500)
4
0.13
[500，560]
2
0.07
合 计
30
1.00
(2)频率分布直方图为：
(3)人均月收入落在[440，500)中的家庭所占的频率为：0.13＝13%.所以估计人均月收入在[440，500)的家庭所占的百分比为13%.
18．(本小题满分14分)关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：
年龄/岁
23
27
39
41
45
49
50
53
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
判断它们是否有相关关系．若有，作一拟合直线．
解析：有相关关系，正相关，拟合直线如下图．
点评：判断两变量之间是否有线性相关关系可以先作出两变量的散点图，看这些点是否呈条状分布，即这些点是否在某条直线上下波动．若是，则有线性相关关系；若不是，则没有线性相关关系．散点图中，点所在的带形区域越窄，变量间的相关性就越强．
19.(本小题满分14分)山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排的、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg).
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图；
(2)判断x与y是否具有相关关系．
分析：用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系．
解析：(1)以x轴为施肥量，y轴为产量，可得相应的散点图．
(2)由散点图可知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
20．(本小题满分14分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解析：(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
