河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题
1．（2024高二下·保定期末）已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．（2024高二下·保定期末）用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．64
3．（2024高二下·保定期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．6
4．（2024高二下·保定期末）为了研究某产品的年研发费用 (单位： 万元) 对年利润 (单位： 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（ ）
A．55 万元 B．57 万元 C．60 万元 D．62 万元
5．（2024高二下·保定期末）已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二下·保定期末）要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（　　）
A．7种 B．8种 C．12种 D．14种
7．（2024高二下·保定期末）已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（　　）
A．45 B． C．90 D．
8．（2024高二下·保定期末）在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称 为“旋转函数”. 下列四个函数中“旋转函数”的个数为（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024高二下·保定期末）对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有 5 项
B．展开式的各项系数之和为
C．展开式中的常数项是 15
D．展开式的各二项式系数之和为 32
10．（2024高二下·保定期末）甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回； 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（ ）
A．掷骰子一次，摸出的是红球的概率为
B．掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为
C．掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为
D．掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为
11．（2024高二下·保定期末）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．
12．（2024高二下·保定期末）已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为　 　.
13．（2024高二下·保定期末）已知 和 分别是函数 的极大值点和极小值点. 若 ，则 的取值范围是　 　.
14．（2024高二下·保定期末）如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 　 　， 　 　.
15．（2024高二下·保定期末）某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
　 阅读达标 阅读不达标 合计
女生 70 30 100
男生 40 60 100
合计 110 90 200
（1）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联
（2）从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（2024高二下·保定期末）已知函数是奇函数.
（1）求；
（2）求不等式 的解集.
17．（2024高二下·保定期末）已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围.
18．（2024高二下·保定期末）某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19．（2024高二下·保定期末）若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.
（2）(i)证明：函数在上被1控制.
(ii)设，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合A、B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则百位数字可选有3种选法；十位数字可选有4种选法；个位数字可选有4种选法，故满足条件的三位数的个数有个.
故答案为：C.
【分析】由题意，先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理求解即可.
3．【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为曲线 在 处的切线的斜率为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据导数的定义和性质求解即可.
4．【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，所以关于的经验回归方程为，
故当时，，即若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，
预测年利润为55万元.
故答案为：A.
【分析】根据已知数据求得，再由求得以及回归方程，最后令求解预测年利润即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解： 正实数 ，取，， 满足，但，即充分性不成立；
，由，可得，当且仅当时等号成立，即必要性成立，
则是必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：先把名学生分成组，分别为、，、，
若为2、2时，由于甲不去A乡村，则从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，
若为、时，可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种，
故共有种.
故答案为：A.
【分析】先将名学生分为组，分别为、或、，采用特殊元素分析法求解即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，
又因为函数的图象关于直线对称，所以函数与图象的交点关于直线对称，又因为函数与图象的有9个交点，所以两函数必都过点，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数与图象的交点关于直线对称，由中点公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由题可知，函数的图象与直线只能有一个交点；
① 图象绕坐标原点逆时针旋转 后仍是直线，与直线只有一个交点，故是旋转函数，符合题意；
②在处的切线方程为，则的图象于有2个交点，不符合题意；
③在处的切线方程为，同样不符合题意；
④在处的切线方程为，符合题意，
所以“旋转函数”的个数有2个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，逐项分析判断即可.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、展开式共有6项，故A错误；
B、令，则展开式的各项系数之和为，故B正确；
C、展开式中的通项是，令，则，即展开式中的常数项为，故C错误；
D、展开式的二项式系数和为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法求解即可判断B；根据通项特征求解即可判断C；由二项式系数和的性质即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A、易知掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为，而从甲箱子中摸出红球的概率为；从乙箱摸球的概率为，而从乙箱子中摸出红球的概率为，
则掷骰子一次，摸出的是红球的概率为，故A错误；
B、掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为，故B正确；
C、掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为，故C正确；
D、掷骰子两次，摸出 2 个红球包含三种情况，
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为；
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自乙箱的概率为
掷骰子两次，摸出的 2 个球来自甲、乙两个箱的概率为，
掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据全概率公式，贝叶斯公式计算概率，判断各个选项；
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的性质；等比数列的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
即或，解得或，
问题转化为直线与曲线、有3个交点，且三个点的横坐标依次为，，，
且，
函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；
当时，，即函数单调递减，则当时，函数取得最大值，
函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减，
则当时，函数取得最大值，
作出函数与的图象，如图所示：
由，可得，由，可得，
又，且在上单调递增，
又，所以，即，故A正确；
，且在上单调递减，
又，所以，即，
故，故C正确，B错误；
因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，利用导数研究两个函数的单调性和最值，逐项判断即可.
12．【答案】，
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：函数 的定义域和值域均为，
则要有意义，只需，解得，
即函数的定义域为，
因为，所以，所以，
即值域为.
故答案为：，.
【分析】根据抽象函数的定义域的求法以及函数值域的概念求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为R，，
因为 和分别是函数的极大值点和极小值点，所以是方程的两个不等实根，即，解得，
又因为，所以为开口向下的二次函数，即，
而当时，原函数只有一个极值点，矛盾，
当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，这与题干矛盾，即a的取值范围.
故答案为：.
【分析】求导，根据导函数与原函数的极值间的关系，结合二次函数的性质求解即可.
14．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题可知，在第1步后蚂蚁位于、、点的概率分别为，，，
则经过 2 步回到点的概率；
因为，所以，则，
即数列是公比为的等比数列，
又因为，，所以.
故答案为：；.
【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解；根据递推关系可知是公比为的等比数列，由等比数列通项求解即可.
15．【答案】（1）解：零假设为：阅读达标情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联；
（2）解：根据分层抽样可知：抽取的女生人数为，男生人数为，
的可能取值为，
，，，
则的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，根据小概率值的独立性检验判断即可；
（2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.
（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为，
，，，
所以的分布列如下：
0 1 2
故.
16．【答案】（1）解：易知的定义域为，
因为函数是奇函数，所以，解得，
则函数，满足，
则；
（2）解：因为函数是奇函数，所以，
由，可得，即，解得，
即，则，解得，
则不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用求值，再检验即可；
（2）利用奇偶性转化为求的解集，代入解析式求解即可.
（1）因为，所以的定义域为，
函数是奇函数，所以，
解得，可得，
当时，
，
所以是奇函数，故；
（2）因为是奇函数，所以，
由得，
可得，解得，
即，可得，
解得，
所以不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即， 在恒成立，
设，易知在上单调递减，
则，，即的取值范围为；
（2）解：若，则，，
设切点坐标为，则切线方程，
把代入切线方程得：，
设，则，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，当时，，
依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得：
，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）在上恒成立，分离参数转化为函数最值问题求解即可；
（2）设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程有两个解的问题，利用导数研究函数的性质画出图象，数形结合求解即可.
（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即 在恒成立，
设，显然在上单调递减，
所以，所以.
（2）若，则，，
设切点坐标为，则切线方程，
把代入切线方程得：，
设，则，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，当时，，
依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得：
，即.
18．【答案】（1）解：设甲所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，
则，
即该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）解：当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，由全概率公式求解即可；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小.
（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
19．【答案】（1）解：令，，，
当时，，则在上单调递增，因为，所以恒成立；
当时，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，
且，解得，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）证明：(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，即证，
令，
可得，
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证；
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由题意，求在上恒成立，再利用导数分类求得的最小值即可；
（2）(i)利用导数证明不等式在上恒成立即可；
(ii) 由(i)的结论可得，利用裂项相消法证明即可.
（1）令，，
则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立.
当时，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，即证.
令，
可得.
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证.
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
1 / 1河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题
1．（2024高二下·保定期末）已知集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合A、B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·保定期末）用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．64
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用数字 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则百位数字可选有3种选法；十位数字可选有4种选法；个位数字可选有4种选法，故满足条件的三位数的个数有个.
故答案为：C.
【分析】由题意，先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理求解即可.
3．（2024高二下·保定期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为曲线 在 处的切线的斜率为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据导数的定义和性质求解即可.
4．（2024高二下·保定期末）为了研究某产品的年研发费用 (单位： 万元) 对年利润 (单位： 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（ ）
A．55 万元 B．57 万元 C．60 万元 D．62 万元
【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，所以关于的经验回归方程为，
故当时，，即若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，
预测年利润为55万元.
故答案为：A.
【分析】根据已知数据求得，再由求得以及回归方程，最后令求解预测年利润即可.
5．（2024高二下·保定期末）已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解： 正实数 ，取，， 满足，但，即充分性不成立；
，由，可得，当且仅当时等号成立，即必要性成立，
则是必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2024高二下·保定期末）要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（　　）
A．7种 B．8种 C．12种 D．14种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：先把名学生分成组，分别为、，、，
若为2、2时，由于甲不去A乡村，则从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，
若为、时，可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种，
故共有种.
故答案为：A.
【分析】先将名学生分为组，分别为、或、，采用特殊元素分析法求解即可.
7．（2024高二下·保定期末）已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（　　）
A．45 B． C．90 D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，
又因为函数的图象关于直线对称，所以函数与图象的交点关于直线对称，又因为函数与图象的有9个交点，所以两函数必都过点，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数与图象的交点关于直线对称，由中点公式求解即可.
8．（2024高二下·保定期末）在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称 为“旋转函数”. 下列四个函数中“旋转函数”的个数为（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：由题可知，函数的图象与直线只能有一个交点；
① 图象绕坐标原点逆时针旋转 后仍是直线，与直线只有一个交点，故是旋转函数，符合题意；
②在处的切线方程为，则的图象于有2个交点，不符合题意；
③在处的切线方程为，同样不符合题意；
④在处的切线方程为，符合题意，
所以“旋转函数”的个数有2个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，逐项分析判断即可.
9．（2024高二下·保定期末）对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有 5 项
B．展开式的各项系数之和为
C．展开式中的常数项是 15
D．展开式的各二项式系数之和为 32
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、展开式共有6项，故A错误；
B、令，则展开式的各项系数之和为，故B正确；
C、展开式中的通项是，令，则，即展开式中的常数项为，故C错误；
D、展开式的二项式系数和为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法求解即可判断B；根据通项特征求解即可判断C；由二项式系数和的性质即可判断D.
10．（2024高二下·保定期末）甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回； 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（ ）
A．掷骰子一次，摸出的是红球的概率为
B．掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为
C．掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为
D．掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A、易知掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为，而从甲箱子中摸出红球的概率为；从乙箱摸球的概率为，而从乙箱子中摸出红球的概率为，
则掷骰子一次，摸出的是红球的概率为，故A错误；
B、掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为，故B正确；
C、掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为，故C正确；
D、掷骰子两次，摸出 2 个红球包含三种情况，
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为；
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自乙箱的概率为
掷骰子两次，摸出的 2 个球来自甲、乙两个箱的概率为，
掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据全概率公式，贝叶斯公式计算概率，判断各个选项；
11．（2024高二下·保定期末）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的性质；等比数列的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
即或，解得或，
问题转化为直线与曲线、有3个交点，且三个点的横坐标依次为，，，
且，
函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；
当时，，即函数单调递减，则当时，函数取得最大值，
函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减，
则当时，函数取得最大值，
作出函数与的图象，如图所示：
由，可得，由，可得，
又，且在上单调递增，
又，所以，即，故A正确；
，且在上单调递减，
又，所以，即，
故，故C正确，B错误；
因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，利用导数研究两个函数的单调性和最值，逐项判断即可.
12．（2024高二下·保定期末）已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为　 　.
【答案】，
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：函数 的定义域和值域均为，
则要有意义，只需，解得，
即函数的定义域为，
因为，所以，所以，
即值域为.
故答案为：，.
【分析】根据抽象函数的定义域的求法以及函数值域的概念求解即可.
13．（2024高二下·保定期末）已知 和 分别是函数 的极大值点和极小值点. 若 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为R，，
因为 和分别是函数的极大值点和极小值点，所以是方程的两个不等实根，即，解得，
又因为，所以为开口向下的二次函数，即，
而当时，原函数只有一个极值点，矛盾，
当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，这与题干矛盾，即a的取值范围.
故答案为：.
【分析】求导，根据导函数与原函数的极值间的关系，结合二次函数的性质求解即可.
14．（2024高二下·保定期末）如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 　 　， 　 　.
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题可知，在第1步后蚂蚁位于、、点的概率分别为，，，
则经过 2 步回到点的概率；
因为，所以，则，
即数列是公比为的等比数列，
又因为，，所以.
故答案为：；.
【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解；根据递推关系可知是公比为的等比数列，由等比数列通项求解即可.
15．（2024高二下·保定期末）某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
　 阅读达标 阅读不达标 合计
女生 70 30 100
男生 40 60 100
合计 110 90 200
（1）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联
（2）从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设为：阅读达标情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联；
（2）解：根据分层抽样可知：抽取的女生人数为，男生人数为，
的可能取值为，
，，，
则的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，根据小概率值的独立性检验判断即可；
（2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.
（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为，
，，，
所以的分布列如下：
0 1 2
故.
16．（2024高二下·保定期末）已知函数是奇函数.
（1）求；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）解：易知的定义域为，
因为函数是奇函数，所以，解得，
则函数，满足，
则；
（2）解：因为函数是奇函数，所以，
由，可得，即，解得，
即，则，解得，
则不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用求值，再检验即可；
（2）利用奇偶性转化为求的解集，代入解析式求解即可.
（1）因为，所以的定义域为，
函数是奇函数，所以，
解得，可得，
当时，
，
所以是奇函数，故；
（2）因为是奇函数，所以，
由得，
可得，解得，
即，可得，
解得，
所以不等式的解集为.
17．（2024高二下·保定期末）已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若 且经过点 只可作 的两条切线，求 的取值范围.
【答案】（1）解：因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即， 在恒成立，
设，易知在上单调递减，
则，，即的取值范围为；
（2）解：若，则，，
设切点坐标为，则切线方程，
把代入切线方程得：，
设，则，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，当时，，
依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得：
，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）在上恒成立，分离参数转化为函数最值问题求解即可；
（2）设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程有两个解的问题，利用导数研究函数的性质画出图象，数形结合求解即可.
（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即 在恒成立，
设，显然在上单调递减，
所以，所以.
（2）若，则，，
设切点坐标为，则切线方程，
把代入切线方程得：，
设，则，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，当时，，
依题意过存在两条切线，即方程有两解，根据的图象可得：
，即.
18．（2024高二下·保定期末）某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
【答案】（1）解：设甲所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，
则，
即该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）解：当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由题意，由全概率公式求解即可；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小.
（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
19．（2024高二下·保定期末）若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.
（2）(i)证明：函数在上被1控制.
(ii)设，证明：.
【答案】（1）解：令，，，
当时，，则在上单调递增，因为，所以恒成立；
当时，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，
且，解得，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）证明：(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，即证，
令，
可得，
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证；
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由题意，求在上恒成立，再利用导数分类求得的最小值即可；
（2）(i)利用导数证明不等式在上恒成立即可；
(ii) 由(i)的结论可得，利用裂项相消法证明即可.
（1）令，，
则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立.
当时，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，即证.
令，
可得.
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证.
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
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