江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·扬州期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·扬州期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·扬州期末）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·扬州期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2024高二下·扬州期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二下·扬州期末）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．是上的增函数
B．的值域为
C．“”是“”的充要条件
D．若关于的方程恰有一个实根，则
7．（2024高二下·扬州期末）五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区 双博馆，另外花2个下午的时间打篮球 1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（ ）种.
A．300 B．600 C．900 D．1200
8．（2024高二下·扬州期末）若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C．或 D．
9．（2024高二下·扬州期末）下列说法正确的是（ ）.
A．利用线性回归方法求出一组数据的线性回归直线方程，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上
B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C．若随机变量服从二项分布，则的方差为2
D．若随机事件满足，则事件与相互独立
10．（2024高二下·扬州期末）若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．（2024高二下·扬州期末）棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）.
A．任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2
B．存在一个位置，使
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当时，的最大值为
12．（2024高二下·扬州期末）设随机变量服从正态分布，若，则 .
13．（2024高二下·扬州期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 .
参考公式：.
14．（2024高二下·扬州期末）定义域为的函数满足，且时，，则 ， .
15．（2024高二下·扬州期末）已知集合.
（1）求；
（2）若实数，集合，且“”是“”的必要条件，求的取值范围.
16．（2024高二下·扬州期末）已知，且.
（1）求与的值；
（2）求的值.
17．（2024高二下·扬州期末）已知三棱柱的棱长均为.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离.
18．（2024高二下·扬州期末）为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 40 20 60
女性 16 24 40
合计 56 44 100
（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
（2）现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值；
（3）用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手 若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（2024高二下·扬州期末）已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，所以.
故选：A.
【分析】解不等式得到，然后根据交集的定义（交集是由属于两个集合的公共元素组成的集合）求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得直线的方向向量与共线，
而，所以是该直线的方向向量.
故选：D.
【分析】根据直线的方向向量与共线（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件）判断.
3．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意，函数，定义域为，
，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
又，排除A.
故选：B.
【分析】先判断函数的奇偶性（奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数），再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.
4．【答案】C
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：因为命题“”是假命题，
所以它的否命题“”是真命题，所以，解得，
故选：C．
【分析】根据基本命题之间的关系(命题为假命题，则否命题为真命题)，根据否命题列出关于参数的不等式，求解即可．
5．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，
且四点共面，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为.
故选：D.
【分析】根据空间共面向量定理（如果两个向量不共线， 那么与这两个向量共面的条件是存在实数x，y使得 ， 其中、、是共面向量）设，再列方程组，解方程组即可求解.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误，
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B错误，
对于C，当时，由，得，解得，
当时，由，得，解得，
综上，由，得，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误，
对于D，的图象如图所示，
由图可知当时，直线与图象只有一个交点，
即关于的方程恰有一个实根，所以D正确，
故选：D
【分析】对于A，举例判断，对于B，先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C，由解不等式，再结合充要条件的定义（如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件）分析判断，对于D，画出函数图象分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先从5个上午中选两个去游览茱萸湾风景区 双博馆，有种，
再从5个下午中选两个打篮球，选1个踢足球，有种，
根据分步乘法原理，共有种.
故选：B
【分析】分上午和下午分别计数，根据分步乘法原理（指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数）求解.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为若为函数的极大值点，
所以，
，
当，单调递减，单调递增，
所以是的极大值点符合题意；
当时，
当即，单调递增，单调递减，
所以是的极大值点符合题意；
当即，单调递增，单调递减，
所以是的极小值点不符合题意；
当即，单调递增，无极值点不符合题意.
故或.
故选：C.
【分析】先求导函数可得函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再分类讨论大小根据极值点求参数.
9．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：样本中心点在线性回归直线上，但这组数据确定的点不一定在线性回归直线上，故选项A错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模拟的你和精度越高，故选项B正确；
，故选项C错；
，则，所以事件与相互独立，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】A选项，根据线性回归直线的含义（反映一个变量（ 因变量） 对另一个或一组变量（ 自变量） 的回归关系）判断；B选项，根据残差的含义（实际观察值与估计值（或拟合值）之间的差）判断；C选项，根据二项分布方程的公式计算；D选项，根据条件概率和乘法公式判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【解答】解：根据组合数的性质可知选项AC正确；
，故选项B错；
，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据组合数的性质（从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数）判断ABC选项；根据二项式展开式判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：任取三棱锥中的三条棱，有种，
其中共面一共有种，故概率为，故A对；
如图：若，则为等边三角形，取的中点，
，同理，，平面，
所以平面，
平面，所以.故B对.
设，连接，因为与都是等边三角形，
则有，即为二面角的平面角，，
与的中心依次为，设平面，平面
，则为外接球的球心，
，，则四边形外接圆的直径为，
，在直角中，利用勾股定理得到，
在中，利用勾股定理得，
外接球的表面积为.所以C错；
在点处建系，为轴，为轴，则，，，，
，，
则，
，，则，
的最大值为，故D对.
故选：ABD.
【分析】对于A，利用古典概型的概率公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）直接求解判断；当时，能证出平面，即能证出.首先找出即为二面角的平面角，，在三棱锥中通过提外心的方法求出外接球的半径；建系求解D选项即可.
12．【答案】0.2
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有，
由，则.
故填：0.2
【分析】根据正态分布的性质（正态分布是一种概率分布，具有 对称性：正态分布曲线以均值为中心，左右对称）计算可得.
13．【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由，
解得，
所以.
故填：
【分析】先由参考数据及参考公式求出某种水源指标的平均值以及某植物分布的数量的平均值，再利用相关系数公式求出，再求即可.
14．【答案】；
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由，
令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
即，即，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
令，则，即，
又时，，所以，
令，则，
所以，即，
所以，
则，
由，得，
由，得，
所以
.
故填：；.
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，令，可求出函数的周期，令，可得，再根据函数的周期性（如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数的周期为）即可求出.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性.
15．【答案】（1）解：因为，解得，即；
又因为，解得，即；
所以.
（2）解：因为，且，可知，
解得，即，
若“”是“”的必要条件，
则，即，可得，
所以的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）根据题意先求集合，再根据并集运算（并集是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起， 去掉重复元素后形成的新的集合）求解；
（2）先求集合C，由必要条件可知，根据包含关系分析求解.
16．【答案】（1）解：由题可知，
即，即，
解答（舍）或.
所以；
因为①，
所以.
（2）解：在①式中，令，则②，
令，则③，
因为由②-③得，，
所以.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项可列出关于参数的方程，解方程可得，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求；
（2）利用赋值法求系数和即可.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
所以，
所以，所以，
由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
因为，所以，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）可知两两垂直，
所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
所以，
.
因为，则，
设平面的法向量为，
则即
取，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，
，
化简整理得
解得，或（舍去），
所以，
又因为，
所以.
设点到直线的距离为，则，
所以.
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定；空间直线的向量参数方程
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）平面，然后利用面面垂直的判定定理（一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直）可证得结论；
（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
18．【答案】（1）解：假设：是否接受挑战与受邀者的性别无关.
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关.
（2）解：，
同理，所以.
（3）解：由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人.
根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为.
可能得取值为，
3名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件，
则，
被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件，
则，
，
所以
，
，
.
故的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；概率分布列；条件概率
【解析】【分析】（1）根据列联表中的数据和参考公式计算，与6.635比较大小，得出结论.
（2）先根据条件概率公式（条件概率是指在某个事件B已经发生的条件下， 事件A发生的概率，表示为）求，，再根据定义，求的值.
（3）列出的可能值，结合条件概率，求出对应的每一个值的概率，可得的分布列，再求期望.
19．【答案】（1）解：当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）解：方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）证明：方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义（ 导数的几何意义是表示函数在某一点的变化率或 斜率）先求切点，即可得解；
（2）方法一：利用导数正负与函数单调性的关系可求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
（3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
1 / 1江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高二下·扬州期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，所以.
故选：A.
【分析】解不等式得到，然后根据交集的定义（交集是由属于两个集合的公共元素组成的集合）求解即可.
2．（2024高二下·扬州期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得直线的方向向量与共线，
而，所以是该直线的方向向量.
故选：D.
【分析】根据直线的方向向量与共线（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件）判断.
3．（2024高二下·扬州期末）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意，函数，定义域为，
，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
又，排除A.
故选：B.
【分析】先判断函数的奇偶性（奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数），再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.
4．（2024高二下·扬州期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：因为命题“”是假命题，
所以它的否命题“”是真命题，所以，解得，
故选：C．
【分析】根据基本命题之间的关系(命题为假命题，则否命题为真命题)，根据否命题列出关于参数的不等式，求解即可．
5．（2024高二下·扬州期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，
且四点共面，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为.
故选：D.
【分析】根据空间共面向量定理（如果两个向量不共线， 那么与这两个向量共面的条件是存在实数x，y使得 ， 其中、、是共面向量）设，再列方程组，解方程组即可求解.
6．（2024高二下·扬州期末）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．是上的增函数
B．的值域为
C．“”是“”的充要条件
D．若关于的方程恰有一个实根，则
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误，
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B错误，
对于C，当时，由，得，解得，
当时，由，得，解得，
综上，由，得，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误，
对于D，的图象如图所示，
由图可知当时，直线与图象只有一个交点，
即关于的方程恰有一个实根，所以D正确，
故选：D
【分析】对于A，举例判断，对于B，先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C，由解不等式，再结合充要条件的定义（如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件）分析判断，对于D，画出函数图象分析判断即可.
7．（2024高二下·扬州期末）五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区 双博馆，另外花2个下午的时间打篮球 1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（ ）种.
A．300 B．600 C．900 D．1200
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先从5个上午中选两个去游览茱萸湾风景区 双博馆，有种，
再从5个下午中选两个打篮球，选1个踢足球，有种，
根据分步乘法原理，共有种.
故选：B
【分析】分上午和下午分别计数，根据分步乘法原理（指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数）求解.
8．（2024高二下·扬州期末）若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为若为函数的极大值点，
所以，
，
当，单调递减，单调递增，
所以是的极大值点符合题意；
当时，
当即，单调递增，单调递减，
所以是的极大值点符合题意；
当即，单调递增，单调递减，
所以是的极小值点不符合题意；
当即，单调递增，无极值点不符合题意.
故或.
故选：C.
【分析】先求导函数可得函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再分类讨论大小根据极值点求参数.
9．（2024高二下·扬州期末）下列说法正确的是（ ）.
A．利用线性回归方法求出一组数据的线性回归直线方程，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上
B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C．若随机变量服从二项分布，则的方差为2
D．若随机事件满足，则事件与相互独立
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：样本中心点在线性回归直线上，但这组数据确定的点不一定在线性回归直线上，故选项A错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模拟的你和精度越高，故选项B正确；
，故选项C错；
，则，所以事件与相互独立，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】A选项，根据线性回归直线的含义（反映一个变量（ 因变量） 对另一个或一组变量（ 自变量） 的回归关系）判断；B选项，根据残差的含义（实际观察值与估计值（或拟合值）之间的差）判断；C选项，根据二项分布方程的公式计算；D选项，根据条件概率和乘法公式判断.
10．（2024高二下·扬州期末）若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【解答】解：根据组合数的性质可知选项AC正确；
，故选项B错；
，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据组合数的性质（从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数）判断ABC选项；根据二项式展开式判断D选项.
11．（2024高二下·扬州期末）棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）.
A．任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2
B．存在一个位置，使
C．当时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当时，的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：任取三棱锥中的三条棱，有种，
其中共面一共有种，故概率为，故A对；
如图：若，则为等边三角形，取的中点，
，同理，，平面，
所以平面，
平面，所以.故B对.
设，连接，因为与都是等边三角形，
则有，即为二面角的平面角，，
与的中心依次为，设平面，平面
，则为外接球的球心，
，，则四边形外接圆的直径为，
，在直角中，利用勾股定理得到，
在中，利用勾股定理得，
外接球的表面积为.所以C错；
在点处建系，为轴，为轴，则，，，，
，，
则，
，，则，
的最大值为，故D对.
故选：ABD.
【分析】对于A，利用古典概型的概率公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）直接求解判断；当时，能证出平面，即能证出.首先找出即为二面角的平面角，，在三棱锥中通过提外心的方法求出外接球的半径；建系求解D选项即可.
12．（2024高二下·扬州期末）设随机变量服从正态分布，若，则 .
【答案】0.2
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有，
由，则.
故填：0.2
【分析】根据正态分布的性质（正态分布是一种概率分布，具有 对称性：正态分布曲线以均值为中心，左右对称）计算可得.
13．（2024高二下·扬州期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则 .
参考公式：.
【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由，
解得，
所以.
故填：
【分析】先由参考数据及参考公式求出某种水源指标的平均值以及某植物分布的数量的平均值，再利用相关系数公式求出，再求即可.
14．（2024高二下·扬州期末）定义域为的函数满足，且时，，则 ， .
【答案】；
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由，
令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
即，即，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
令，则，即，
又时，，所以，
令，则，
所以，即，
所以，
则，
由，得，
由，得，
所以
.
故填：；.
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，令，可求出函数的周期，令，可得，再根据函数的周期性（如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数的周期为）即可求出.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性.
15．（2024高二下·扬州期末）已知集合.
（1）求；
（2）若实数，集合，且“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，解得，即；
又因为，解得，即；
所以.
（2）解：因为，且，可知，
解得，即，
若“”是“”的必要条件，
则，即，可得，
所以的取值范围为.
【知识点】并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）根据题意先求集合，再根据并集运算（并集是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起， 去掉重复元素后形成的新的集合）求解；
（2）先求集合C，由必要条件可知，根据包含关系分析求解.
16．（2024高二下·扬州期末）已知，且.
（1）求与的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题可知，
即，即，
解答（舍）或.
所以；
因为①，
所以.
（2）解：在①式中，令，则②，
令，则③，
因为由②-③得，，
所以.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项可列出关于参数的方程，解方程可得，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求；
（2）利用赋值法求系数和即可.
17．（2024高二下·扬州期末）已知三棱柱的棱长均为.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
所以，
所以，所以，
由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
因为，所以，所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）可知两两垂直，
所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
所以，
.
因为，则，
设平面的法向量为，
则即
取，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，
，
化简整理得
解得，或（舍去），
所以，
又因为，
所以.
设点到直线的距离为，则，
所以.
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定；空间直线的向量参数方程
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直）平面，然后利用面面垂直的判定定理（一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直）可证得结论；
（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
18．（2024高二下·扬州期末）为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 40 20 60
女性 16 24 40
合计 56 44 100
（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
（2）现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值；
（3）用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手 若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：假设：是否接受挑战与受邀者的性别无关.
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关.
（2）解：，
同理，所以.
（3）解：由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人.
根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为.
可能得取值为，
3名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件，
则，
被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件，
则，
，
所以
，
，
.
故的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；概率分布列；条件概率
【解析】【分析】（1）根据列联表中的数据和参考公式计算，与6.635比较大小，得出结论.
（2）先根据条件概率公式（条件概率是指在某个事件B已经发生的条件下， 事件A发生的概率，表示为）求，，再根据定义，求的值.
（3）列出的可能值，结合条件概率，求出对应的每一个值的概率，可得的分布列，再求期望.
19．（2024高二下·扬州期末）已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
【答案】（1）解：当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）解：方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）证明：方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义（ 导数的几何意义是表示函数在某一点的变化率或 斜率）先求切点，即可得解；
（2）方法一：利用导数正负与函数单调性的关系可求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
（3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
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