上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·浦东期末）2与8的等比中项是 .
【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设2与8的等比中项是，则，．
故填：．
【分析】根据等比中项的定义（等比中项是指在等比数列中， 如果插入一个数G使得a、 G、 b成等比数列， 那么G就叫做a、 b的等比中项）求解．
2．（2024高二下·浦东期末）若，则 ．
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故填：
【分析】利用求导运算法则，对函数求导，可得，将代入中计算，即可得出答案.
3．（2024高二下·浦东期末）等差数列中，，则 ．
【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列中，，
所以等差数列的公差，所以．
故填：0.
【分析】利用等差数列的通项公式和已知条件求解即可得出答案．
4．（2024高二下·浦东期末）若，则 ．
【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：因为，所以.
故填：.
【分析】利用积的导数法则（两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数， 加上第一个函数乘以第二个函数的导数）可求解.
5．（2024高二下·浦东期末）等差数列中，，，则 ．
【答案】260
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：利用等差数列求和公式：可得，
．
故填：260.
【分析】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，根据等差数列求和公式求解即可．
6．（2024高二下·浦东期末）函数的驻点是 ．
【答案】
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，令，解得，
故填：.
【分析】对已知条件提供的函数利用求导运算法则求导，根据导数即可得出答案.
7．（2024高二下·浦东期末）设数列的前项和为，，则 .
【答案】2n
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为当时，，
而且当时，，
所以，
验证，当时，计算可得也符合上式，
所以.
故填：
【分析】利用数列的递推公式求得.
8．（2024高二下·浦东期末）函数的极值点的个数是 ．
【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
由，函数在和都单调递增，没有极值点，
函数的极值点的个数为0.
故答案为：0.
【分析】利用导数求函数单调区间（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），判断极值点的个数.
9．（2024高二下·浦东期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ．
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，.
所以当时；
当时；
当时；
所以数列的前4项和等于.
故填：.
【分析】根据数列的递推关系式，分别计算出第一项、第二项、第三项和第四项，再计算这前4项和即可得到答案；
10．（2024高二下·浦东期末）函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，令解得或，
时，，当时，，
在上单调递增，在上递减，
，
当时，，当时，，，
函数的值域为
故填：
【分析】利用导数判断函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再由函数单调性求函数最小值及最大值即可求解.
11．（2024高二下·浦东期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ．
【答案】或
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：因为1、x、y成等比数列，而且x、y、15成等差数列，
所以，联立消去可得，解得或．
因为当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，成立；
当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，成立．
综上，x、y的值分别是或．
故填：或．
【分析】根据已知条件1、x、y成等比数列，而且x、y、15成等差数列，可得，从而得解．
12．（2024高二下·浦东期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，因为，所以，则，则在上单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
令.则，
所以，所以
所以的取值范围为.
故填：.
【分析】根据题意可知在函数的单调递增区间，对函数求导，将问题转化为导函数恒成立问题，即可求解.
13．（2024高二下·浦东期末）下列说法正确的是( ).
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：如图为函数在区间上的图象：
对于A：因为极大值极小值，所以选项A错误；
对于B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故选项B正确；
如上图所示，因为函数在区间上的极大值，而不是最大大值，所以选项C错误；
同时，最大值不是极大值，故选项D错误．
故选：B.
【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．
14．（2024高二下·浦东期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
对于选项A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；
对于选项B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；
对于选项C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；
对于选项D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；
故选：D
【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断选项ABC，再由等比数列的定义（等比数列是指从第二项起， 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列）即可判断D
15．（2024高二下·浦东期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为由函数图象可知，
函数在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
【分析】先观察函数图象来直观判断导函数的符号，进而求得不等式的解集.
16．（2024高二下·浦东期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知条件，令，等式左右两边同时除以，
可得，所以结论①正确；
因为，
则当时，，不适合上式，
所以，所以结论②正确.
故选：C.
【分析】利用，可判断结论①，当时，，，可求判断结论②.
17．（2024高二下·浦东期末）（1）求函数的单调区间．
（2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列．
【答案】解：（1）因为，所以单调递增，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，则，
则
，
即，所以，
所以数列是严格减数列.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）即可得到结果；
（2）根据题意，由即可证明.
18．（2024高二下·浦东期末）已知数列为等比数列，，．
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为数列为等比数列，则，即，又，
所以，所以.
（2）解：由（1）可知，，则，
设数列的前n项和，
则
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意，由已知条件和等比数列的通项公式可得，然后将代入计算，即可得出答案；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
19．（2024高二下·浦东期末）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？
【答案】解：如图作圆锥（圆柱）的轴截面，设圆柱的底面半径为，
由∽，所以，所以．
由此得，圆柱体的体积．
由题意，
求导可得
，
令，可得或（舍）．
当，，单调递增，
当当，，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱的结构特征
【解析】【分析】先设出圆柱的底面半径，利用三角形相似，推出的表达式，然后求出体积表达式，求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）可得体积最大值时的圆柱体的高，进而可得最大体积．
20．（2024高二下·浦东期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性．
【答案】（1）解：由题意，
在中，，
中，
当时，
，，
因为，，
所以曲线在点处切线的斜率为
（2）解：由（1）得，在中，，
当时，
因为，
所以即，此时，
因为当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；
（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.
21．（2024高二下·浦东期末）已知等差数列和等比数列，，，，
（1）求通项公式、；
（2）求满足的正整数m．
【答案】（1）解：设等差数列公差为，等比数列的公比为．
由，可得，
解得，则
（2）解：由，可得
即 （)
当时，成立；
当时，不成立；
当时，不成立；
当时，且为奇数时，显然()式不成立；
当时，且为偶数时，设，
，
即，可得()式不成立．
综上所得，．
【知识点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可以列出关于参数与的方程，解方程求得公差和公比，再利用通项公式即可求解.
（2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论．
1 / 1上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·浦东期末）2与8的等比中项是 .
2．（2024高二下·浦东期末）若，则 ．
3．（2024高二下·浦东期末）等差数列中，，则 ．
4．（2024高二下·浦东期末）若，则 ．
5．（2024高二下·浦东期末）等差数列中，，，则 ．
6．（2024高二下·浦东期末）函数的驻点是 ．
7．（2024高二下·浦东期末）设数列的前项和为，，则 .
8．（2024高二下·浦东期末）函数的极值点的个数是 ．
9．（2024高二下·浦东期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ．
10．（2024高二下·浦东期末）函数的值域为 ．
11．（2024高二下·浦东期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ．
12．（2024高二下·浦东期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ．
13．（2024高二下·浦东期末）下列说法正确的是( ).
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
14．（2024高二下·浦东期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024高二下·浦东期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024高二下·浦东期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错
17．（2024高二下·浦东期末）（1）求函数的单调区间．
（2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列．
18．（2024高二下·浦东期末）已知数列为等比数列，，．
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和．
19．（2024高二下·浦东期末）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？
20．（2024高二下·浦东期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性．
21．（2024高二下·浦东期末）已知等差数列和等比数列，，，，
（1）求通项公式、；
（2）求满足的正整数m．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设2与8的等比中项是，则，．
故填：．
【分析】根据等比中项的定义（等比中项是指在等比数列中， 如果插入一个数G使得a、 G、 b成等比数列， 那么G就叫做a、 b的等比中项）求解．
2．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故填：
【分析】利用求导运算法则，对函数求导，可得，将代入中计算，即可得出答案.
3．【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列中，，
所以等差数列的公差，所以．
故填：0.
【分析】利用等差数列的通项公式和已知条件求解即可得出答案．
4．【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：因为，所以.
故填：.
【分析】利用积的导数法则（两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数， 加上第一个函数乘以第二个函数的导数）可求解.
5．【答案】260
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：利用等差数列求和公式：可得，
．
故填：260.
【分析】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，根据等差数列求和公式求解即可．
6．【答案】
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，令，解得，
故填：.
【分析】对已知条件提供的函数利用求导运算法则求导，根据导数即可得出答案.
7．【答案】2n
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为当时，，
而且当时，，
所以，
验证，当时，计算可得也符合上式，
所以.
故填：
【分析】利用数列的递推公式求得.
8．【答案】0
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
由，函数在和都单调递增，没有极值点，
函数的极值点的个数为0.
故答案为：0.
【分析】利用导数求函数单调区间（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），判断极值点的个数.
9．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，.
所以当时；
当时；
当时；
所以数列的前4项和等于.
故填：.
【分析】根据数列的递推关系式，分别计算出第一项、第二项、第三项和第四项，再计算这前4项和即可得到答案；
10．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，令解得或，
时，，当时，，
在上单调递增，在上递减，
，
当时，，当时，，，
函数的值域为
故填：
【分析】利用导数判断函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再由函数单调性求函数最小值及最大值即可求解.
11．【答案】或
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：因为1、x、y成等比数列，而且x、y、15成等差数列，
所以，联立消去可得，解得或．
因为当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，成立；
当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，成立．
综上，x、y的值分别是或．
故填：或．
【分析】根据已知条件1、x、y成等比数列，而且x、y、15成等差数列，可得，从而得解．
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，因为，所以，则，则在上单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
令.则，
所以，所以
所以的取值范围为.
故填：.
【分析】根据题意可知在函数的单调递增区间，对函数求导，将问题转化为导函数恒成立问题，即可求解.
13．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：如图为函数在区间上的图象：
对于A：因为极大值极小值，所以选项A错误；
对于B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故选项B正确；
如上图所示，因为函数在区间上的极大值，而不是最大大值，所以选项C错误；
同时，最大值不是极大值，故选项D错误．
故选：B.
【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．
14．【答案】D
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
对于选项A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；
对于选项B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；
对于选项C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；
对于选项D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；
故选：D
【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断选项ABC，再由等比数列的定义（等比数列是指从第二项起， 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列）即可判断D
15．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：因为由函数图象可知，
函数在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
【分析】先观察函数图象来直观判断导函数的符号，进而求得不等式的解集.
16．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知条件，令，等式左右两边同时除以，
可得，所以结论①正确；
因为，
则当时，，不适合上式，
所以，所以结论②正确.
故选：C.
【分析】利用，可判断结论①，当时，，，可求判断结论②.
17．【答案】解：（1）因为，所以单调递增，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，则，
则
，
即，所以，
所以数列是严格减数列.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）即可得到结果；
（2）根据题意，由即可证明.
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为数列为等比数列，则，即，又，
所以，所以.
（2）解：由（1）可知，，则，
设数列的前n项和，
则
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意，由已知条件和等比数列的通项公式可得，然后将代入计算，即可得出答案；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
19．【答案】解：如图作圆锥（圆柱）的轴截面，设圆柱的底面半径为，
由∽，所以，所以．
由此得，圆柱体的体积．
由题意，
求导可得
，
令，可得或（舍）．
当，，单调递增，
当当，，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱的结构特征
【解析】【分析】先设出圆柱的底面半径，利用三角形相似，推出的表达式，然后求出体积表达式，求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）可得体积最大值时的圆柱体的高，进而可得最大体积．
20．【答案】（1）解：由题意，
在中，，
中，
当时，
，，
因为，，
所以曲线在点处切线的斜率为
（2）解：由（1）得，在中，，
当时，
因为，
所以即，此时，
因为当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；
（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.
21．【答案】（1）解：设等差数列公差为，等比数列的公比为．
由，可得，
解得，则
（2）解：由，可得
即 （)
当时，成立；
当时，不成立；
当时，不成立；
当时，且为奇数时，显然()式不成立；
当时，且为偶数时，设，
，
即，可得()式不成立．
综上所得，．
【知识点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可以列出关于参数与的方程，解方程求得公差和公比，再利用通项公式即可求解.
（2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论．
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