广东省汕尾市部分学校2023-2024学年高一下学期2月开学考试数学试卷
1．（2024高一下·汕尾开学考）已知集合，则（ ）
A．{-2，-1，0，1，2} B．{0，1}
C．{-1，1，2} D．{-1，0，2}
2．（2024高一下·汕尾开学考）已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．（2024高一下·汕尾开学考）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·汕尾开学考）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·汕尾开学考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数则的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024高一下·汕尾开学考）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟
8．（2024高一下·汕尾开学考）设函数，其中，，，为已知实常数，，若，则（ ）
A．对任意实数， B．存在实数，
C．对任意实数， D．存在实数，
9．（2024高一下·汕尾开学考）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
10．（2024高一下·汕尾开学考）下列命题正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．若，则的最小值是4
C．函数的图象恒过点
D．若的定义域是，则的定义域是
11．（2024高一下·汕尾开学考）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候 全天时 高精度 高定位 导航 授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，则的最小值为
12．（2024高一下·汕尾开学考）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 .
13．（2024高一下·汕尾开学考）已知，均为锐角，则 ．
14．（2024高一下·汕尾开学考） 若、是关于的方程的两个根，则 .
15．（2024高一下·汕尾开学考）设命题p：，q：．
（1）若，判断p是q的什么条件；
（2）若是的 ，求m的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
16．（2024高一下·汕尾开学考）已知不等式的解集为
（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
17．（2024高一下·汕尾开学考）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且.
（1）求证：为奇函数；
（2）求在上的最小值；
（3）解关于的不等式：.
18．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间上的最值.
19．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数且函数是偶函数
（1）求的解析式
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故选：B.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．【答案】A
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，
若p：是的充分条件，
则当且仅当，对比选项可知实数可以是3.
故选：A.
【分析】由题意结合绝对值不等式求解方法得出命题p中x的取值范围，再结合充分条件的判断方法，进而得出满足要求的实数a的值.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，由于，可得，
当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误；
对于B，若可得
则，可知选项B错误；
对于C，由于，可得，可知选项C正确；
对于D，若可得则，可知选项D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而判断出选项A和选项C，再利用赋值举反例比较大小的方法，从而判断出选项B和选项D，进而找出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：当时，，设，，
关于原点对称的函数解析式为，
当时，，，故，
故，，
要想存在“隐对称点”，则，与，有交点，
联立得，，即，
因为，当且仅当时取等号，
故实数m的取值范围是.
故选：B.
【分析】利用奇函数的定义求出，关于原点对称的函数解析式，，再根据题意结合“隐对称点”的定义，只需，与，有交点，再由参变分离结合基本不等式求最值的方法，从而求出，进而求出实数m的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，
即，解得，
又因为，所以，，
所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C.
【分析】根据题意得出，再结合一元二次不等式求解方法和题中x的取值范围，进而求交集得出这批台灯的销售单价的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由分段函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，
由解得，
由解得或，，
令，得，
或或，
结合图象可知：当时，有1个解；当时有2个解；
当时，由于，所以有个解，
故的零点个数为6.
故选：C.
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的大致图象，再由，逐层进行方程求解，从而结合分段函数的图象以及函数的零点与方程的解的等价关系，从而得出函数的零点个数.
7．【答案】A
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，
故解析式为，令，解得，
化简得，结合，可得.
故选：A.
【分析】由题意结合函数的模型和代入法解出解析式中的参数，从而得出函数的解析式，再结合指数式与对数式的互化公式和对数不等式求解方法得出该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间.
8．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意知 ，
即 ，
即 ，
两式两边平方后可得，故或，
若 ，则 ，故，
此时 ；
若 ，则 ，故 ，
此时 ；
若 或 ，则 ，故对任意实数，，
则选项A正确，选项错误.
故选：A.
【分析】根据已知条件和，可推出，再利用平方法整理化简后可得或，再结合分类讨论的方法和三角函数诱导公式化简，从而判断出选项A，B，C，D的正确性，进而找出正确的选项.
9．【答案】A,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为或，且3，4是方程的两个解，
，，
A、，A正确；
B、 不等式，，又，，不等式的解集为 ，B错误；
C、 不等式，，又，求得或，
不等式的解集为或 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据一元二次不等式与二次方程关系得到3，4是方程的两个解，再利用根与系数的关系求得，进而代入分析选项.
10．【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，若成立，则不一定成立，
反之，若成立，则一定成立，
所以是的必要不充分条件，所以，选项A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当时等式成立，所以选项B错误；
对于C，令，得，且，
所以函数的图象恒过点，所以选项C正确；
对于D，因为函数的定义域为，所以在中，解得，
所以函数的定义域为，所以选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据已知条件和充分条件和必要条件的判断方法判断出选项A；根据基本不等式和常数代换技巧求解最值的方法判断出选项B；根据对数函数的图象性质求解出恒过的定点坐标，从而判断出选项C；利用抽象函数定义域的求解方法判断出选项D，从而找出正确的命题.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为的最小正周期为，
而向右平移单位可得，
故函数的最小正周期为，故选项A正确；
对于B，在的图象上取一点，
其关于点对称的点不在的图象上，
所以，函数的图象不关于点对称，故选项B不正确；
对于C，因为，
所以函数图象的一条对称轴是，故选项C正确；
对于D，因为，所以，
由A知，函数的最小正周期为，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和正弦型函数的最小正周期公式求出周期性，再通过正弦型函数的图象变换得出函数的最小正周期，从而判断出选项A；根据点关于点对称的点不在函数图象上，从而判断出选项B；根据和函数的图象的对称性，从而判断出选项C；根据函数的最大值结合推出，再根据函数的最小正周期可得的最小值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即函数是以3为周期的函数，
所以，，
又因为的图象关于点对称，所以，
因为，所以，
所以关于对称，即为偶函数，则，
所以，
所以.
故填：1.
【分析】由已知条件和以及周期函数的定义，从而可得函数的周期，再由函数的周期性可得、的值，再结合的图象关于点对称与可得关于对称，进而得出的值，从而运用函数的周期性求值得出答案.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，均为锐角，
所以，则，.
故填： ．
【分析】由已知条件和角的取值范围和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出的值．
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的平方关系，三角函数的诱导公式.先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
15．【答案】（1）解：记集合，，
当时，，
由于P真包含于Q，所以，p是q的充分不必要条件.
（2）解：设选①，若是的充分不必要条件，
等价于p是q的必要不充分条件，则B真含于A，
∵，
当时，，B真包含于A不可能；
当时，，由B真包含于A，
得出.
选②，若是的必要不充分条件，
等价于p是q的充分不必要条件，则A真含于B，
∵，
当时，，A真包含于B不可能；
当时，，由A真包含于B，得.
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据m的值和一元二次不等式求解方法得出命题p和命题q中x的取值范围，再结合集合的真包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，进而得出结果.
（1）通过选①和选②，再根据条件转化结论，从而由分类讨论求出集合，再根据集合的真包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，进而得出实数m的取值范围.
（1）记集合，，
当时，，
由于P真含于Q，∴p是q的充分不必要条件.
（2）设，
选①，若是的充分不必要条件，等价于p是q的必要不充分条件，则B真含于A.
∵，当时，，B真含于A不可能；
当时，，由B真含于A，得.
选②，若是的必要不充分条件，等价于p是q的充分不必要条件，则A真含于B，
∵，当时，，A真含于B不可能；
当时，，由A真含于B，得.
16．【答案】（1）解：，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，
所以，解得，
因为，
故，
不等式有且仅有10个整数解，
故，
所以的取值范围为.
（2）解：当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为；
当时，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或；
当时，
，则无解；
当时，
，则.
综上所述：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合一元二次不等式和一元二次方程的关系，可得方程的2个根，再由韦达定理和不等式恒成立问题求解方法，从而解得，进而得出不等式，再结合不等式有且仅有10个整数解得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件，分、、、、、进而讨论，从而解含参数不等式得出答案.
（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为；
（2）1 当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2 当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
3 当时，
，则无解.
4 当时，
，则.
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
17．【答案】（1）证明：因为函数的定义域为，
令，则，解得.
令，则，则，
所以，函数为奇函数.
（2）解：任取，则，
因为当时，，则，
由（1）知，，
即，所以，函数在上单调递减，
所以，函数在上的最小值为，
因为，，
，
所以，，
即函数在上的最小值为.
（3）解：由（1）知，，
因为函数在上单调递减，则，
即，解得，
即不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用赋值法和转化的方法，再由奇函数的定义证出函数为奇函数.
（2）先利用单调函数的定义证明函数为上的单调性，从而得出函数在上的最小值为，再根据题意计算出的值，从而得出函数在上的最小值.
（3）由（1）得出，再将所求不等式变形为，再利用函数的单调性可得出关于的一元二次不等式，再解一元二次不等式求出关于的不等式：.
（1）证明：因为函数的定义域为，
令，则，解得.
令，则，则，
所以，函数为奇函数.
（2）解：任取，则，
因为当时，，则，
由（1）知，，
即，所以，函数在上单调递减，
所以，函数在上的最小值为，
因为，，
，所以，，
即函数在上的最小值为.
（3）解：由（1）知，，
所以，，
因为函数在上单调递减，则，即，
解得，即不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：∵，
由函数的最小正周期T满足，得出，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，，
∴函数的单调增区间为，.
（2）解：∵，∴，，
由，
∴当或时，；
当时，.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式和正弦型函数的图象的对称性，再解一元一次不等式，从而由交集运算法则得出函数的单调递增区间．
（2）由的取值范围结合不等式的基本性质求出的取值范围，再根据正弦型函数的图象求最值的方法得出函数在区间上的最值.
（1）∵，
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，∴，，
由，∴当或时，，当时，
19．【答案】（1）解：将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，
所以，函数的解析式为.
（2）解：令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
令，，则，
从而，
所以，当时，取到最大值为，所以.
（3）解：令，则，
方程可化为，
即，也即，
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，
其图象关于y轴对称，
所以，函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以，
所以，解得或，
由，得，
由，得，
所以该函数的零点为0，，2.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的图象的对称性和函数的图象变换，从而得出m的值，进而得出函数f(x)的解析式，从而得出函数g(x)的解析式.
（2）令，由x的取值范围得出t的取值范围，再由分离参数和不等式恒成立问题求解方法，即可得到，再利用二次函数的图象求最值的方法求出的最大值，进而得出n的取值范围.
（3）令，再将方程化为关于的方程，再由函数的零点与方程的根的等价关系，从而由偶函数的对称性知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得的值，从而求得其他的根，进而求得该函数的零点.
（1）将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，所以.
（2）令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立.所以.
令，，则，从而，
所以当时，取到最大值为，所以.
（3）令，则，
方程可化为，
即，也即.
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以.
所以，解得或.由，得，
由，得，所以该函数的零点为0，，2.
1 / 1广东省汕尾市部分学校2023-2024学年高一下学期2月开学考试数学试卷
1．（2024高一下·汕尾开学考）已知集合，则（ ）
A．{-2，-1，0，1，2} B．{0，1}
C．{-1，1，2} D．{-1，0，2}
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故选：B.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．（2024高一下·汕尾开学考）已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】充分条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，
若p：是的充分条件，
则当且仅当，对比选项可知实数可以是3.
故选：A.
【分析】由题意结合绝对值不等式求解方法得出命题p中x的取值范围，再结合充分条件的判断方法，进而得出满足要求的实数a的值.
3．（2024高一下·汕尾开学考）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，由于，可得，
当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误；
对于B，若可得
则，可知选项B错误；
对于C，由于，可得，可知选项C正确；
对于D，若可得则，可知选项D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而判断出选项A和选项C，再利用赋值举反例比较大小的方法，从而判断出选项B和选项D，进而找出正确的选项.
4．（2024高一下·汕尾开学考）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：当时，，设，，
关于原点对称的函数解析式为，
当时，，，故，
故，，
要想存在“隐对称点”，则，与，有交点，
联立得，，即，
因为，当且仅当时取等号，
故实数m的取值范围是.
故选：B.
【分析】利用奇函数的定义求出，关于原点对称的函数解析式，，再根据题意结合“隐对称点”的定义，只需，与，有交点，再由参变分离结合基本不等式求最值的方法，从而求出，进而求出实数m的取值范围.
5．（2024高一下·汕尾开学考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，
即，解得，
又因为，所以，，
所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C.
【分析】根据题意得出，再结合一元二次不等式求解方法和题中x的取值范围，进而求交集得出这批台灯的销售单价的取值范围.
6．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数则的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由分段函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，
由解得，
由解得或，，
令，得，
或或，
结合图象可知：当时，有1个解；当时有2个解；
当时，由于，所以有个解，
故的零点个数为6.
故选：C.
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的大致图象，再由，逐层进行方程求解，从而结合分段函数的图象以及函数的零点与方程的解的等价关系，从而得出函数的零点个数.
7．（2024高一下·汕尾开学考）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟
【答案】A
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，
故解析式为，令，解得，
化简得，结合，可得.
故选：A.
【分析】由题意结合函数的模型和代入法解出解析式中的参数，从而得出函数的解析式，再结合指数式与对数式的互化公式和对数不等式求解方法得出该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间.
8．（2024高一下·汕尾开学考）设函数，其中，，，为已知实常数，，若，则（ ）
A．对任意实数， B．存在实数，
C．对任意实数， D．存在实数，
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意知 ，
即 ，
即 ，
两式两边平方后可得，故或，
若 ，则 ，故，
此时 ；
若 ，则 ，故 ，
此时 ；
若 或 ，则 ，故对任意实数，，
则选项A正确，选项错误.
故选：A.
【分析】根据已知条件和，可推出，再利用平方法整理化简后可得或，再结合分类讨论的方法和三角函数诱导公式化简，从而判断出选项A，B，C，D的正确性，进而找出正确的选项.
9．（2024高一下·汕尾开学考）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】A,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为或，且3，4是方程的两个解，
，，
A、，A正确；
B、 不等式，，又，，不等式的解集为 ，B错误；
C、 不等式，，又，求得或，
不等式的解集为或 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据一元二次不等式与二次方程关系得到3，4是方程的两个解，再利用根与系数的关系求得，进而代入分析选项.
10．（2024高一下·汕尾开学考）下列命题正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．若，则的最小值是4
C．函数的图象恒过点
D．若的定义域是，则的定义域是
【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，若成立，则不一定成立，
反之，若成立，则一定成立，
所以是的必要不充分条件，所以，选项A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当时等式成立，所以选项B错误；
对于C，令，得，且，
所以函数的图象恒过点，所以选项C正确；
对于D，因为函数的定义域为，所以在中，解得，
所以函数的定义域为，所以选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据已知条件和充分条件和必要条件的判断方法判断出选项A；根据基本不等式和常数代换技巧求解最值的方法判断出选项B；根据对数函数的图象性质求解出恒过的定点坐标，从而判断出选项C；利用抽象函数定义域的求解方法判断出选项D，从而找出正确的命题.
11．（2024高一下·汕尾开学考）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候 全天时 高精度 高定位 导航 授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为的最小正周期为，
而向右平移单位可得，
故函数的最小正周期为，故选项A正确；
对于B，在的图象上取一点，
其关于点对称的点不在的图象上，
所以，函数的图象不关于点对称，故选项B不正确；
对于C，因为，
所以函数图象的一条对称轴是，故选项C正确；
对于D，因为，所以，
由A知，函数的最小正周期为，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和正弦型函数的最小正周期公式求出周期性，再通过正弦型函数的图象变换得出函数的最小正周期，从而判断出选项A；根据点关于点对称的点不在函数图象上，从而判断出选项B；根据和函数的图象的对称性，从而判断出选项C；根据函数的最大值结合推出，再根据函数的最小正周期可得的最小值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高一下·汕尾开学考）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 .
【答案】1
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即函数是以3为周期的函数，
所以，，
又因为的图象关于点对称，所以，
因为，所以，
所以关于对称，即为偶函数，则，
所以，
所以.
故填：1.
【分析】由已知条件和以及周期函数的定义，从而可得函数的周期，再由函数的周期性可得、的值，再结合的图象关于点对称与可得关于对称，进而得出的值，从而运用函数的周期性求值得出答案.
13．（2024高一下·汕尾开学考）已知，均为锐角，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，均为锐角，
所以，则，.
故填： ．
【分析】由已知条件和角的取值范围和不等式的基本性质，再结合同角三角函数基本关系式和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出的值．
14．（2024高一下·汕尾开学考） 若、是关于的方程的两个根，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的平方关系，三角函数的诱导公式.先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
15．（2024高一下·汕尾开学考）设命题p：，q：．
（1）若，判断p是q的什么条件；
（2）若是的 ，求m的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：记集合，，
当时，，
由于P真包含于Q，所以，p是q的充分不必要条件.
（2）解：设选①，若是的充分不必要条件，
等价于p是q的必要不充分条件，则B真含于A，
∵，
当时，，B真包含于A不可能；
当时，，由B真包含于A，
得出.
选②，若是的必要不充分条件，
等价于p是q的充分不必要条件，则A真含于B，
∵，
当时，，A真包含于B不可能；
当时，，由A真包含于B，得.
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据m的值和一元二次不等式求解方法得出命题p和命题q中x的取值范围，再结合集合的真包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，进而得出结果.
（1）通过选①和选②，再根据条件转化结论，从而由分类讨论求出集合，再根据集合的真包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，进而得出实数m的取值范围.
（1）记集合，，
当时，，
由于P真含于Q，∴p是q的充分不必要条件.
（2）设，
选①，若是的充分不必要条件，等价于p是q的必要不充分条件，则B真含于A.
∵，当时，，B真含于A不可能；
当时，，由B真含于A，得.
选②，若是的必要不充分条件，等价于p是q的充分不必要条件，则A真含于B，
∵，当时，，A真含于B不可能；
当时，，由A真含于B，得.
16．（2024高一下·汕尾开学考）已知不等式的解集为
（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
【答案】（1）解：，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，
所以，解得，
因为，
故，
不等式有且仅有10个整数解，
故，
所以的取值范围为.
（2）解：当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为；
当时，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或；
当时，
，则无解；
当时，
，则.
综上所述：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合一元二次不等式和一元二次方程的关系，可得方程的2个根，再由韦达定理和不等式恒成立问题求解方法，从而解得，进而得出不等式，再结合不等式有且仅有10个整数解得出实数a的取值范围.
（2）利用已知条件，分、、、、、进而讨论，从而解含参数不等式得出答案.
（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为；
（2）1 当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2 当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
3 当时，
，则无解.
4 当时，
，则.
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
17．（2024高一下·汕尾开学考）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且.
（1）求证：为奇函数；
（2）求在上的最小值；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）证明：因为函数的定义域为，
令，则，解得.
令，则，则，
所以，函数为奇函数.
（2）解：任取，则，
因为当时，，则，
由（1）知，，
即，所以，函数在上单调递减，
所以，函数在上的最小值为，
因为，，
，
所以，，
即函数在上的最小值为.
（3）解：由（1）知，，
因为函数在上单调递减，则，
即，解得，
即不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）利用赋值法和转化的方法，再由奇函数的定义证出函数为奇函数.
（2）先利用单调函数的定义证明函数为上的单调性，从而得出函数在上的最小值为，再根据题意计算出的值，从而得出函数在上的最小值.
（3）由（1）得出，再将所求不等式变形为，再利用函数的单调性可得出关于的一元二次不等式，再解一元二次不等式求出关于的不等式：.
（1）证明：因为函数的定义域为，
令，则，解得.
令，则，则，
所以，函数为奇函数.
（2）解：任取，则，
因为当时，，则，
由（1）知，，
即，所以，函数在上单调递减，
所以，函数在上的最小值为，
因为，，
，所以，，
即函数在上的最小值为.
（3）解：由（1）知，，
所以，，
因为函数在上单调递减，则，即，
解得，即不等式的解集为.
18．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：∵，
由函数的最小正周期T满足，得出，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，，
∴函数的单调增区间为，.
（2）解：∵，∴，，
由，
∴当或时，；
当时，.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式和正弦型函数的图象的对称性，再解一元一次不等式，从而由交集运算法则得出函数的单调递增区间．
（2）由的取值范围结合不等式的基本性质求出的取值范围，再根据正弦型函数的图象求最值的方法得出函数在区间上的最值.
（1）∵，
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，∴，，
由，∴当或时，，当时，
19．（2024高一下·汕尾开学考）已知函数且函数是偶函数
（1）求的解析式
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
【答案】（1）解：将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，
所以，函数的解析式为.
（2）解：令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
令，，则，
从而，
所以，当时，取到最大值为，所以.
（3）解：令，则，
方程可化为，
即，也即，
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，
其图象关于y轴对称，
所以，函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以，
所以，解得或，
由，得，
由，得，
所以该函数的零点为0，，2.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的图象的对称性和函数的图象变换，从而得出m的值，进而得出函数f(x)的解析式，从而得出函数g(x)的解析式.
（2）令，由x的取值范围得出t的取值范围，再由分离参数和不等式恒成立问题求解方法，即可得到，再利用二次函数的图象求最值的方法求出的最大值，进而得出n的取值范围.
（3）令，再将方程化为关于的方程，再由函数的零点与方程的根的等价关系，从而由偶函数的对称性知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得的值，从而求得其他的根，进而求得该函数的零点.
（1）将向右平移2个单位得到函数，
因为函数是偶函数，所以函数关于对称，
所以，所以，所以，所以.
（2）令，因为，所以，
不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立.所以.
令，，则，从而，
所以当时，取到最大值为，所以.
（3）令，则，
方程可化为，
即，也即.
因为函数恰好有三个零点，
所以方程有三个实数根，
因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数必有零点0，此时，
即方程有一个根为2，所以.
所以，解得或.由，得，
由，得，所以该函数的零点为0，，2.
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