浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·金东期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：C.
【分析】解不等式，求出集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·金东期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：复数的共轭复数是.
故答案为：D.
【分析】根据共轭复数的定义直接判断即可.
3．（2024高二下·金东期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
则函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式有意义，列不等式求解即可得函数的定义域.
4．（2024高二下·金东期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，，可得
故答案为：A.
【分析】根据正切函数值以及角的范围直接写出对应的角即可.
5．（2024高二下·金东期中）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据对数的运算性质化简求值即可.
6．（2024高二下·金东期中）函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的．
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
7．（2024高二下·金东期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ）
A．两人都中靶的概率为0.63 B．两人都中靶的概率为0.70
C．两人都中靶的概率为0.72 D．两人都中靶的概率为0.74
【答案】C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得： 甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为，解得，
则两人都中靶的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得的值，再求两人都中靶的概率即可.
8．（2024高二下·金东期中）如果一个棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知球为正方体的外接球，则外接球的半径，
因为球的表面积为，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的体对角线为其外接球的直径，再结合球的表面积公式求解即可.
9．（2024高二下·金东期中）在中，角的对边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，利用正弦定理可得： ，
则，因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用正弦定理，结合求解即可.
10．（2024高二下·金东期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、若，易知，图中明显零点不对称，故A错误；
B、若，易知，图中明显零点不对称，故B错误；
C、若，当时，，易知在上单调递增；
当时，，，
令，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故，则在上恒成立，
所以在上单调递减，故C正确；
D、若，，，
显然，，则在上并不单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由图像，利用特殊值法与导数研究函数的单调性判断即可.
11．（2024高二下·金东期中）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为，且，，则，
即异面直线与所成的角的大小为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角即可.
12．（2024高二下·金东期中）已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
①当时，若，，；
若，，，
当时，，
，；
当时，，
，；
②当时，函数，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，且，则，；
③当时，函数，对称轴为，在上单调递增，
且，则，则，
因为，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先将函数化为分段函数，再对a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值即可.
13．（2024高二下·金东期中）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量加法运算；向量加减混合运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、易知四边形为正方形，则，故A正确；
B、因为为的中点，所以，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、因为N为线段DC的中点，所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由图，直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理求解判断即可.
14．（2024高二下·金东期中）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（ ）
A．直方图中的的值为0.0040
B．这100户居民月用电的平均数约为186度
C．这100户居民月用电的中位数约为200度
D．这100户居民月用电的众数约为175度
【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、频率分布直方图中每个小矩形面积之和为1，
则，解得，故A错误；
B、这100户居民月用电的平均数为，故B正确；
C、，，，
因为，所以中位数位于区间范围，设中位数为，则，解得，故C错误；
D、易知月平均用电量的众数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据频率分布直方图中小矩形面积和为1即可求出即可判断A；根据平均数、中位数和众数计算公式求解即可判断BCD.
15．（2024高二下·金东期中）在锐角中，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、中，，由正弦定理可得，故A正确；
B、因为为锐角三角形，所以，则，由正弦定理可得，故B正确；
C、因为锐角三角形，所以中，所以，
则，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据正弦定理即可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式即可判断C；取特殊值即可判断D.
16．（2024高二下·金东期中）已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与EH所成的角的大小为45°
C．平面
D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：易知平面，因为平面，所以，
在中，，又因为点O为的中点，
所以，又，设，则，
即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点，
A、因为G，H分别是棱、的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为，所以为与EH所成的角，又因为E，H分别是棱、的中点，所以大小为45°，故B正确；
C、因为E，H分别是棱、的中点，所以，又因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又因为，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；
D、取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，如图所示：
因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，
在等腰中，，
则平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据球的性质结合勾股定理推得E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断即可.
17．（2024高二下·金东期中）若：；：，则是成立的 条件.
【答案】必要不充分
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：命题：，：，因为是的子区间，所以是成立的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【分析】由题意，根据充分、必要条件的定义判断即可.
18．（2024高二下·金东期中）已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，
又因为，所以，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量模的计算公式求解即可.
19．（2024高二下·金东期中）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为是的中点，所以，
又因为，，所以三点共线，所以，
又因为，所以，
则，即，
则.
故答案为：.
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式求解即可.
20．（2024高二下·金东期中）已知函数，那么 若存在实数，使得，则的个数是 .
【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
则；
设，则，
当时，，解得，
当时，，解得，则或；
当时，由或，解得或；
当时，或，
解得或或，
综上可知，符合条件的有5个.
故答案为：；.
【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求或，再解方程或，可求得的值即可求解.
21．（2024高二下·金东期中）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：
空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200.250]
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 20 40 m 10 5
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.
【答案】（1）解：由图可知：空气质量指数在的频率为，天数为20天，则，
，
频率分布直方图如下：
（2）解：由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
设中位数为，则，解得.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由题可知：空气质量指数在的频数和频率，求出以及，即可得频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接计算即可.
（1）由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，
所以，
则可得频率分布直方图如下：
（2）由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
所以中位数在内，设为，
则，解得.
22．（2024高二下·金东期中）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间．
【答案】（1）解：
，
则的最小正周期为；
（2）解：由题意可知，
因为余弦函数的单调增区间为，
所以，解得，
则的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式展开结合余弦二倍角公式化简函数，最后利用求解最小正周期即可；
（2）先根据平移法则求出，再根据三角函数单调区间的求法解不等式即可得解.
（1）由题意有，
，
结合二倍角公式，
有，
又且，
因此；
（2）由题意，
又余弦函数的单调增区间为，
依题意有，
解得，
因此的单调递增区间为.
23．（2024高二下·金东期中）已知函数，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数，
当时，，则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，在上单调递增，
综上所述：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）解：因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
构造函数，则当时，，即在上单调递增，
又因为，
当时，，对称轴为，
若，即时，在上单调递增，
若，即时，，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）先取绝对值将函数写成分段函数，再结合二次函数的性质得到函数的单调区间；
（2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上的单调性，即可得解.
（1）当时，
当时，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，则在上单调递增，
综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
令，则当时，
即在上单调递增，
又，
当时，对称轴为，
若，即时在上单调递增，
若，即时，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.
1 / 1浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·金东期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·金东期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·金东期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·金东期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·金东期中）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
6．（2024高二下·金东期中）函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的．
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．（2024高二下·金东期中）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ）
A．两人都中靶的概率为0.63 B．两人都中靶的概率为0.70
C．两人都中靶的概率为0.72 D．两人都中靶的概率为0.74
8．（2024高二下·金东期中）如果一个棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024高二下·金东期中）在中，角的对边分别为.若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·金东期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·金东期中）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·金东期中）已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高二下·金东期中）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024高二下·金东期中）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（ ）
A．直方图中的的值为0.0040
B．这100户居民月用电的平均数约为186度
C．这100户居民月用电的中位数约为200度
D．这100户居民月用电的众数约为175度
15．（2024高二下·金东期中）在锐角中，有（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024高二下·金东期中）已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与EH所成的角的大小为45°
C．平面
D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为
17．（2024高二下·金东期中）若：；：，则是成立的 条件.
18．（2024高二下·金东期中）已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则 .
19．（2024高二下·金东期中）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．
20．（2024高二下·金东期中）已知函数，那么 若存在实数，使得，则的个数是 .
21．（2024高二下·金东期中）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：
空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200.250]
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 20 40 m 10 5
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.
22．（2024高二下·金东期中）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间．
23．（2024高二下·金东期中）已知函数，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：C.
【分析】解不等式，求出集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】共轭复数
【解析】【解答】解：复数的共轭复数是.
故答案为：D.
【分析】根据共轭复数的定义直接判断即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
则函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式有意义，列不等式求解即可得函数的定义域.
4．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，，可得
故答案为：A.
【分析】根据正切函数值以及角的范围直接写出对应的角即可.
5．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据对数的运算性质化简求值即可.
6．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
7．【答案】C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得： 甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为，解得，
则两人都中靶的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得的值，再求两人都中靶的概率即可.
8．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知球为正方体的外接球，则外接球的半径，
因为球的表面积为，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据正方体的体对角线为其外接球的直径，再结合球的表面积公式求解即可.
9．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，利用正弦定理可得： ，
则，因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用正弦定理，结合求解即可.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、若，易知，图中明显零点不对称，故A错误；
B、若，易知，图中明显零点不对称，故B错误；
C、若，当时，，易知在上单调递增；
当时，，，
令，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故，则在上恒成立，
所以在上单调递减，故C正确；
D、若，，，
显然，，则在上并不单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由图像，利用特殊值法与导数研究函数的单调性判断即可.
11．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为，且，，则，
即异面直线与所成的角的大小为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角即可.
12．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
①当时，若，，；
若，，，
当时，，
，；
当时，，
，；
②当时，函数，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，且，则，；
③当时，函数，对称轴为，在上单调递增，
且，则，则，
因为，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先将函数化为分段函数，再对a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值即可.
13．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量加法运算；向量加减混合运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、易知四边形为正方形，则，故A正确；
B、因为为的中点，所以，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、因为N为线段DC的中点，所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由图，直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理求解判断即可.
14．【答案】B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、频率分布直方图中每个小矩形面积之和为1，
则，解得，故A错误；
B、这100户居民月用电的平均数为，故B正确；
C、，，，
因为，所以中位数位于区间范围，设中位数为，则，解得，故C错误；
D、易知月平均用电量的众数为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据频率分布直方图中小矩形面积和为1即可求出即可判断A；根据平均数、中位数和众数计算公式求解即可判断BCD.
15．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、中，，由正弦定理可得，故A正确；
B、因为为锐角三角形，所以，则，由正弦定理可得，故B正确；
C、因为锐角三角形，所以中，所以，
则，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据正弦定理即可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式即可判断C；取特殊值即可判断D.
16．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：易知平面，因为平面，所以，
在中，，又因为点O为的中点，
所以，又，设，则，
即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点，
A、因为G，H分别是棱、的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为，所以为与EH所成的角，又因为E，H分别是棱、的中点，所以大小为45°，故B正确；
C、因为E，H分别是棱、的中点，所以，又因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又因为，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；
D、取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，如图所示：
因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，
在等腰中，，
则平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据球的性质结合勾股定理推得E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断即可.
17．【答案】必要不充分
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：命题：，：，因为是的子区间，所以是成立的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【分析】由题意，根据充分、必要条件的定义判断即可.
18．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，
又因为，所以，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据投影向量的定义，结合向量模的计算公式求解即可.
19．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为是的中点，所以，
又因为，，所以三点共线，所以，
又因为，所以，
则，即，
则.
故答案为：.
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式求解即可.
20．【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
则；
设，则，
当时，，解得，
当时，，解得，则或；
当时，由或，解得或；
当时，或，
解得或或，
综上可知，符合条件的有5个.
故答案为：；.
【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求或，再解方程或，可求得的值即可求解.
21．【答案】（1）解：由图可知：空气质量指数在的频率为，天数为20天，则，
，
频率分布直方图如下：
（2）解：由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
设中位数为，则，解得.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由题可知：空气质量指数在的频数和频率，求出以及，即可得频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接计算即可.
（1）由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，
所以，
则可得频率分布直方图如下：
（2）由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
所以中位数在内，设为，
则，解得.
22．【答案】（1）解：
，
则的最小正周期为；
（2）解：由题意可知，
因为余弦函数的单调增区间为，
所以，解得，
则的单调递增区间为.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式展开结合余弦二倍角公式化简函数，最后利用求解最小正周期即可；
（2）先根据平移法则求出，再根据三角函数单调区间的求法解不等式即可得解.
（1）由题意有，
，
结合二倍角公式，
有，
又且，
因此；
（2）由题意，
又余弦函数的单调增区间为，
依题意有，
解得，
因此的单调递增区间为.
23．【答案】（1）解：当时，函数，
当时，，则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，在上单调递增，
综上所述：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）解：因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
构造函数，则当时，，即在上单调递增，
又因为，
当时，，对称轴为，
若，即时，在上单调递增，
若，即时，，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）先取绝对值将函数写成分段函数，再结合二次函数的性质得到函数的单调区间；
（2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上的单调性，即可得解.
（1）当时，
当时，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，则在上单调递增，
综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
令，则当时，
即在上单调递增，
又，
当时，对称轴为，
若，即时在上单调递增，
若，即时，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.
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