黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

哈师大青冈实验中学2024--2025学年度开学初考试
高二数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1.复数的实部为
A. B. C.2 D.
2.已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是
A.4 B. C. D.8
3.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是
A.至少有1个白球和都是白球
B.至少有1个白球和至少有1个红球
C.恰有1个白球和恰有2个白球
D.至少有1个白球和都是红球
4.为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为
A.800，360 B.600，108
C.800，108 D.600，360
5.已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为
A. B. C. D.
6.如图，在正四面体ABCD中.点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边.白塔作为阆中市的标志性建筑之一.当你登临顶层，会欣赏到阆中5A风景的全貌.感觉人仿佛在凌空飞翔.现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与.现测得， 米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为（ ）米.
A. B.10 C. D.30
8.如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是
A.若，，则
B.若，，，，则
C.若，，且，则
D.若，，且，则
11.已知函数，则下列说法正确的是
A.若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B.若，则当时，的值域为
C.若在区间上恰有个零点，则
D.若在区间上单调递增，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)
12.已知向量，且，则 .
13.一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干(如图1，底面处于水平状态将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为
14.在锐角中，角的对边分别为，三角形ABC的面积为，满足，若，则的最小值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.（本题满分13分）已知，，.
1)求与的夹角；
2)求与.
16.（本题满分15分）2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：
1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和
两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进
行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
17.（本题满分15分）甲 乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
1)求甲 乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；
2)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
18.（本题满分17分） 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
①； ②； ③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 .
1)求角；
2)若，求面积的最大值；
3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.
19.（本题满分17分）如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上.
1)当点M与点重合时，
①证明：平面； ②求二面角的余弦值；
设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.
高二学年数学试题（答案）
一、单项选择题
1--5 CACBD 6--8 ADC
二、多项选择题
9．ACD 10． BD 11．AD
三、填空题
12．4 13．6 14.
四、解答题
15．解（1）由，得，
即，求得，
再由，可得．
（2）；
．
16．解（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：
；
（2）样本中年龄在区间的频率为，
年龄在区间的频率为，
则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，
年龄在区间抽取人，分别记作、，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、
、、、、、、、、共个，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，
所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
17．解（1）甲 乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：
.
（2）乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，
故所求概率为：.
18．解（1）若选①：由正弦定理得，
则，
，
，
．
若选②：，切化弦，得到，
则由正弦定理得，，即，，
，
若选③：，
则，
由正弦定理得，
，
.
（2）由余弦定理得，，
则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．
，则，当且仅当“”时取得最大值．
（3）由正弦定理得，
则，
，由于为锐角三角形，
则，
.
.
19．解（1）①

当点M与端点D重合时，由可知，
由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以
因为，平面，平面，
所以平面；
②

过E作EO⊥BD于点O，连接.
因为平面，平面，所以，
因为EO⊥BD， ，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角,
且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线.
因为所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值为.
（2）

过点做交于，所以直线与平面所成的角,
即为直线与平面所成的角，
过E作EO⊥BM于点O，连接.
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为，平面平面，平面，
所以平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
因为，满足，
设，所以，
所以，
所以，，
因为在中，斜边大于直角边，即，
所以，所以，
，
在中由等面积，，
因为，，所以是二面角平面角，
即，，
，当且仅当时“＝”成立，
故的最大值.