第二章 实数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在3.14,,,π,-,0,0.100 100 010 000 1…(每两个1之间0的个数依次加1)中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列四个实数1,-3,-,-π中,最小的实数是( )
A.1 B.-3 C.- D.-π
3.(2023·威海中考)面积为9的正方形,其边长等于( )
A.9的平方根 B.9的算术平方根
C.9的立方根 D.的算术平方根
4.下列各式中,正确的是( )
A.÷=2 B.=±3
C.-=2 D.=-4
5.与结果相同的是( )
A.3-2+1 B.3+2-1 C.3+2+1 D.3-2-1
6.(2023·遵义期末)如表,被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律,根据规律可得m,n的值分别为
a 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 625 000
0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791
(注:表中部分数值为近似值)( )
A.m=0.025,n≈7.91 B.m=2.5,n≈7.91
C.m≈7.91,n=2.5 D.m=2.5,n≈0.791
7.若+y2-4y+4=0,则yx的值为( )
A.8 B.6 C.5 D.10
8.(2023·重庆中考B卷)估计×(-)的值应在( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
9.若6-的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+)y的值是( )
A.5-3 B.3 C.3-5 D.-3
10.如图是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)( )
A. B.
C. D.
11.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-+b的结果是( )
A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a
12.已知y=-x+3,当x分别取1,2,3,…,2 023时,所对应y值的总和是( )
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·上海中考)已知关于x的方程=2,则x= .
14.(2023·湖州中考)已知a,b是两个连续整数,a<15.对于任意不相等的两个实数x,y,定义一种运算“☆”:x☆y=,根据这一规则,那么8☆(3☆10)= .
16.观察下列各式:
S1==1+,S2==1+,
S3==1+ …
请利用你所发现的规律,计算:S1+S2+…+S50= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·贵阳云岩区期末)(1)把下列各数填入相应的集合中:-,,-,.
有理数集合{ …};
无理数集合{ …};
(2)小伟把(1)中的后三个数字用运算符号连接成代数式:×+(-),请帮小伟化简所列代数式.
18.(10分)(1)-|2-3|+;
(2)+(+2)--|3-|.
0分)利用开方解方程:
(1)(3x-2)2-4=0;(2)(2x+3)3=16.
20.(10分)(2024·六盘水期中)已知a=()-1,b=(2 024-π)0,c=|1-|,d=×3.
(1)请化简这四个数;
(2)根据化简结果,列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差,然后计算结果.
21.(10分)已知4a-11的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是1,c是的整数部分,求-2a+b-c的立方根.
22.(12分)如图,每个小正方形的边长为1.
(1)求图中阴影正方形的面积;
(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分,y为的整数部分.
①x= ,y= ;
②求(x+y)2的算术平方根.
23.(12分)已知+(ab-2)2=0,
求:+++…+.
24.(12分)(2023·贵阳云岩区质检)已知a=3+2,b=3-2,分别求下列代数式的值:
(1)a2-b2;
(2)a2-2ab+b2.
25.(12分)(2023·张家界中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=(a+)2-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a,
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= ,S4-S3= ;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.第二章 实数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在3.14,,,π,-,0,0.100 100 010 000 1…(每两个1之间0的个数依次加1)中,无理数有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列四个实数1,-3,-,-π中,最小的实数是(D)
A.1 B.-3 C.- D.-π
3.(2023·威海中考)面积为9的正方形,其边长等于(B)
A.9的平方根 B.9的算术平方根
C.9的立方根 D.的算术平方根
4.下列各式中,正确的是(A)
A.÷=2 B.=±3
C.-=2 D.=-4
5.与结果相同的是(A)
A.3-2+1 B.3+2-1 C.3+2+1 D.3-2-1
6.(2023·遵义期末)如表,被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律,根据规律可得m,n的值分别为
a 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 625 000
0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791
(注:表中部分数值为近似值)(B)
A.m=0.025,n≈7.91 B.m=2.5,n≈7.91
C.m≈7.91,n=2.5 D.m=2.5,n≈0.791
7.若+y2-4y+4=0,则yx的值为(B)
A.8 B.6 C.5 D.10
8.(2023·重庆中考B卷)估计×(-)的值应在(A)
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
9.若6-的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+)y的值是(B)
A.5-3 B.3 C.3-5 D.-3
10.如图是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)(C)
A. B.
C. D.
11.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-+b的结果是(A)
A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a
12.已知y=-x+3,当x分别取1,2,3,…,2 023时,所对应y值的总和是(A)
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·上海中考)已知关于x的方程=2,则x= 18 .
14.(2023·湖州中考)已知a,b是两个连续整数,a<15.对于任意不相等的两个实数x,y,定义一种运算“☆”:x☆y=,根据这一规则,那么8☆(3☆10)= 3 .
16.观察下列各式:
S1==1+,S2==1+,
S3==1+ …
请利用你所发现的规律,计算:S1+S2+…+S50= 50 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·贵阳云岩区期末)(1)把下列各数填入相应的集合中:-,,-,.
有理数集合{ …};
无理数集合{ …};
(2)小伟把(1)中的后三个数字用运算符号连接成代数式:×+(-),请帮小伟化简所列代数式.
【解析】(1)有理数集合{-…};无理数集合{,-,…}.
答案:- ,-,
(2)原式=2+(-)=.
18.(10分)(1)-|2-3|+;
(2)+(+2)--|3-|.
【解析】(1)-|2-3|+
=3-1+
=-1;
(2)原式=3+3+2-4-2+3=5.
19.(10分)利用开方解方程:
(1)(3x-2)2-4=0;(2)(2x+3)3=16.
【解析】(1)(3x-2)2-4=0,
则(3x-2)2=36,
故3x-2=±6,
解得:x=或x=-;
(2)(2x+3)3=16,
则(2x+3)3=64,
故2x+3=4,
解得x=.
20.(10分)(2024·六盘水期中)已知a=()-1,b=(2 024-π)0,c=|1-|,d=×3.
(1)请化简这四个数;
(2)根据化简结果,列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差,然后计算结果.
【解析】(1)a=()-1=8,
b=(2 024-π)0=1,
c=|1-|=-1,
d=×3=3;
(2)由题意知a,b是有理数,c,d是无理数,
则a+b-cd=8+1-(-1)×3
=8+1-9+3
=9-9+3
=3.
21.(10分)已知4a-11的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是1,c是的整数部分,求-2a+b-c的立方根.
【解析】因为4a-11的平方根是±3,
所以4a-11=9,
所以a=5,
因为3a+b-1的算术平方根是1,
所以3a+b-1=1,
所以b=-13,
因为c是的整数部分,4<<5,
所以c=4,
所以===-3,
所以-2a+b-c的立方根是-3.
22.(12分)如图,每个小正方形的边长为1.
(1)求图中阴影正方形的面积;
(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分,y为的整数部分.
①x= ,y= ;
②求(x+y)2的算术平方根.
【解析】(1)根据小方格边长为1可得阴影正方形边长为,
S阴影=13.
(2)①因为的整数是3,
所以小数部分x=-3,
的整数部分是y=3.
答案:-3 3
②(x+y)2=(-3+3)2=13,
所以(x+y)2的算术平方根为.
23.(12分)已知+(ab-2)2=0,
求:+++…+.
【解析】由+(ab-2)2=0,可求出a=1,b=2,代入得:
+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-
=.
24.(12分)(2023·贵阳云岩区质检)已知a=3+2,b=3-2,分别求下列代数式的值:
(1)a2-b2;
(2)a2-2ab+b2.
【解析】(1)因为a=3+2,b=3-2,
所以a+b=(3+2)+(3-2)=6,
a-b=(3+2)-(3-2)=4,
所以a2-b2=(a+b)(a-b)=6×4=24.
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(4)2=32.
25.(12分)(2023·张家界中考)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+,a+2,a+3的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4.
则S2-S1=(a+)2-a2
=[(a+)+a]·[(a+)-a]
=(2a+)·
=b+2a,
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2= ,S4-S3= ;
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 并证明你的猜想;
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.
【解析】(1)S3-S2=(a+2)2-(a+)2
=a2+4a+4b-a2-2a-b
=2a+3b,
当a=1,b=3时,S3-S2=9+2;
S4-S3=(a+3)2-(a+2)2=a2+6a+9b-a2-
4a-4b=2a+5b,
当a=1,b=3时,S4-S3=15+2;
答案:9+2 15+2
(2)Sn+1-Sn=6n-3+2.
Sn+1-Sn
=(1+n)2-[1+(n-1)]2
=[2+(2n-1)]×
=3(2n-1)+2
=6n-3+2;
(3)当a=1,b=3时,T=t1+t2+t3+…+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50
=S51-S1
=(1+50)2-1
=7 500+100.
