4 平行线的性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 两直线平行,同位角相等
1.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,已知直线a∥b,∠1=105°,则∠2等于( )
A.65° B.75° C.85° D.105°
2.将一个直角三角板和无刻度的直尺按如图所示放置,使三角板的直角顶点放在直尺的一边上,已知∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.60° B.50° C.45° D.30°
知识点2 两直线平行,内错角相等
3.(2024·贵阳期中)如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,已知AB∥CD,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数是( )
A.30° B.120° C.130° D.150°
4.完成下面的证明:
如图,AB和CD相交于点O,AC∥BD,∠A=∠AOC.
求证∠B=∠BOD.
证明:∵AC∥BD(已知),
∴∠A=∠B( ).
∵∠A=∠AOC(已知),
∴∠B=∠AOC( ).
∵∠AOC= ( ),
∴∠B=∠BOD(等量代换).
知识点3 两直线平行,同旁内角互补
5.小星有一块上、下边缘相互平行的小黑板,他在两个边缘之间画了一条线段AB,当∠1=110°时,∠2的度数是( )
A.70° B.80° C.110° D.120°
6.如图,把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=( )
A.115° B.110° C.120° D.130°
7.如图,已知AB∥CD,∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3,求证:BA平分∠EBF.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.光线在不同介质中的传播速度不同,当光线从空气射向水中时会发生折射,如图,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条折射光线也是平行的,若水面和杯底互相平行,若∠1=125°,则∠2等于( )
A.65° B.55° C.45° D.41°
9.将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放,其中∠CBD=90°,∠BDC=30°,若∠1=78°,则∠2的度数为( )
A.12° B.18° C.42° D.48°
10.如图,直线AB∥CD,点E是平行线外一点,连接AE,CE,若∠A=22°,∠C=50°,则∠E的度数是( )
A.22° B.24° C.26° D.28°
11.(2023·贵阳期中)如图,AB⊥AE,AB∥CD,∠CAE=42°,则∠ACD= °.
12.如图,四边形ABCD为一长条形纸带,AB∥CD,将纸带ABCD沿EF折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为 .
13. (素养提升题)如图,已知BC⊥AE,DE⊥AE,∠2+∠3=180°.
(1)请你判断∠1与∠ABD的数量关系,并说明理由;
(2)若∠1=70°,BC平分∠ABD,试求∠ACF的度数.
已知,AB∥CD则:
分别过折点作AB(或CD)的平行线,根据平行线的性质从中发现规律,即(1)∠1=∠2.
(2)∠1+∠3=∠2,
(3)∠1+∠3=∠2+∠4,
(4)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4,
…
(2 019)∠1+∠3+…+∠2 019=∠2+∠4+…+∠2 020.
规律:奇数角之和等于偶数角之和.4 平行线的性质
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 两直线平行,同位角相等
1.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,已知直线a∥b,∠1=105°,则∠2等于(B)
A.65° B.75° C.85° D.105°
2.将一个直角三角板和无刻度的直尺按如图所示放置,使三角板的直角顶点放在直尺的一边上,已知∠1=30°,则∠2的度数为(A)
A.60° B.50° C.45° D.30°
知识点2 两直线平行,内错角相等
3.(2024·贵阳期中)如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,已知AB∥CD,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数是(D)
A.30° B.120° C.130° D.150°
4.完成下面的证明:
如图,AB和CD相交于点O,AC∥BD,∠A=∠AOC.
求证∠B=∠BOD.
证明:∵AC∥BD(已知),
∴∠A=∠B( 两直线平行,内错角相等 ).
∵∠A=∠AOC(已知),
∴∠B=∠AOC( 等量代换 ).
∵∠AOC= ∠BOD ( 对顶角相等 ),
∴∠B=∠BOD(等量代换).
知识点3 两直线平行,同旁内角互补
5.小星有一块上、下边缘相互平行的小黑板,他在两个边缘之间画了一条线段AB,当∠1=110°时,∠2的度数是(A)
A.70° B.80° C.110° D.120°
6.如图,把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=(A)
A.115° B.110° C.120° D.130°
7.如图,已知AB∥CD,∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3,求证:BA平分∠EBF.
【证明】方法一:设∠1,∠2,∠3的度数分别为x,2x,3x,
∵AB∥CD,∴2x+3x=180°,解得x=36°,
∴∠1=36°,∠2=72°,∠3=108°,
∵∠EBD=180°,∴∠EBA=72°,
∴BA平分∠EBF.
方法二:设∠1,∠2,∠3的度数分别为x,2x,3x,
则∠EBA=180°-3x,
∵AB∥CD,
∴∠2=180°-∠3=180°-3x,
∴∠EBA=∠2,即BA平分∠EBF.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.光线在不同介质中的传播速度不同,当光线从空气射向水中时会发生折射,如图,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条折射光线也是平行的,若水面和杯底互相平行,若∠1=125°,则∠2等于(B)
A.65° B.55° C.45° D.41°
9.将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放,其中∠CBD=90°,∠BDC=30°,若∠1=78°,则∠2的度数为(B)
A.12° B.18° C.42° D.48°
10.如图,直线AB∥CD,点E是平行线外一点,连接AE,CE,若∠A=22°,∠C=50°,则∠E的度数是(D)
A.22° B.24° C.26° D.28°
11.(2023·贵阳期中)如图,AB⊥AE,AB∥CD,∠CAE=42°,则∠ACD= 132 °.
12.如图,四边形ABCD为一长条形纸带,AB∥CD,将纸带ABCD沿EF折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为 72° .
13. (素养提升题)如图,已知BC⊥AE,DE⊥AE,∠2+∠3=180°.
(1)请你判断∠1与∠ABD的数量关系,并说明理由;
(2)若∠1=70°,BC平分∠ABD,试求∠ACF的度数.
【解析】见全解全析
已知,AB∥CD则:
分别过折点作AB(或CD)的平行线,根据平行线的性质从中发现规律,即(1)∠1=∠2.
(2)∠1+∠3=∠2,
(3)∠1+∠3=∠2+∠4,
(4)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4,
…
(2 019)∠1+∠3+…+∠2 019=∠2+∠4+…+∠2 020.
规律:奇数角之和等于偶数角之和.
