第七章 平行线的证明
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在上完数学课后,王磊发现操场上的旗杆的影子与旁边一棵大树的影子好像平行,但他不敢肯定,此时他最好的办法是( )
A.找来三角板、直尺,通过平移三角板来验证影子是否平行
B.相信自己,两个影子就是平行的
C.构造几何模型,用已学过的知识证明
D.作一直线截两影子,并用量角器测出同位角的度数,若相等则影子平行
2.下列命题,是真命题的是( )
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.相等的两个角是对顶角
C.过一点可以作一条直线与已知直线平行
D.两直线平行,同旁内角相等
3.(2023·宜昌中考)如图,小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺,依次画出了直线a,b,c.如果∠1=70°,则∠2的度数为( )
A.110° B.70° C.40° D.30°
4.(2023·深圳中考)如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB=( )
A.70° B.65° C.60° D.50°
5.如图,直线AB∥CD,将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置,点E在AB上,边GF,EF分别交CD于点H,K,若∠BEF=64°,则∠GHC等于( )
A.44° B.34° C.24° D.14°
6.(2023·山西中考)如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
7.(2024·贵阳乌当区期末)某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为 度时,AM与CB平行.( )
A.16 B.60 C.66 D.114
8.一个三角形三个内角的度数比是3∶7∶10,这个三角形是 三角形.( )
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定
9.如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处,则∠ABC等于( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
10.在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D,且∠BDC=20°,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
11.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示形状,EF是折痕,若∠EFB=34°,则∠FGC为( )
A.34° B.48° C.56° D.68°
12.①如图1,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°;
②如图2,AB∥CD,则∠E=∠A+∠C;
③如图3,AB∥CD,则∠A+∠E-∠1=180°;
④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C+∠P.
以上结论正确的是( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.②④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是a= .
14.(2023·杭州中考)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= .
15.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 度.
16.(2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)求证:AB=AE.
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
18.(10分)如图,在△ABC中,CG⊥AB,垂足为G,点F在BC上,EF⊥AB,垂足为E.
(1)GC与EF平行吗 为什么
(2)如果∠1=∠2,且∠3=60°,求∠ACB的度数.
19. (10分)如图,已知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从D点引一条射线DE,若∠B+∠CDE=180°,求证:∠AFC=∠EDH.
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠B= (两直线平行,内错角相等),
∵∠B+∠CDE=180°(已知),
∴∠BCD+∠CDE=180°(等量代换),
∴BC∥ (同旁内角互补,两直线平行),
∴ =∠EDH( ),
∵ =∠BFD(对顶角相等),
∴∠AFC=∠EDH(等量代换).
20. (10分)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD,∠D与∠1互余.
(1)求证:ED∥AB;
(2)OF平分∠AOD交DE于点F,若∠OFD=65°,补全图形,并求∠1的度数.
21.(10分)(2024·贵阳花溪区质检)(1)探究:如图1,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
(2)应用:如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.
22.(12分)如图,点D为△ABC的边BC的延长线上一点.
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度数;
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.试探究∠PCM与∠A的数量关系.
23.(12分)如图,已知直线EF∥MN,直线GH分别与EF,MN交于C,D两点.点A,B分别在直线EF,MN上,且与点C,D不重合,点P是直线GH上的动点.
(1)【问题解决】写出图1中一对相等的角;
(2)【问题探究】如图1,若点P是线段CD上的动点,试探究∠APB,∠PAC,∠PBD之间的关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图2,若点P在线段CD的延长线上时,探究∠APB,∠PAC,∠PBD之间的关系,并说明理由.
24.(12分)如图,AD∥BC,AH⊥BG于点H,点C在射线BC上,点E在线段AB上,∠DCE=90°,且DC∥AB,CF⊥BG于点C,交直线AD于点F.
(1)图中与∠D相等的角有 个.
(2)若∠ECF=25°,求∠BCD的度数.
(3)在(2)的条件下,点C(点C不与点B,H重合)从点B出发,沿射线BG的方向移动,其他条件不变,求∠BAF的度数.
25.(12分)如图1,点A,B分别在射线OM,ON上运动(不与点O重合),AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,BC延长线交OM于点G.
(1)若∠MON=60°,则∠ACG= ;(直接写出答案)
(2)若∠MON=n°,求出∠ACG的度数;(用含n的代数式表示)
(3)如图2,若∠MON=80°,过点C作CF∥OA交AB于点F,求∠BGO与∠ACF的数量关系.第七章 平行线的证明
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在上完数学课后,王磊发现操场上的旗杆的影子与旁边一棵大树的影子好像平行,但他不敢肯定,此时他最好的办法是(D)
A.找来三角板、直尺,通过平移三角板来验证影子是否平行
B.相信自己,两个影子就是平行的
C.构造几何模型,用已学过的知识证明
D.作一直线截两影子,并用量角器测出同位角的度数,若相等则影子平行
2.下列命题,是真命题的是(A)
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.相等的两个角是对顶角
C.过一点可以作一条直线与已知直线平行
D.两直线平行,同旁内角相等
3.(2023·宜昌中考)如图,小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺,依次画出了直线a,b,c.如果∠1=70°,则∠2的度数为(C)
A.110° B.70° C.40° D.30°
4.(2023·深圳中考)如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB=(A)
A.70° B.65° C.60° D.50°
5.如图,直线AB∥CD,将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置,点E在AB上,边GF,EF分别交CD于点H,K,若∠BEF=64°,则∠GHC等于(B)
A.44° B.34° C.24° D.14°
6.(2023·山西中考)如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为(C)
A.45° B.50° C.55° D.60°
7.(2024·贵阳乌当区期末)某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为 度时,AM与CB平行.(C)
A.16 B.60 C.66 D.114
8.一个三角形三个内角的度数比是3∶7∶10,这个三角形是 三角形.(B)
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定
9.如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处,则∠ABC等于(C)
A.130° B.120° C.110° D.100°
10.在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D,且∠BDC=20°,连接AD,则∠BAD的度数为(B)
A.100° B.110° C.120° D.130°
11.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示形状,EF是折痕,若∠EFB=34°,则∠FGC为(D)
A.34° B.48° C.56° D.68°
12.①如图1,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°;
②如图2,AB∥CD,则∠E=∠A+∠C;
③如图3,AB∥CD,则∠A+∠E-∠1=180°;
④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C+∠P.
以上结论正确的是(C)
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.②④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是a= 0 .
14.(2023·杭州中考)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= 90° .
15.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 80或40 度.
16.(2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 22.5 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)求证:AB=AE.
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
【解析】见全解全析
18.(10分)如图,在△ABC中,CG⊥AB,垂足为G,点F在BC上,EF⊥AB,垂足为E.
(1)GC与EF平行吗 为什么
(2)如果∠1=∠2,且∠3=60°,求∠ACB的度数.
【解析】见全解全析
19. (10分)如图,已知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从D点引一条射线DE,若∠B+∠CDE=180°,求证:∠AFC=∠EDH.
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠B= (两直线平行,内错角相等),
∵∠B+∠CDE=180°(已知),
∴∠BCD+∠CDE=180°(等量代换),
∴BC∥ (同旁内角互补,两直线平行),
∴ =∠EDH( ),
∵ =∠BFD(对顶角相等),
∴∠AFC=∠EDH(等量代换).
【证明】∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠BCD (两直线平行,内错角相等),
∵∠B+∠CDE=180°(已知),
∴∠BCD+∠CDE=180°(等量代换),
∴BC∥DE(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BFD=∠EDH(两直线平行,同位角相等),
∵∠AFC=∠BFD(对顶角相等),
∴∠AFC=∠EDH(等量代换).
答案:∠BCD DE ∠BFD 两直线平行,同位角相等 ∠AFC
20. (10分)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD,∠D与∠1互余.
(1)求证:ED∥AB;
(2)OF平分∠AOD交DE于点F,若∠OFD=65°,补全图形,并求∠1的度数.
【解析】(1)∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠1+∠DOB=90°,∵∠D与∠1互余,∴∠D+∠1=90°,∴∠D=∠DOB,∴ED∥AB;
(2)见全解全析
21.(10分)(2024·贵阳花溪区质检)(1)探究:如图1,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
(2)应用:如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.
【解析】见全解全析
22.(12分)如图,点D为△ABC的边BC的延长线上一点.
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度数;
(2)若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.试探究∠PCM与∠A的数量关系.
【解析】(1)∵∠A∶∠ABC=3∶4,
∴可设∠A=3k,∠ABC=4k,
又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°,
∴3k+4k=140°,解得k=20°.
∴∠A=3k=60°.
(2)见全解全析
23.(12分)如图,已知直线EF∥MN,直线GH分别与EF,MN交于C,D两点.点A,B分别在直线EF,MN上,且与点C,D不重合,点P是直线GH上的动点.
(1)【问题解决】写出图1中一对相等的角;
(2)【问题探究】如图1,若点P是线段CD上的动点,试探究∠APB,∠PAC,∠PBD之间的关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】如图2,若点P在线段CD的延长线上时,探究∠APB,∠PAC,∠PBD之间的关系,并说明理由.
【解析】(1)∵EF∥MN,
∴∠HCF=∠GDM,
则题图1中一对相等的角是∠HCF=∠GDM(答案不唯一);
(2)(3)见全解全析
24.(12分)如图,AD∥BC,AH⊥BG于点H,点C在射线BC上,点E在线段AB上,∠DCE=90°,且DC∥AB,CF⊥BG于点C,交直线AD于点F.
(1)图中与∠D相等的角有 个.
(2)若∠ECF=25°,求∠BCD的度数.
(3)在(2)的条件下,点C(点C不与点B,H重合)从点B出发,沿射线BG的方向移动,其他条件不变,求∠BAF的度数.
【解析】见全解全析
25.(12分)如图1,点A,B分别在射线OM,ON上运动(不与点O重合),AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,BC延长线交OM于点G.
(1)若∠MON=60°,则∠ACG= ;(直接写出答案)
(2)若∠MON=n°,求出∠ACG的度数;(用含n的代数式表示)
(3)如图2,若∠MON=80°,过点C作CF∥OA交AB于点F,求∠BGO与∠ACF的数量关系.
【解析】(1)∵∠MON=60°,∴∠BAO+∠ABO=120°,
∵AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠CBA=∠ABO,∠CAB=∠BAO,
∴∠CBA+∠CAB=(∠ABO+∠BAO)=60°,
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°.
答案:60°
(2)∵∠MON=n°,∴∠BAO+∠ABO=180°-n°,
∵AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠CBA=∠ABO,∠CAB=∠BAO,
∴∠CBA+∠CAB=(∠ABO+∠BAO)=90°-n°,
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°.
(3)见全解全析
