第三章 位置与坐标
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·毕节七星关区期中)在平面直角坐标系中,点M(-1,1)在(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024·贵阳云岩区期中)第19届亚运会于2023年9月在浙江省杭州市举行.以下能够准确表示杭州市地理位置的是(D)
A.距离北京市1 250公里 B.在浙江省
C.在义乌市的北方 D.东经119°,北纬30°
3.如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现.按照规定的目标表示方法,目标E,F的位置表示为E,F,按照此方法在表示目标A,B,C,D的位置时,其中表示不正确的是(D)
A.A(5,30°) B.B(2,90°)
C.C(6,120°) D.D(3,240°)
4.(2023·常州中考)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为(C)
A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1)
5.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C)
A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3)
6.如图,将长为3 cm的长方形ABCD放在平面直角坐标系中,若点D(6,3),则A点的坐标为(D)
A.(5,3) B.(4,3) C.(4,2) D.(3,3)
7.已知点A(1,2),AC⊥x轴于点C,则点C的坐标为(A)
A.(1,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,1)
8.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,则点M的坐标是(C)
A.(3,-4) B.(4,-3) C.(-4,3) D.(-3,4)
9.已知点A(2,7),AB∥x轴,AB=3,则B点的坐标为(D)
A.(5,7) B.(2,10) C.(2,10)或(2,4) D.(5,7)或(-1,7)
10.(2023·聊城中考)如图,在直角坐标系中,△ABC各点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1),则点A2坐标为(B)
A.(1,5) B.(1,3) C.(5,3) D.(5,5)
11.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,若点A1的坐标为(3,1),则点A2021的坐标为(C)
A.(0,-2) B.(0,4) C.(3,1) D.(-3,1)
12.如图,直角坐标系中两点A(0,4),B(1,0),P为线段AB上一动点,作点B关于射线OP的对称点C,则线段AC的最小值为(A)
A.3 B.4 C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·巴中中考)已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限中,则a= 1 .
14.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,-3),作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A'',则点A''的坐标是( -2,3 ).
15.如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次为A1,A2,A3,A4,…,则顶点A2 020的坐标是 (505,-505) .
16.当m,n都是实数,且满足2m-n=8时,我们称Q(m-1,n+1)为巧妙点.若A(m-1,5)是巧妙点,则m= 6 ,巧妙点A的坐标为 (5,5) .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图为某公园的平面示意图,其中OA=4 cm,OB=4.5 cm,OD=8 cm,C为OD的中点.已知儿童游乐园距离公园入口200 m.
(1)用方向和距离描述卫生间和游船码头相对于公园入口的位置;
(2)用方向和距离描述公园入口相对于滑冰场的位置.
【解析】(1)卫生间在公园入口北偏西30°的方向上,且到公园入口的距离为4.5×=225(m),游船码头在公园入口南偏东60°的方向上,且到公园入口的距离为200 m;
(2)公园入口在滑冰场北偏西60°的方向上,且到滑冰场的距离为8×=400(m).
18.(10分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.
(1)点A关于 轴对称的点在第四象限;(填“x”或“y”)
(2)画出与△ABC关于y轴对称的△A'B'C';
(3)在x轴上作一点P,使其到点B,C的距离之和最小.
(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】(1)因为点A在第一象限,所以点A关于x轴对称的点在第四象限.
答案:x
(2)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(3)如图所示,点P即为所求.
19.(10分)已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题:
(1)若点P在x轴上,求出点P的坐标;
(2)若点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,求出点P的坐标;
(3)若点P到x轴、y轴的距离相等,求出点P的坐标和P点所在的象限.
【解析】(1)因为点P在x轴上,所以a+5=0,所以a=-5,所以2a-2=2×(-5)-2=-12,所以点P的坐标为(-12,0);
(2)点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,所以a+5=5,
所以a=0,所以2a-2=-2,所以点P的坐标为(-2,5);
(3)因为点P到x轴、y轴的距离相等,所以|2a-2|=|a+5|,
所以a=-1或7,所以点P的坐标为(-4,4)或(12,12).P点在第二象限或第一象限.
20.(10分)已知a,b都是实数,设点P(a,b),若满足3a=2b+5,则称点P为“新奇点”.
(1)判断点A(3,2)是否为“新奇点”,并说明理由;
(2)若点M(m-1,3m+2)是“新奇点”,请判断点M在第几象限,并说明理由.
【解析】(1)当A(3,2)时,3×3=9,2×2+5=4+5=9,
所以3×3=2×2+5,所以A(3,2)是“新奇点”;
(2)点M在第三象限,
理由如下:因为点M(m-1,3m+2)是“新奇点”,
所以3(m-1)=2(3m+2)+5,解得m=-4,
所以m-1=-5,3m+2=-10,点M坐标为(-5,-10),
所以点M在第三象限.
21.(10分)(2024·贵阳观山湖区期中)已知点P(3,m+8)和点Q(2m+5,3m+2),且PQ∥y轴.
(1)求PQ的长;
(2)若点R(b,m+8),且RP=2,求b值.
【解析】(1)因为PQ∥y轴,所以3=2m+5,所以m=-1,所以点P的坐标为(3,7),点Q的坐标为(3,-1),所以PQ=7-(-1)=8.
(2)因为P(3,m+8),R(b,m+8),所以PR∥x轴,因为RP=2,所以|b-3|=2,所以b-3=2或b-3=-2,所以b=5或=1.
22.(12分)在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置.规定如下:在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°).
例如:如图①,点M到点O的距离为5个单位长度,OM与Ox的夹角为70°(Ox的逆时针方向),则点M的极坐标为(5,70°);同理,点N到点O的距离为3个单位长度,ON与Ox的夹角为50°(Ox的顺时针方向),则点N的极坐标为(3,-50°).
[利用新知,解答问题]
请根据以上信息,回答下列问题:
如图②,已知过点O的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°,相邻圆周间距离为1.
(1)点A的极坐标是 ;点D的极坐标是 ;
(2)请在图②中标出点B(5,45°),点E(2,-90°);
(3)怎样从点B运动到点C
小明设计的一条路线为:点B→(4,45°)→(3,45°)→(3,30°)→点C.
请你设计与小明不同的一条路线,也可以从点B运动到点C.
【解析】见全解全析
23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),过点(-1,0)作x轴的垂线l,点A关于直线l的对称点为B.
(1)点B的坐标为 ;
(2)已知点C(-3,-2),点D(1,-2),在图中描出点B,C,D,顺次连接点A,B,C,D.
①在四边形ABCD内部有一点P,满足=且=,则此时点P的坐标为 ,= ;
②在四边形ABCD外部是否存在点Q,满足=且=,若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)点B的坐标为(-2,2).
答案:(-2,2)
(2)见全解全析
24.(12分)先阅读一段文字,再回答问题:
已知在平面内两点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则该两点间的距离公式为P1P2=.
同时,当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或垂直于x轴时,两点间的距离公式可化简成|x2-x1|或|y2-y1|.
(1)若已知两点A(3,5),B(-2,-1),试求A,B两点间的距离.
(2)已知点A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,试求A,B两点间的距离.
(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0,6),B(-3,2),C(3,2),你能判断此三角形的形状吗 试说明理由.
【解析】(1)AB==.
(2)AB=|-1-5|=6.
(3)能.理由:因为AB==5,
BC==6,AC==5,
所以△ABC为等腰三角形.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.三角形ABC的边BC在x轴上,点B的坐标是(-5,0),点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的正半轴上,它们的坐标分别为A(0,m),C(m-1,0),且OA+OC=7,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度,沿射线BO运动.设点P运动时间为t秒.
(1)求A,C两点的坐标.
(2)连接PA,当P沿射线BO匀速运动时,是否存在某一时刻,使三角形POA的面积是三角形ABC面积的 若存在,请求出t的值,并写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为OA+OC=7,所以由题意可得m+m-1=7.
解得m=4,所以A(0,4),C(3,0).
(2)S△ABC=BC×OA=×8×4=16.
所以由题意可得S△POA=16×=4.当P在线段OB上时,S△POA=OP×OA=(5-2t)×4,所以4=(5-2t)×4,所以t=.则OP=5-2t=2,则P(-2,0);
当P在BO延长线上时,S△POA=OP×OA=(2t-5)×4,
所以4=(2t-5)×4,所以t=.则OP=2t-5=2,则P(2,0).第三章 位置与坐标
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·毕节七星关区期中)在平面直角坐标系中,点M(-1,1)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2024·贵阳云岩区期中)第19届亚运会于2023年9月在浙江省杭州市举行.以下能够准确表示杭州市地理位置的是( )
A.距离北京市1 250公里 B.在浙江省
C.在义乌市的北方 D.东经119°,北纬30°
3.如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现.按照规定的目标表示方法,目标E,F的位置表示为E,F,按照此方法在表示目标A,B,C,D的位置时,其中表示不正确的是( )
A.A(5,30°) B.B(2,90°)
C.C(6,120°) D.D(3,240°)
4.(2023·常州中考)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1)
5.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3)
6.如图,将长为3 cm的长方形ABCD放在平面直角坐标系中,若点D(6,3),则A点的坐标为( )
A.(5,3) B.(4,3) C.(4,2) D.(3,3)
7.已知点A(1,2),AC⊥x轴于点C,则点C的坐标为( )
A.(1,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,1)
8.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,则点M的坐标是( )
A.(3,-4) B.(4,-3) C.(-4,3) D.(-3,4)
9.已知点A(2,7),AB∥x轴,AB=3,则B点的坐标为( )
A.(5,7) B.(2,10) C.(2,10)或(2,4) D.(5,7)或(-1,7)
10.(2023·聊城中考)如图,在直角坐标系中,△ABC各点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1),则点A2坐标为( )
A.(1,5) B.(1,3) C.(5,3) D.(5,5)
11.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,若点A1的坐标为(3,1),则点A2021的坐标为( )
A.(0,-2) B.(0,4) C.(3,1) D.(-3,1)
12.如图,直角坐标系中两点A(0,4),B(1,0),P为线段AB上一动点,作点B关于射线OP的对称点C,则线段AC的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·巴中中考)已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限中,则a= .
14.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,-3),作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A'',则点A''的坐标是( ).
15.如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次为A1,A2,A3,A4,…,则顶点A2 020的坐标是 .
16.当m,n都是实数,且满足2m-n=8时,我们称Q(m-1,n+1)为巧妙点.若A(m-1,5)是巧妙点,则m= ,巧妙点A的坐标为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图为某公园的平面示意图,其中OA=4 cm,OB=4.5 cm,OD=8 cm,C为OD的中点.已知儿童游乐园距离公园入口200 m.
(1)用方向和距离描述卫生间和游船码头相对于公园入口的位置;
(2)用方向和距离描述公园入口相对于滑冰场的位置.
18.(10分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.
(1)点A关于 轴对称的点在第四象限;(填“x”或“y”)
(2)画出与△ABC关于y轴对称的△A'B'C';
(3)在x轴上作一点P,使其到点B,C的距离之和最小.
(不写作法,保留作图痕迹)
【
19.(10分)已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题:
(1)若点P在x轴上,求出点P的坐标;
(2)若点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,求出点P的坐标;
(3)若点P到x轴、y轴的距离相等,求出点P的坐标和P点所在的象限.
20.(10分)已知a,b都是实数,设点P(a,b),若满足3a=2b+5,则称点P为“新奇点”.
(1)判断点A(3,2)是否为“新奇点”,并说明理由;
(2)若点M(m-1,3m+2)是“新奇点”,请判断点M在第几象限,并说明理由.
21.(10分)(2024·贵阳观山湖区期中)已知点P(3,m+8)和点Q(2m+5,3m+2),且PQ∥y轴.
(1)求PQ的长;
(2)若点R(b,m+8),且RP=2,求b值.
22.(12分)在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置.规定如下:在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°).
例如:如图①,点M到点O的距离为5个单位长度,OM与Ox的夹角为70°(Ox的逆时针方向),则点M的极坐标为(5,70°);同理,点N到点O的距离为3个单位长度,ON与Ox的夹角为50°(Ox的顺时针方向),则点N的极坐标为(3,-50°).
[利用新知,解答问题]
请根据以上信息,回答下列问题:
如图②,已知过点O的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°,相邻圆周间距离为1.
(1)点A的极坐标是 ;点D的极坐标是 ;
(2)请在图②中标出点B(5,45°),点E(2,-90°);
(3)怎样从点B运动到点C
小明设计的一条路线为:点B→(4,45°)→(3,45°)→(3,30°)→点C.
请你设计与小明不同的一条路线,也可以从点B运动到点C.
23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),过点(-1,0)作x轴的垂线l,点A关于直线l的对称点为B.
(1)点B的坐标为 ;
(2)已知点C(-3,-2),点D(1,-2),在图中描出点B,C,D,顺次连接点A,B,C,D.
①在四边形ABCD内部有一点P,满足=且=,则此时点P的坐标为 ,= ;
②在四边形ABCD外部是否存在点Q,满足=且=,若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
24.(12分)先阅读一段文字,再回答问题:
已知在平面内两点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则该两点间的距离公式为P1P2=.
同时,当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或垂直于x轴时,两点间的距离公式可化简成|x2-x1|或|y2-y1|.
(1)若已知两点A(3,5),B(-2,-1),试求A,B两点间的距离.
(2)已知点A,B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为-1,试求A,B两点间的距离.
(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0,6),B(-3,2),C(3,2),你能判断此三角形的形状吗 试说明理由.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.三角形ABC的边BC在x轴上,点B的坐标是(-5,0),点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的正半轴上,它们的坐标分别为A(0,m),C(m-1,0),且OA+OC=7,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度,沿射线BO运动.设点P运动时间为t秒.
(1)求A,C两点的坐标.
(2)连接PA,当P沿射线BO匀速运动时,是否存在某一时刻,使三角形POA的面积是三角形ABC面积的 若存在,请求出t的值,并写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
