第四章 一次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.一本笔记本5元,买x本共付y元,则5和x分别是(A)
A.常量,变量 B.变量,变量
C.常量,常量 D.变量,常量
2.(2023·山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为(B)
A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x D.y=0.5x
3.一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=-bx在同一坐标系中的图象可能是(C)
4.一次函数y=3x+b(b≥0)的图象一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.将直线y=2x-3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为(A)
A.y=2x-4 B.y=2x+4
C.y=2x+2 D.y=2x-2
6.已知一次函数y=kx+b的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2),且x2=1+x1时,y2=y1-2,则k等于(D)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
7.如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图,现向水槽匀速注水,下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是(D)
8.如图,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数(A)
A.当x<1时,y随x的增大而增大
B.当x<1时,y随x的增大而减小
C.当x>1时,y随x的增大而增大
D.当x>1时,y随x的增大而减小
9.如图,边长分别为1和2的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形的面积为S1,小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2,若S=S1-S2,则S随t变化的函数图象大致为(A)
10.(2024·毕节织金县期中)如图,一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,l1,l2分别表示汽车、摩托车离A地的距离s(km)随时间t(h)变化的图象,则下列结论:
①摩托车比汽车晚到1 h;
②A,B两地的距离为20 km;
③摩托车的速度为45 km/h,汽车的速度为60 km/h;
④汽车出发1 h后与摩托车相遇,此时距离B地40 km;
⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快.
其中正确的结论有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.甲、乙两人从公司去健身房,甲先步行前往,几分钟后乙乘出租车追赶,出租车的速度是甲步行速度的5倍,乙追上甲后,立刻带上甲一同前往,结果甲比预计早到4分钟.他们距公司的路程y(米)与时间x(分)间的函数关系如图所示,则下列结论中正确的个数为(C)
①甲步行的速度为100米/分;②乙比甲晚出发7分钟;
③公司距离健身房1 500米;④乙追上甲时距健身房500米.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2024·郑州期末)如图,直线l的表达式为y=-x,点A1的坐标为(-1,0).过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2,再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3,…,按此法进行下去,点B2 025的坐标为(C)
A.(-42 024,42 024) B.(-22 024,22 024)
C.(-22 024,22 024) D.(-22 025,22 025)
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·广西中考)函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k= 1 .
14.如果直线y=-4x-b经过点A(3,y1)和点B(-2,y2),则y1 < y2(填“>”“<”或“=”).
15.如图所示的折线ABC为某地向外地打电话需付的通话费y(元)与通话时间t之间的函数关系,则通话8 min应付通话费 7.4 元.
16.(2023·烟台中考)如图1,在△ABC中,动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线DE的最低点,则△ABC的高CG的长为 .
三、解答题(共98分)
17. (10分)(2024·六盘水水城区期中)已知一次函数y=2x-3,
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)判断点C(-4,-8)是否在该一次函数图象上,并说明理由.
【解析】(1)当x=0时,y=-3,
当y=0时,x=,一次函数图象经过(0,-3),(,0),如图所示;
(2)当x=-4时,2×(-4)-3=-11≠-8,
因此点C(-4,-8)不在该一次函数图象上.
18.(10分)已知一次函数y=(k-2)x-3k+12.
(1)当k为何值时,图象与直线y=-2x+9的交点在y轴上
(2)当k为何值时,图象平行于直线y=-2x
(3)当k为何值时,y随x的增大而减小
【解析】(1)因为直线y=-2x+9与y轴的交点坐标为(0,9),
所以-3k+12=9且k-2≠0,解得k=1.
(2)因为一次函数的图象平行于直线y=-2x,
所以k-2=-2且-3k+12≠0,解得k=0.
(3)因为y随x的增大而减小,所以k-2<0,解得k<2.
19.(10分)如图是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值:
输入x … 2 5 7 9 11 …
输出y … 5 4 10 16 22 …
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为-3时,输出的y值为 ;
(2)求k,b的值;
(3)当输出的y值为6时,求输入的x值.
【解析】(1)当输入的x值为-3时,输出的y值为y=2x+1=2×(-3)+1=-5;
答案:-5
(2)将(7,10),(5,4)代入y=kx+b,得7k+b=10,5k+b=4,所以10-7k=4-5k,解得k=3,把k=3代入5k+b=4,得b=-11;
(3)见全解全析
20.(10分)如图,直线y=x+1与x轴交于点A,点A关于y轴的对称点为A',经过点A'和y轴上的点B(0,2)的直线设为y=kx+b.
(1)求点A'的坐标;
(2)确定直线A'B对应的函数表达式.
【解析】见全解全析
21.(10分)6月13日,某港口的潮水高度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下:
x(h) … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y(cm) … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动:
①根据表中数据,通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象.
②观察函数图象,当x=4时,y的值为多少 当y的值最大时,x的值为多少
(2)数学思考:
请结合函数图象,写出该函数的两条性质或结论.
(3)数学应用:
根据研究,当潮水高度超过260 cm时,货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口
【解析】见全解全析
22.(12分)“中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1 000元,打九折出售.使用这张加油卡加油,每加一升油,油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买加油卡
(2)减价后油的单价为y元/升,原价为x元/升,求y关于x的函数关系式(不用写出定义域).
(3)油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元.
【解析】(1)由题意知,1 000×0.9=900(元),
答:实际花了900元购买加油卡;
(2)(3)见全解全析
23. (12分)(2023·贵阳质检)已知直线l1与x轴交于点A(-,0),与y轴相交于点B(0,-3),直线l2:y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,连接BD.
(1)求直线l1的表达式.
(2)直线l2上是否存在一点E,使得S△ADE=S△CBD,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】见全解全析
24.(12分)(2023·鄂州中考)1号探测气球从海拔10 m处出发,以1 m/min的速度竖直上升.与此同时,2号探测气球从海拔20 m处出发,以a m/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1 h.1号、2号气球所在位置的海拔y1,y2(单位:m)与上升时间x(单位:min)的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)请分别求出y1,y2与x的函数关系式;
(3)当上升多长时间时,两个气球的海拔竖直高度差为5 m
【解析】(1)由题意知,当x=20时,两气球相遇,
y1=10+x=10+20=30,
所以b=30,
设2号探测气球关系式为y2=20+ax,
因为y2=20+ax过(20,30),
所以30=20+20a,
解得a=0.5,
所以y2=20+0.5x.
答案:0.5 30
(2)(3)见全解全析
25.(12分)如图,已知函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=-x+b和y=x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
【解析】见全解全析第四章 一次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.一本笔记本5元,买x本共付y元,则5和x分别是( )
A.常量,变量 B.变量,变量
C.常量,常量 D.变量,常量
2.(2023·山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x D.y=0.5x
3.一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=-bx在同一坐标系中的图象可能是( )
4.一次函数y=3x+b(b≥0)的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.将直线y=2x-3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为( )
A.y=2x-4 B.y=2x+4
C.y=2x+2 D.y=2x-2
6.已知一次函数y=kx+b的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2),且x2=1+x1时,y2=y1-2,则k等于( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
7.如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图,现向水槽匀速注水,下列图象中能大致反映水槽中水的深度( )与注水时间( )关系的是( )
8.如图,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数( )
A.当x<1时,y随x的增大而增大
B.当x<1时,y随x的增大而减小
C.当x>1时,y随x的增大而增大
D.当x>1时,y随x的增大而减小
9.如图,边长分别为1和2的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形的面积为S1,小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2,若S=S1-S2,则S随t变化的函数图象大致为( )
10.(2024·毕节织金县期中)如图,一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,l1,l2分别表示汽车、摩托车离A地的距离s(km)随时间t( )变化的图象,则下列结论:
①摩托车比汽车晚到1 h;
②A,B两地的距离为20 km;
③摩托车的速度为45 km/h,汽车的速度为60 km/h;
④汽车出发1 h后与摩托车相遇,此时距离B地40 km;
⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快.
其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.甲、乙两人从公司去健身房,甲先步行前往,几分钟后乙乘出租车追赶,出租车的速度是甲步行速度的5倍,乙追上甲后,立刻带上甲一同前往,结果甲比预计早到4分钟.他们距公司的路程y(米)与时间x(分)间的函数关系如图所示,则下列结论中正确的个数为( )
①甲步行的速度为100米/分;②乙比甲晚出发7分钟;
③公司距离健身房1 500米;④乙追上甲时距健身房500米.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2024·郑州期末)如图,直线l的表达式为y=-x,点A1的坐标为(-1,0).过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2,再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3,…,按此法进行下去,点B2 025的坐标为( )
A.(-42 024,42 024) B.(-22 024,22 024)
C.(-22 024,22 024) D.(-22 025,22 025)
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·广西中考)函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k= .
14.如果直线y=-4x-b经过点A(3,y1)和点B(-2,y2),则y1 y2(填“>”“<”或“=”).
15.如图所示的折线ABC为某地向外地打电话需付的通话费y(元)与通话时间t之间的函数关系,则通话8 min应付通话费 元.
16.(2023·烟台中考)如图1,在△ABC中,动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线DE的最低点,则△ABC的高CG的长为 .
三、解答题(共98分)
17. (10分)(2024·六盘水水城区期中)已知一次函数y=2x-3,
(1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)判断点C(-4,-8)是否在该一次函数图象上,并说明理由.
18.(10分)已知一次函数y=(k-2)x-3k+12.
(1)当k为何值时,图象与直线y=-2x+9的交点在y轴上
(2)当k为何值时,图象平行于直线y=-2x
(3)当k为何值时,y随x的增大而减小
19.(10分)如图是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下面表格中是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值:
输入x … 2 5 7 9 11 …
输出y … 5 4 10 16 22 …
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为-3时,输出的y值为 ;
(2)求k,b的值;
(3)当输出的y值为6时,求输入的x值.
20.(10分)如图,直线y=x+1与x轴交于点A,点A关于y轴的对称点为A',经过点A'和y轴上的点B(0,2)的直线设为y=kx+b.
(1)求点A'的坐标;
(2)确定直线A'B对应的函数表达式.
21.(10分)6月13日,某港口的潮水高度y(cm)和时间x( )的部分数据及函数图象如下:
x( ) … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y(cm) … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
(数据来自某海洋研究所)
(1)数学活动:
①根据表中数据,通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象.
②观察函数图象,当x=4时,y的值为多少 当y的值最大时,x的值为多少
(2)数学思考:
请结合函数图象,写出该函数的两条性质或结论.
(3)数学应用:
根据研究,当潮水高度超过260 cm时,货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口
22.(12分)“中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1 000元,打九折出售.使用这张加油卡加油,每加一升油,油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买加油卡
(2)减价后油的单价为y元/升,原价为x元/升,求y关于x的函数关系式(不用写出定义域).
(3)油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元.
23. (12分)(2023·贵阳质检)已知直线l1与x轴交于点A(-,0),与y轴相交于点B(0,-3),直线l2:y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,连接BD.
(1)求直线l1的表达式.
(2)直线l2上是否存在一点E,使得S△ADE=S△CBD,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
24.(12分)(2023·鄂州中考)1号探测气球从海拔10 m处出发,以1 m/min的速度竖直上升.与此同时,2号探测气球从海拔20 m处出发,以a m/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1 h.1号、2号气球所在位置的海拔y1,y2(单位:m)与上升时间x(单位:min)的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)请分别求出y1,y2与x的函数关系式;
(3)当上升多长时间时,两个气球的海拔竖直高度差为5 m
25.(12分)如图,已知函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=-x+b和y=x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
