第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 勾股定理
1.(概念应用题)(2024·六盘水期中)在Rt△ABC中,斜边BC=5,则AB2+AC2+BC2的值为( )
A.15 B.25 C.50 D.无法计算
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于D,则CD的长是( )
A.5 B.7 C. D.
3. (教材再开发·P4习题1.1T4拓展)在△ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求:
(1)BC边上的高.
(2)△ABC的面积.
知识点2 勾股定理的验证
4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
知识点3 勾股定理与图形面积及应用
5.(2024·贵阳花溪区质检)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为边向外作正方形,若三个正方形的面积分别为S,400,225,则S的值为( )
A.25 B.175 C.600 D.625
6.已知,如图长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12 cm2
7.(生活情境题)如图,某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳,让它垂到地面时比墙高多出了2米,教练把绳子的下端拉开8米后,发现其下端刚好接触地面(如图),则此攀岩墙的高度是 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.已知AB=5,BC=8,则AD的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2024·六盘水水城区期中)如图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
11. (2024·贵阳期中)如图,在直线l上有正方形a,b,c,若a,b的面积分别为4和16,则c的面积为 .
12.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC的长为 .
13.(素养提升题)阅读与思考
阅读下列材料,完成后面的任务:
赵爽“弦图”与完全平方公式
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上,该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系,如图2,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角形拼成的“弦图”.由图可知,1个大正方形ABCD的面积=8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积.
任务:
(1)在图2中,正方形ABCD的面积可表示为 ,正方形PQMN的面积可表示为 .(用含a,b的式子表示)
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得(a+b)2,ab,(a-b)2之间的关系为 .
(3)根据(2)中的等量关系,解决问题:已知a+b=5,ab=4,求(a-b)2的值.
利用勾股定理求折叠中线段的长(折叠法)
如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长.
运用勾股定理解决折叠问题的思路方法
所求线段是某直角三角形的一直角边,要求该线段的长,可通过将已知的线段向该直角三角形中转化,主要运用图形变换的性质,重叠的边相等,重叠的角相等,根据线段之间的关系,在直角三角形中,运用勾股定理解决问题.第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 勾股定理
1.(概念应用题)(2024·六盘水期中)在Rt△ABC中,斜边BC=5,则AB2+AC2+BC2的值为(C)
A.15 B.25 C.50 D.无法计算
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于D,则CD的长是(C)
A.5 B.7 C. D.
3. (教材再开发·P4习题1.1T4拓展)在△ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求:
(1)BC边上的高.
(2)△ABC的面积.
【解析】(1)如图,过点A作AD⊥BC于D,因为AB=AC=13 cm,
所以BD=CD=BC=×10=5(cm).
所以AD2=AB2-BD2=144,所以AD=12cm.
(2)S△ABC=BC·AD=×10×12=60(cm2).
知识点2 勾股定理的验证
4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)
A.9 B.6 C.4 D.3
知识点3 勾股定理与图形面积及应用
5.(2024·贵阳花溪区质检)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为边向外作正方形,若三个正方形的面积分别为S,400,225,则S的值为(D)
A.25 B.175 C.600 D.625
6.已知,如图长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为(C)
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12 cm2
7.(生活情境题)如图,某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳,让它垂到地面时比墙高多出了2米,教练把绳子的下端拉开8米后,发现其下端刚好接触地面(如图),则此攀岩墙的高度是 15 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.已知AB=5,BC=8,则AD的长为(D)
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2024·六盘水水城区期中)如图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为(B)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是(D)
11. (2024·贵阳期中)如图,在直线l上有正方形a,b,c,若a,b的面积分别为4和16,则c的面积为 12 .
12.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC的长为 14或4 .
13.(素养提升题)阅读与思考
阅读下列材料,完成后面的任务:
赵爽“弦图”与完全平方公式
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上,该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系,如图2,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角形拼成的“弦图”.由图可知,1个大正方形ABCD的面积=8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积.
任务:
(1)在图2中,正方形ABCD的面积可表示为 ,正方形PQMN的面积可表示为 .(用含a,b的式子表示)
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得(a+b)2,ab,(a-b)2之间的关系为 .
(3)根据(2)中的等量关系,解决问题:已知a+b=5,ab=4,求(a-b)2的值.
【解析】(1)因为正方形ABCD的边长为(a+b),正方形PQMN的边长为(a-b),
所以正方形ABCD的面积为(a+b)2,正方形PQMN的面积为(a-b)2.
答案:(a+b)2 (a-b)2
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得(a+b)2=8×ab+(a-b)2.
答案:(a+b)2=4ab+(a-b)2
(3)因为a+b=5,ab=4,所以52=4×4+(a-b)2,所以(a-b)2=9,所以(a-b)2的值为9.
利用勾股定理求折叠中线段的长(折叠法)
如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长.
【解析】见全解全析
运用勾股定理解决折叠问题的思路方法
所求线段是某直角三角形的一直角边,要求该线段的长,可通过将已知的线段向该直角三角形中转化,主要运用图形变换的性质,重叠的边相等,重叠的角相等,根据线段之间的关系,在直角三角形中,运用勾股定理解决问题.
