2 一定是直角三角形吗
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 勾股定理的逆定理及其简单应用
1.(概念应用题)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则(A)
A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.△ABC不是直角三角形
2.下列各组数是三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的是(B)
A.3,4,5 B.4,5,6
C.6,8,10 D.5,12,13
3.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是(B)
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是 60° .
5.(2024·贵阳期中)如图是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,且CD⊥AD.
(1)连接AC,说明△ABC是直角三角形;
(2)求这块地ABCD的面积.
【解析】见全解全析
知识点2 勾股数
6.(2024·贵阳期末)下列各组数中,是勾股数的是(A)
A.3,4,5 B.1,2,3 C.8,10,16 D.5,10,13
7.给出下列说法:
①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c也是一组勾股数;
②如果直角三角形的两边长为7,24,那么第三条边一定是25;
③如果一个三角形的三边长分别为12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中a是斜边长,那么a2∶b2∶c2=
2∶1∶1.其中正确的是(C)
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
8.小明在学习勾股数组知识后发现:很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个分别可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.
(1)请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组;
(2)判断:满足这个规律的数组都是勾股数组吗 说明理由.
【解析】(1)因为52+122=132,
且12=2×2×3,13=32+22,5=32-22,
所以5,12,13是符合规律的一组勾股数;
(答案不唯一)
(2)满足这个规律的数组都是勾股数组.
理由:因为(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2,
(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,
所以(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.
所以m2-n2,m2+n2,2mn是勾股数.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·贵阳期中)下列判断中正确的有 个(B)
(1)直角三角形的两边为3和4,则第三边的平方为25
(2)有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形
(3)若三角形的三边满足b2=a2-c2,则△ABC是直角三角形
(4)若△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=8∶15∶17,则△ABC是直角三角形
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,如果(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,则△ABC是(C)
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
11.三角形的边长分别为6,8,10,那么它最短边上的高为 8 .
12.(易错警示题)三角形的三边分别为a,b,c,且(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0,则三角形的形状为 等腰直角三角形 .
13.如图,在△ACD中,点B在边CD上,连接AB,已知AB=10,AC=8,BC=6,AD+BD=26.
(1)求证:∠C=90°;
(2)求AD和BD的长.
【解析】(1)因为AB=10,AC=8,BC=6,
所以AC2+BC2=82+62=102=AB2,
所以△ABC是直角三角形,且∠C=90°;
(2)设AD=x,则BD=26-x,
所以CD=BC+BD=6+26-x=32-x.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,
即82+(32-x)2=x2,解得x=17,
则26-x=26-17=9,
故AD的长为17,BD的长为9.
14.(素养提升题)以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.
(1)根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数;
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.
【解析】(1)上述四组勾股数组的规律是:32+42=52,62+82=102,82+152=172,
102+242=262,
即(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,
所以第六组勾股数为14,48,50.
(2)勾股数为n2-1,2n,n2+1,证明如下:
(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
解决网格中四边形面积和形状的思路方法
1.求四边形的面积可以用割补法,把四边形分割成几个小直角三角形,也可以把四边形框到一个长方形中,用长方形的面积减去几个直角三角形的面积.
2.网格中确定一个三角形是直角三角形的方法:
第1步:定边,分别将每条边放到一个格点直角三角形中;
第2步:计算,求出各边的平方;
第3步:判断,若最长边的平方等于其他两边的平方和,则是直角三角形,否则不是直角三角形.2 一定是直角三角形吗
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 勾股定理的逆定理及其简单应用
1.(概念应用题)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )
A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.△ABC不是直角三角形
2.下列各组数是三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.4,5,6
C.6,8,10 D.5,12,13
3.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是 .
5.(2024·贵阳期中)如图是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,且CD⊥AD.
(1)连接AC,说明△ABC是直角三角形;
(2)求这块地ABCD的面积.
知识点2 勾股数
6.(2024·贵阳期末)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.3,4,5 B.1,2,3 C.8,10,16 D.5,10,13
7.给出下列说法:
①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c也是一组勾股数;
②如果直角三角形的两边长为7,24,那么第三条边一定是25;
③如果一个三角形的三边长分别为12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a,b,c,其中a是斜边长,那么a2∶b2∶c2=
2∶1∶1.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
8.小明在学习勾股数组知识后发现:很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个分别可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.
(1)请你再写出另外一组满足这个规律的勾股数组;
(2)判断:满足这个规律的数组都是勾股数组吗 说明理由.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·贵阳期中)下列判断中正确的有 个( )
(1)直角三角形的两边为3和4,则第三边的平方为25
(2)有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形
(3)若三角形的三边满足b2=a2-c2,则△ABC是直角三角形
(4)若△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=8∶15∶17,则△ABC是直角三角形
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,如果(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,则△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
11.三角形的边长分别为6,8,10,那么它最短边上的高为 .
12.(易错警示题)三角形的三边分别为a,b,c,且(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0,则三角形的形状为 .
13.如图,在△ACD中,点B在边CD上,连接AB,已知AB=10,AC=8,BC=6,AD+BD=26.
(1)求证:∠C=90°;
(2)求AD和BD的长.
14.(素养提升题)以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.
(1)根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数;
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.
解决网格中四边形面积和形状的思路方法
1.求四边形的面积可以用割补法,把四边形分割成几个小直角三角形,也可以把四边形框到一个长方形中,用长方形的面积减去几个直角三角形的面积.
2.网格中确定一个三角形是直角三角形的方法:
第1步:定边,分别将每条边放到一个格点直角三角形中;
第2步:计算,求出各边的平方;
第3步:判断,若最长边的平方等于其他两边的平方和,则是直角三角形,否则不是直角三角形.
