第一章 勾股定理单元复习整合练
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勾股定理及其应用
1.(2022·贵阳中考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·贵阳云岩区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=17,则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为( )
A.225 B.289 C.324 D.170
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,则CD的长为 .
4.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
5.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
6. (生活情境题)如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5 m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m,当端点B向右移动0.5 m,求滑杆顶端A下滑多少米.
直角三角形的性质和判定
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
8.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
9.勾股定理最早出现在《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).
10.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形,当a2+b2≠c2,利用代数式a2+b2和c2的关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6,8,9时,△ABC为 三角形;当△ABC三边分别为6,8,11时,△ABC为 三角形.
(2)猜想,当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)若a=3,b=4,当c为何值时,△ABC是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.
教学总结与教学反思
针对教材任务要求,作为本章节教师,按照如下教学流程进行:
1.欣赏图片引入新课,激发学生学习兴趣.通过欣赏2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案,引出“赵爽弦图”,让学生了解我国古代辉煌的数学成就,引入课题.
接下来,让学生欣赏故事:毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.通过故事使学生明白:科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的;生活中处处有数学,学生们应该学会观察、思考,将学习与生活紧密结合起来.这样,一方面激发学生的求知欲望,另一方面,也对学生进行了学习方法指导和解决问题能力的培养.
2.动手探究,得出猜想.通过对地板图形中的等腰直角三角形三边关系到一般直角三角形中三边关系的探究,让同学们体验由特殊到一般的探究过程,学习这种研究方法.在这一过程中,学生充分利用学具去尝试解决,力求让学生自己探索,先在小组内讨论,然后在全班讨论,尽量学习更多的方法.
3.动手实践,得出定理.先了解赵爽的证明思路,然后让学生利用学具自己动手剪拼,并利用图形进行证明.难度稍大些时,教师组织学生开展小组合作学习,教师巡回辅导,给予学生必要的帮助.
4.巩固练习,拓展延伸.主要练习勾股定理的其他证明方法,学生用不同方法得出结论后,课堂上教师再展示部分习题对学生进行巩固训练,之后补充稍难一些的题目进行拓展(根据学生掌握程度进行难度题目拓展).
5.反思归纳,总结升华.让学生自己回顾总结本节的收获,教师引导学生学习科学家敏锐的观察力和勤于思考的作风,不断提高自己的数学素养,适时对大家进行思想教育.第一章 勾股定理单元复习整合练
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答案:① 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ;② 如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 ;③ 能够构成直角三角形三条边的三个正整数 .
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勾股定理及其应用
1.(2022·贵阳中考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是(B)
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·贵阳云岩区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=17,则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为(B)
A.225 B.289 C.324 D.170
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,则CD的长为 .
4.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 10 cm.(杯壁厚度不计)
5.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
6. (生活情境题)如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5 m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m,当端点B向右移动0.5 m,求滑杆顶端A下滑多少米.
【解析】设AE的长为x m,则CE=AC-x.
在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=4,故AC=2.
在Rt△ECD中,CD=BC+BD=2,
所以CE2=DE2-CD2=2.25,故CE=1.5,
所以AE=AC-CE=0.5(m),
即滑杆顶端A下滑0.5m.
直角三角形的性质和判定
7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
8.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于(C)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
9.勾股定理最早出现在《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 m2+1 (结果用含m的式子表示).
10.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形,当a2+b2≠c2,利用代数式a2+b2和c2的关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6,8,9时,△ABC为 三角形;当△ABC三边分别为6,8,11时,△ABC为 三角形.
(2)猜想,当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)若a=3,b=4,当c为何值时,△ABC是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.
【解析】(1)锐角 钝角
(2)> <
(3)c2=a2+b2=32+42=25,c=5,当c=5时,△ABC是直角三角形,当5阶段测评 请做“单元测评挑战卷(一)”
教学总结与教学反思
针对教材任务要求,作为本章节教师,按照如下教学流程进行:
1.欣赏图片引入新课,激发学生学习兴趣.通过欣赏2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案,引出“赵爽弦图”,让学生了解我国古代辉煌的数学成就,引入课题.
接下来,让学生欣赏故事:毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.通过故事使学生明白:科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的;生活中处处有数学,学生们应该学会观察、思考,将学习与生活紧密结合起来.这样,一方面激发学生的求知欲望,另一方面,也对学生进行了学习方法指导和解决问题能力的培养.
2.动手探究,得出猜想.通过对地板图形中的等腰直角三角形三边关系到一般直角三角形中三边关系的探究,让同学们体验由特殊到一般的探究过程,学习这种研究方法.在这一过程中,学生充分利用学具去尝试解决,力求让学生自己探索,先在小组内讨论,然后在全班讨论,尽量学习更多的方法.
3.动手实践,得出定理.先了解赵爽的证明思路,然后让学生利用学具自己动手剪拼,并利用图形进行证明.难度稍大些时,教师组织学生开展小组合作学习,教师巡回辅导,给予学生必要的帮助.
4.巩固练习,拓展延伸.主要练习勾股定理的其他证明方法,学生用不同方法得出结论后,课堂上教师再展示部分习题对学生进行巩固训练,之后补充稍难一些的题目进行拓展(根据学生掌握程度进行难度题目拓展).
5.反思归纳,总结升华.让学生自己回顾总结本节的收获,教师引导学生学习科学家敏锐的观察力和勤于思考的作风,不断提高自己的数学素养,适时对大家进行思想教育.
