勾股定理
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·贵阳期中)下列四组数中,是勾股数的一组是( )
A.3,5,7 B.,, C.5,12,13 D.0.3,0.4,0.5
2.在亡羊补牢的故事中,为了防止羊的再次丢失,牧羊人要在如图所示的高0.6 m、宽0.8 m的长方形栅栏门的对角的顶点钉一根加固木条,则这根木条的长至少为( )
A.0.9 m B.1 m C.1.1 m D.1.4 m
3.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18 cm、高为12 cm的圆柱粮仓模型(如图1).如图2,BC是底面直径,AB是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过A,C两点(接头不计),则装饰带的长度最短为( )
A.20 cm B.25 cm C.30 cm D.35 cm
4.小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上,放学后,他们分别以每分钟80 m和每分钟60 m的速度回家,10分钟后两人相距( )
A.1 000 m B.100 m C.600 m D.800 m
5.如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=3,BO=4,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C.则OC的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分面积是( )
A.3 B.16 C.9 D.2
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24 cm2 B.36 cm2 C.48 cm2 D.60 cm2
8.小明从家走到邮局用了8分钟,然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店(如图所示).已知书店距离邮局660米,那么小明家距离书店( )
A.880米 B.1 100米 C.1 540米 D.1 760米
9.(2024·贵州质检)如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
10.有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2 023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A.2 024 B.2 023 C.22 002 D.22 002-1
11.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
12.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且B'C=3,则AM的长是( )
A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,一根长为18 cm的牙刷置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度是 cm.
14.在Rt△ABC中,已知AC=6,AB=8,则BC边长度的平方为 .
15.已知|x-12|+|z-13|和(y-5)2互为相反数,则以x,y,z为边长的三角形是 三角形.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=9,AB=15,则DE= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,求AC.
18.(10分)(2024·毕节织金县期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别用a,b,c来表示,且a,b,c满足(a-6)2+|b-8|+|c-10|2=0,试判断△ABC的形状.
19.(10分)科技兴则国兴,科技强则国强.为引导学生心怀科技梦想,树立创新意识,某校组织了“航模进校园”活动.小彬计划制作一架飞机模型,如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形.小彬测量发现AB=25 cm,BC=18 cm,AD=7 cm,CD=30 cm.根据设计要求,还需保证AD∥BC.由于工具有限,小彬只能测得BD=24 cm.根据以上数据,请你判断该材料是否符合设计要求,并说明理由.
20. (10分)如图,在△ABC中,CE⊥AB于点E,AC=4,BC=3,BE=.
(1)求AE的长;
(2)求证:△ABC是直角三角形.
21. (10分)如图,A,B是直线l同侧的两点,且点A,B到l的距离分别为4.5,10.5,且垂足C,D间的距离为8,若点P是l上一点,求PA+PB的最小值.
22. (12分)长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余风筝线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米
23.(12分)如图甲是一个直角三角形ABC,它的两条直角边分别是a,b,斜边长为c.如图乙图丙那样分别取四个与Rt△ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.
(1)图乙和图丙中①②③是否都为正方形 为什么
(2)图中①②③的面积分别是多少
(3)图中①②的面积之和是多少
(4)图中①②的面积之和与正方形③的面积有什么关系 为什么
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗
24.(12分)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.
25.(12分)某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B行驶,已知点C为一海港,当AC⊥BC时,A点到B,C两点的距离分别为500 km和300 km,以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.
(1)求BC;
(2)海港C受台风影响吗 为什么
(3)若台风的速度为35 km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长 勾股定理
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·贵阳期中)下列四组数中,是勾股数的一组是(C)
A.3,5,7 B.,, C.5,12,13 D.0.3,0.4,0.5
2.在亡羊补牢的故事中,为了防止羊的再次丢失,牧羊人要在如图所示的高0.6 m、宽0.8 m的长方形栅栏门的对角的顶点钉一根加固木条,则这根木条的长至少为(B)
A.0.9 m B.1 m C.1.1 m D.1.4 m
3.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18 cm、高为12 cm的圆柱粮仓模型(如图1).如图2,BC是底面直径,AB是圆柱的高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过A,C两点(接头不计),则装饰带的长度最短为(C)
A.20 cm B.25 cm C.30 cm D.35 cm
4.小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上,放学后,他们分别以每分钟80 m和每分钟60 m的速度回家,10分钟后两人相距(A)
A.1 000 m B.100 m C.600 m D.800 m
5.如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=3,BO=4,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C.则OC的长为(D)
A.5 B.4 C.3 D.2
6.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分面积是(C)
A.3 B.16 C.9 D.2
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC的面积是(A)
A.24 cm2 B.36 cm2 C.48 cm2 D.60 cm2
8.小明从家走到邮局用了8分钟,然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店(如图所示).已知书店距离邮局660米,那么小明家距离书店(B)
A.880米 B.1 100米 C.1 540米 D.1 760米
9.(2024·贵州质检)如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为(C)
A. B. C. D.
10.有一个边长为1的大正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,形成的图形如图所示.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”了2 023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(A)
A.2 024 B.2 023 C.22 002 D.22 002-1
11.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出(D)
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
12.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且B'C=3,则AM的长是(B)
A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,一根长为18 cm的牙刷置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度是 5 cm.
14.在Rt△ABC中,已知AC=6,AB=8,则BC边长度的平方为 28或100 .
15.已知|x-12|+|z-13|和(y-5)2互为相反数,则以x,y,z为边长的三角形是 直角 三角形.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=9,AB=15,则DE= 4.5 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,求AC.
【解析】因为AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,
所以EC==12,因为DE=7,所以CD=5,
所以AC==12.
18.(10分)(2024·毕节织金县期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别用a,b,c来表示,且a,b,c满足(a-6)2+|b-8|+|c-10|2=0,试判断△ABC的形状.
【解析】因为(a-6)2+|b-8|+|c-10|2=0,
又因为(a-6)2≥0,|b-8|≥0,|c-10|2≥0,
所以a-6=0,b-8=0,c-10=0,所以a=6,b=8,c=10,
因为62+82=102,所以a2+b2=c2,
所以△ABC是直角三角形.
19.(10分)科技兴则国兴,科技强则国强.为引导学生心怀科技梦想,树立创新意识,某校组织了“航模进校园”活动.小彬计划制作一架飞机模型,如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形.小彬测量发现AB=25 cm,BC=18 cm,AD=7 cm,CD=30 cm.根据设计要求,还需保证AD∥BC.由于工具有限,小彬只能测得BD=24 cm.根据以上数据,请你判断该材料是否符合设计要求,并说明理由.
【解析】该材料符合设计要求.
理由如下:在Rt△ABD中,AD2+BD2=72+242=625,AB2=252=625,所以AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90°,
在Rt△BCD中,BC2+BD2=182+242=900,CD2=302=900,
所以BC2+BD2=CD2,所以∠CBD=90°,所以∠ADB=∠CBD,
所以AD∥BC,所以该材料符合设计要求.
20. (10分)如图,在△ABC中,CE⊥AB于点E,AC=4,BC=3,BE=.
(1)求AE的长;
(2)求证:△ABC是直角三角形.
【解析】(1)因为CE⊥AB,所以∠AEC=∠BEC=90°,
在Rt△BEC中,CE2=BC2-BE2=32-()2=,所以CE=,
在Rt△AEC中,AE2=AC2-CE2=42-()2=,所以AE=;
(2)因为BC2=9,AC2=16,(BE+AE)2=25,
所以BC2+AC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.
21. (10分)如图,A,B是直线l同侧的两点,且点A,B到l的距离分别为4.5,10.5,且垂足C,D间的距离为8,若点P是l上一点,求PA+PB的最小值.
【解析】作A关于l的对称点A',则A'C=4.5,连接A'B,交l于点P.此时PA+PB的值最小.过A'作l的平行线,
交BD的延长线于点E.
因为AP=A'P,所以PA+PB=A'P+BP=A'B,A'E=CD=8,DE=CA'=4.5,
BE=BD+DE=10.5+4.5=15,
A'B2=A'E2+BE2=82+152=172,
所以A'B=17.即PA+PB的最小值为17.
22. (12分)长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余风筝线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米
【解析】(1)在Rt△CDB中,由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=252-152=400,所以CD=20(负值舍去),
所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米),
答:风筝的高度CE为21.6米;
(2)由题意得,CM=12米,所以DM=8米,因为BM2=DM2+BD2=82+152=289,所以BM=17米,
所以BC-BM=25-17=8(米),
所以他应该往回收线8米.
23.(12分)如图甲是一个直角三角形ABC,它的两条直角边分别是a,b,斜边长为c.如图乙图丙那样分别取四个与Rt△ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.
(1)图乙和图丙中①②③是否都为正方形 为什么
(2)图中①②③的面积分别是多少
(3)图中①②的面积之和是多少
(4)图中①②的面积之和与正方形③的面积有什么关系 为什么
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗
【解析】(1)图乙和图丙中①②③都是正方形,因为①的边长都为a,四个角都为直角,②的边长都为b,四个角都为直角.③的边长都为c,四个角都为直角.所以①②③都是正方形.
(2)图中①的面积为a2,图中②的面积为b2,图中③的面积为c2.
(3)图中①②的面积之和为a2+b2.
(4)图中①②的面积之和与图中③的面积相等,因为它们都是以边长为a+b的正方形的面积减去4个完全相同的直角三角形面积.直角三角形三边长之间的关系是两直角边的平方和等于斜边的平方.
24.(12分)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.
【解析】(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下:
因为AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25,
所以AM2+NB2=MN2,
所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,
所以点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-x,
①当MN为斜边时,依题意得MN2=AM2+NB2,
即(25-x)2=25+x2,解得x=12;
②当BN为斜边时,依题意得BN2=AM2+MN2.
即x2=25+(25-x)2,解得x=13.
综上所述,BN的长为12或13.
25.(12分)某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B行驶,已知点C为一海港,当AC⊥BC时,A点到B,C两点的距离分别为500 km和300 km,以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.
(1)求BC;
(2)海港C受台风影响吗 为什么
(3)若台风的速度为35 km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长
【解析】(1)因为AC⊥BC,
所以∠ACB=90°,
因为AB=500 km,AC=300 km,
所以BC===400(km);
(2)海港C受台风影响.理由如下:
过点C作CD⊥AB,
因为AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是直角三角形,
所以AC·BC=CD·AB,
所以300×400=500·CD,
所以CD=240 km,
因为以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,
所以海港C受台风影响;
(3)当EC=250 km,FC=250 km时,正好影响C海港,
因为ED2=EC2-CD2=4 900,
所以ED=70 km,
所以EF=140 km,
因为台风的速度为35 km/h,
所以140÷35=4(h),
答:海港C受台风影响的时间会持续4 h.
