江西金太阳联考2023-2024学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江西期末）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·江西期末）若曲线在点处的切线斜率为，则( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·江西期末）在数列中，若，，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·江西期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·江西期末）已知，，，则( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·江西期末）“”是“，有”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二下·江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·江西期末）设数列的前项和为，若，，则( )
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江西期末）已知函数，则( )
A．不可能是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．点是曲线的对称中心
10．（2024高二下·江西期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是( )
A．
B．若，则
C．当时，取得最小值
D．当时，满足的最大整数的值为
11．（2024高二下·江西期末）已知函数则下列结论正确的是( )
A．
B．方程的实根个数为
C．函数有个零点
D．关于的方程的所有根之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江西期末）若，的等差中项为，，的等比中项为，则 ．
13．（2024高二下·江西期末）已知，，，则的最小值为 ．
14．（2024高二下·江西期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，，，且，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江西期末）已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
16．（2024高二下·江西期末）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．（2024高二下·江西期末）已知，，函数在处取得极小值．
（1）求的解析式；
（2）若经过点只能作出的三条切线，求的取值范围．
18．（2024高二下·江西期末）已知数列，满足，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）若对任意正整数，都有，求的取值范围．
19．（2024高二下·江西期末）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制．
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围．
（2）证明：函数在上被控制．
设，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：曲线在点处的切线斜率为，则，
.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据导数的几何意义计算即可.
3．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，，，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，
则数列是以3为周期的周期数列，故.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推式，求得数列的前几项，找规律计算即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为 ，所以需满足，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据抽象函数以及分式、偶次根式有意义列不等式组求解即可.
5．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
又因为，，所以，则.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得，再将同时6次方比较大小即可.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为，成立，所以恒成立，
当时，，
所以“，有”即“”，
当成立，必要性成立；反之不成立.
所以是“，有”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由题意，问题转化为恒成立，求得a的范围，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数在区间上单调递减，所以在恒成立，
即，因为，所以，
所以，即，则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意，可得恒成立，转化为，结合题意求的最小值，即可得的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列满足①，当时，②，
①-②可得，即，即，则，
因为，则，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，即，且当时，，也满足，所以，
则则，综上所述选项B符合要求.
故答案为：B.
【分析】根据数列中与的关系求，结合等比数列的性质以及等比数列的前n项和公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
A、若是曲线的切线，则有解，但在实数范围内无解，故不可能是曲线的切线，故A正确；
B、当时，解得，即函数在上单调递增；当时，
解得，即函数在上单调递减，则函数有两个极值点，故B正确；
C、，当时，，当时，，则函数有一个零点，故C错误；
D、，则点是曲线的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求极值点即可判断B；假设为曲线的切线，则需要满足有解，推出矛盾即可判断A；再根据函数的极值以及，时函数值的取值即可判断C；根据即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：因为，所以，即，所以，故A选项正确；对于B选项：根据等差数列的性质可得：构成新的等差数列，所以，又因为，，所以可解得：，故B选项正确；对于C选项：当时，，取得最小值 ，当时，，取得最大值 ，故B选项错误；对于D选项：因为 当时 ，所以，，则，，则当时，满足的最大整数的值为 ，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，等差数列的求和公式属于基础题型，主要考查考生运用基础知识的能力.对于A选项：对已知等式进行变形可得：，再根据求和公式进行判定即可；对于B选项：根据等差数列的性质构成新的等差数列再结合等比中项的性质进行求解即可；对于CD选项：分两种情况进行讨论求解即可.
11．【答案】B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据已知函数的解析式，可以简单绘制出函数的图像，如下图所示：
对于A选项：根据可得：，故A选项错误；对于B选项：，解得：或，
根据函数的图像可得：有3个根，有5个根，故原方程有9个实数根，故B选项正确；对于C选项：令可得：，所以要求原函数的零点个数，只需要求函数与函数交点的个数，根据时，；当时，，可绘制出函数的大致图像与函数在同一坐标系中情况如下：
根据图像可得函数与函数有6个交点，故C选项错误；对于D选项：根据函数的对称性和规律可得：在时有极大值，方程的所有根之和为：，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查分段函数的图象及性质，函数的零点，数形结合等基础知识，属于较难题型，主要考查考生的逻辑思维能力，动手能力，计算能力，对AB选项根据分段函数的解析式作出函数的图象，根据函数的图象即可判定；对于C选项：根据题意将函数的零点问题转化为求函数与函数交点的个数，作出函数的大致图像与函数在同一坐标系中情况，根据图像求解即可；对于D选项：根据函数的对称性和规律可得：在时有极大值，方程的所有根之和为：，解求解.
12．【答案】
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据等差中项、等比中项得，，再计算即可.
13．【答案】9
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，
所以
，
当且仅当时等号成立，则的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】由题意，利用对数函数运算性质、换底公示以及基本不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以函数关于直线对称，则，
设函数，则，因为，所以，即函数单调递减，
则，不等式，得，即，
即，则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】先由函数为偶函数，得函数关于直线对称，求得，设函数，求导结合题意利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
15．【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，即，
即，解得；
（2）解：，
，则不等式等价于，
令，，即，解得或，
由，可得，即；
由，可得，即，
综上，不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性列式求解即可；
（2）由（1）得，不等式等价于，令，利用对勾函数的性质，结合指数与对数函数的转化求解即可.
16．【答案】（1）解：因为①，
所以当时，②，
①-②，得，
所以，
又当时，符合，
所以的通项公式为；
（2）解：由得，
所以，
则，
两式相减得，
所以
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，可得时，，两式相减，即可求，注意检验即可；
（2）由得，利用错位相减法求和即可.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，，
则，即，解得．
又，所以，经检验，符合题意故的解析式为．
（2）解：设切点为，，
所以曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程，可得，
令，则，易得在，上单调递增，在上单调递减的图象如图所示：
极大值为，极小值为，且当时，．
当时，有三个解，即有三条切线，所以的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，根据题意，可得求解m，注意检验即可；
（2）设切点为，根据导数的几何意义求得切线方程，令，求导，利用导数判断函数的单调性，作出图形，数形结合求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意，①，②，
①+②，得，因为，所以③．
①-②，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即④．
由③④，解得，．
（2）解：由题可知，，
则，可得或；
当为奇数时，，，则或
当为偶数时，，，则或．
综上，的取值范围为
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由递推式，结合等比数列的概念求通项公式即可；
（2）由题可知，，问题转化为或，分n为奇数和偶数求解即可.
19．【答案】（1）解：因为在上单调递增，所以，由，可得，
令，，则，
当时，由，得，所以当时，，函数单调递减，，不符合题意
当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意综上，的取值范围为
（2）证明：由题可知在上恒成立，所以在上单调递增，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，所以，
故在上被控制，
由可知，当时，，当且仅当时等号成立，
则，即，即，则有，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由函数在上单调递增，可得，
令，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值，即可得的取值范围；
（2）由题可知在上恒成立，即函数单调递增，
令求导判断函数的单调性，证明即可；
由知恒成立，即，证明不等式即可.
1 / 1江西金太阳联考2023-2024学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江西期末）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，即集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·江西期末）若曲线在点处的切线斜率为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：曲线在点处的切线斜率为，则，
.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据导数的几何意义计算即可.
3．（2024高二下·江西期末）在数列中，若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，，，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，
则数列是以3为周期的周期数列，故.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推式，求得数列的前几项，找规律计算即可.
4．（2024高二下·江西期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为 ，所以需满足，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据抽象函数以及分式、偶次根式有意义列不等式组求解即可.
5．（2024高二下·江西期末）已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
又因为，，所以，则.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得，再将同时6次方比较大小即可.
6．（2024高二下·江西期末）“”是“，有”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为，成立，所以恒成立，
当时，，
所以“，有”即“”，
当成立，必要性成立；反之不成立.
所以是“，有”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由题意，问题转化为恒成立，求得a的范围，再结合充分、必要条件的定义判断即可.
7．（2024高二下·江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数在区间上单调递减，所以在恒成立，
即，因为，所以，
所以，即，则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意，可得恒成立，转化为，结合题意求的最小值，即可得的取值范围.
8．（2024高二下·江西期末）设数列的前项和为，若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列满足①，当时，②，
①-②可得，即，即，则，
因为，则，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，即，且当时，，也满足，所以，
则则，综上所述选项B符合要求.
故答案为：B.
【分析】根据数列中与的关系求，结合等比数列的性质以及等比数列的前n项和公式求解即可.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江西期末）已知函数，则( )
A．不可能是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．点是曲线的对称中心
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
A、若是曲线的切线，则有解，但在实数范围内无解，故不可能是曲线的切线，故A正确；
B、当时，解得，即函数在上单调递增；当时，
解得，即函数在上单调递减，则函数有两个极值点，故B正确；
C、，当时，，当时，，则函数有一个零点，故C错误；
D、，则点是曲线的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求极值点即可判断B；假设为曲线的切线，则需要满足有解，推出矛盾即可判断A；再根据函数的极值以及，时函数值的取值即可判断C；根据即可判断D.
10．（2024高二下·江西期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是( )
A．
B．若，则
C．当时，取得最小值
D．当时，满足的最大整数的值为
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：因为，所以，即，所以，故A选项正确；对于B选项：根据等差数列的性质可得：构成新的等差数列，所以，又因为，，所以可解得：，故B选项正确；对于C选项：当时，，取得最小值 ，当时，，取得最大值 ，故B选项错误；对于D选项：因为 当时 ，所以，，则，，则当时，满足的最大整数的值为 ，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，等差数列的求和公式属于基础题型，主要考查考生运用基础知识的能力.对于A选项：对已知等式进行变形可得：，再根据求和公式进行判定即可；对于B选项：根据等差数列的性质构成新的等差数列再结合等比中项的性质进行求解即可；对于CD选项：分两种情况进行讨论求解即可.
11．（2024高二下·江西期末）已知函数则下列结论正确的是( )
A．
B．方程的实根个数为
C．函数有个零点
D．关于的方程的所有根之和为
【答案】B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据已知函数的解析式，可以简单绘制出函数的图像，如下图所示：
对于A选项：根据可得：，故A选项错误；对于B选项：，解得：或，
根据函数的图像可得：有3个根，有5个根，故原方程有9个实数根，故B选项正确；对于C选项：令可得：，所以要求原函数的零点个数，只需要求函数与函数交点的个数，根据时，；当时，，可绘制出函数的大致图像与函数在同一坐标系中情况如下：
根据图像可得函数与函数有6个交点，故C选项错误；对于D选项：根据函数的对称性和规律可得：在时有极大值，方程的所有根之和为：，故D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查分段函数的图象及性质，函数的零点，数形结合等基础知识，属于较难题型，主要考查考生的逻辑思维能力，动手能力，计算能力，对AB选项根据分段函数的解析式作出函数的图象，根据函数的图象即可判定；对于C选项：根据题意将函数的零点问题转化为求函数与函数交点的个数，作出函数的大致图像与函数在同一坐标系中情况，根据图像求解即可；对于D选项：根据函数的对称性和规律可得：在时有极大值，方程的所有根之和为：，解求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江西期末）若，的等差中项为，，的等比中项为，则 ．
【答案】
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据等差中项、等比中项得，，再计算即可.
13．（2024高二下·江西期末）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】9
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，
所以
，
当且仅当时等号成立，则的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】由题意，利用对数函数运算性质、换底公示以及基本不等式求解即可.
14．（2024高二下·江西期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以函数关于直线对称，则，
设函数，则，因为，所以，即函数单调递减，
则，不等式，得，即，
即，则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】先由函数为偶函数，得函数关于直线对称，求得，设函数，求导结合题意利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江西期末）已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：因为是偶函数，所以，即，
即，解得；
（2）解：，
，则不等式等价于，
令，，即，解得或，
由，可得，即；
由，可得，即，
综上，不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性列式求解即可；
（2）由（1）得，不等式等价于，令，利用对勾函数的性质，结合指数与对数函数的转化求解即可.
16．（2024高二下·江西期末）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为①，
所以当时，②，
①-②，得，
所以，
又当时，符合，
所以的通项公式为；
（2）解：由得，
所以，
则，
两式相减得，
所以
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，可得时，，两式相减，即可求，注意检验即可；
（2）由得，利用错位相减法求和即可.
17．（2024高二下·江西期末）已知，，函数在处取得极小值．
（1）求的解析式；
（2）若经过点只能作出的三条切线，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
则，即，解得．
又，所以，经检验，符合题意故的解析式为．
（2）解：设切点为，，
所以曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程，可得，
令，则，易得在，上单调递增，在上单调递减的图象如图所示：
极大值为，极小值为，且当时，．
当时，有三个解，即有三条切线，所以的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，根据题意，可得求解m，注意检验即可；
（2）设切点为，根据导数的几何意义求得切线方程，令，求导，利用导数判断函数的单调性，作出图形，数形结合求解即可.
18．（2024高二下·江西期末）已知数列，满足，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）若对任意正整数，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，①，②，
①+②，得，因为，所以③．
①-②，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即④．
由③④，解得，．
（2）解：由题可知，，
则，可得或；
当为奇数时，，，则或
当为偶数时，，，则或．
综上，的取值范围为
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由递推式，结合等比数列的概念求通项公式即可；
（2）由题可知，，问题转化为或，分n为奇数和偶数求解即可.
19．（2024高二下·江西期末）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制．
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围．
（2）证明：函数在上被控制．
设，证明：．
【答案】（1）解：因为在上单调递增，所以，由，可得，
令，，则，
当时，由，得，所以当时，，函数单调递减，，不符合题意
当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意综上，的取值范围为
（2）证明：由题可知在上恒成立，所以在上单调递增，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，所以，
故在上被控制，
由可知，当时，，当且仅当时等号成立，
则，即，即，则有，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由函数在上单调递增，可得，
令，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值，即可得的取值范围；
（2）由题可知在上恒成立，即函数单调递增，
令求导判断函数的单调性，证明即可；
由知恒成立，即，证明不等式即可.
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