广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期5月中旬模拟数学试题
1．（2024高二下·高州月考）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线方程的焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以.
故答案为：D．
【分析】易得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的方程求解即可.
2．（2024高二下·高州月考）若，且，则（ ）
A．42 B．1092 C．1086 D．6
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由，
当时，，令时，，
则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，令结合等比数列求和公式求解即可.
3．（2024高二下·高州月考）已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设 ,则 , ,由已知可知 ,解得 ,故 .
故答案为：D.
【分析】首先设出向量的坐标再由向量的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算公式代入数值计算出结果即可。
4．（2024高二下·高州月考）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36 B．42 C．45 D．54
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：不选0时，偶数为2，4，再和从3个奇数中选一个奇数进行全排列，共种情况；
选0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，再从3个奇数中选一个奇数，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种情况，共种情况，
综上可知，组成没有重复数字的三位数个数为.
故答案为：B.
【分析】分不选0和选0两种情况讨论，结合排列组合求解即可.
5．（2024高二下·高州月考）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．（2024高二下·高州月考）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
即，
当时，，解得，
显然，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.
故答案为：D.
【分析】根据数列的关系，结合条件构造数列，再利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
7．（2024高二下·高州月考）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，切线方程为，
因为切线过原点，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
8．（2024高二下·高州月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，， 是椭圆上一点，△ 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：易知，由椭圆的定义可得：，
设，
在中，由余弦定理可得 ，
因为，所以，所以，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合椭圆定义用表示三角形得三边， 设，在中，利用余弦定理求得，再根据的范围列不等式，结合离心率的定义，解关于离心率的不等式即可得离心率的取值范围.
9．（2024高二下·高州月考）二项式的展开式中的有理项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的的通项为，
当或或时，为有理项，
当时，，故A正确；
当时，，故C正确；
当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先写二项式展开式的通项，当或或时为有理项计算即可.
10．（2024高二下·高州月考）下列不等式中成立的有（ ）
A． B．当时，
C．当且时， D．当时，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、令，，，
当时，显然，则，函数在上单调递增，故，故A错误；
B、令定义域为，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，则，即，
令，其中，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，所以，即，
故当时，，
当且仅当时，两个等号同时成立，故，故B正确；
C、由B选项可知，当时，，，
上述两个不等式当且仅当时，等号成立，
所以，当且时，，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
不等式中等号不能同时成立，
即当且时，，故C正确；
D、令，其中，
则且不恒为零，则函数在上单调递增，
所以，当时，，即，
当时，，即，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可判断A；证明出、，即可判断B；利用B选项中的两个不等式即可判断C；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可判断D.
11．（2024高二下·高州月考）已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ）
A．两组数据的中位数相同 B．两组数据的极差相同
C．两组数据的方差相同 D．两组数据的均值相同
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：复数，则，
则，，
不妨设，则，
A、值的中位数为，值的中位数为，且，故A错误；
B、值的极差为，值的极差为，且，
则两组数据的极差相同，故B正确；
C、记，
，
值的方差为，
值的方差为
，故两组数据的方差相同，故C正确；
D、由C选项可知，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的乘法可得出，设，利用中位数的概念即可判断A；利用极差的定义即可判断B；利用方差公式即可判断C；利用平均数公式即可判断D.
12．（2024高二下·高州月考）1260有 个不同的正因数.（用数字作答）
【答案】36
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：，
第一步，可以取，共3种，
第二步，可以取，共3种，
第三步，可以取，共2种，
第四步，可以取，共2种，
则共有种取法，即1260有36个不同的正因数.
故答案为：36.
【分析】将1260分解，再根据分步乘法计数原理计算即可.
13．（2024高二下·高州月考）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，则数列的公差为，即，
则，可得，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质求解即可.
14．（2024高二下·高州月考）已知 ， 分别为双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，满足 ，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的最大值是 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 于 ，过点 作 于 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，又因为 ，且 ，所以 ，因此 ，所以 ，又因为直线 与圆 有公共点，所以 ，故 ，即 ，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心率 ，所以 ，故离心率的最大值为 ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，由 ，得 ，，利用双曲线的定义可得 ， ，得，又因为直线 与圆 有公共点，得，进而求出双曲线的离心率的最大值。
15．（2024高二下·高州月考）1月11日，国台办举行了2023年首场新闻发布会，在回应两岸媒体关注的近期解放军军机在台海演训活动为何如此频繁时，发言人马晓光表示，凡事有因必有果，人民解放军的演练是对台美勾连挑衅升级，破坏台海和平稳定的严正警告，大陆阻止台美军事勾连挑衅升级，为的是维护两岸同胞的共同利益，维护台海和平稳定，维护台湾同胞和平安宁的生活，在某次台海演习中，解放军派出一架轰-6轰炸机迂回对一目标舰艇进行三次投弹攻击，已知轰炸机每次攻击时击中舰艇的概率都为，各次攻击彼此独立，舰艇被轰炸机击中一次而击沉的概率为，被轰炸机击中两次而击沉的概率为，若三次都击中，舰艇必定被击沉.
（1）求目标舰艇被我军轰炸机击中次数的分布列及期望，方差；
（2）求目标舰艇被击沉的概率；
（3）当目标舰艇被击沉时，求该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率.
【答案】（1）解：由题知，击中次数服从，，
则；；
；，
得分布列如下：
X 0 1 2 3
P
，；
（2）解：记击中i次为事件，
，，，舰艇被击沉为事件B，
则，，，
，
即目标舰艇被击沉的概率为；
（3）解：根据（2）中数据：
，
即当目标舰艇被击沉时，该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率为.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望和方差公式即可；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解即可；
（3）根据（2）中结果，结合条件概率公式即可.
16．（2024高二下·高州月考）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，是的中点，底面是菱形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】解：（1）证明：连接，由题意，可得三角形ABD为等边三角形，
因为侧面为等边三角形，是的中点，所以，
，，由，则，即，
又因为，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
由（1）知，，，则，
即为二面角的平面角，
则，，，
在中，由余弦定理可得，
则二面角的平面角的余弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接，证明，，从而证明平面，即可证明平面平面；
（2）取的中点，连接，，证明，从而说明即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理求解即可
17．（2024高二下·高州月考）已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是等差数列，，如果等差数列的通项满足.令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，解得，或，，
则或；
（2）解：设数列的公差为，因为，所以，
则，即，，，
又因为数列为等差数列，所以，即，
解得，即，，
当时，，
，，即数列是以24为首项，为公比的等比数列，
所以；
当时，，所以，
综上所述，或.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意列等式组解出和，即可得数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，可得，，进而根据等差数列的前三项成等差数列，可得，从而得到，，进而分或两种情况得到，求解即可.
18．（2024高二下·高州月考）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
【答案】（1）证明：因为点在抛物线上，所以，解得，
则抛物线，
设直线，，
联立，消整理可得，
由韦达定理得，又，所以，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，又，
所以为定值；
（2）解：由（1）可知，，，，
因此，整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，先求抛物线方程，再设直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求解.
19．（2024高二下·高州月考）已知函数.
（1）是的导函数，求的最小值；
（2）证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
【答案】（1）解：函数定义域为，，
，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在单调递增，且，则函数的最小值为0；
（2）证明：由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则.
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可；
（2）由（1）可得可知，当且仅当时等号成立，令，则，根据数列的裂项求和的方法和对数的运算性质证明即可.
1 / 1广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期5月中旬模拟数学试题
1．（2024高二下·高州月考）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
2．（2024高二下·高州月考）若，且，则（ ）
A．42 B．1092 C．1086 D．6
3．（2024高二下·高州月考）已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·高州月考）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36 B．42 C．45 D．54
5．（2024高二下·高州月考）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2024高二下·高州月考）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
7．（2024高二下·高州月考）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·高州月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，， 是椭圆上一点，△ 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2024高二下·高州月考）二项式的展开式中的有理项为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·高州月考）下列不等式中成立的有（ ）
A． B．当时，
C．当且时， D．当时，
11．（2024高二下·高州月考）已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ）
A．两组数据的中位数相同 B．两组数据的极差相同
C．两组数据的方差相同 D．两组数据的均值相同
12．（2024高二下·高州月考）1260有 个不同的正因数.（用数字作答）
13．（2024高二下·高州月考）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 .
14．（2024高二下·高州月考）已知 ， 分别为双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，满足 ，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的最大值是 .
15．（2024高二下·高州月考）1月11日，国台办举行了2023年首场新闻发布会，在回应两岸媒体关注的近期解放军军机在台海演训活动为何如此频繁时，发言人马晓光表示，凡事有因必有果，人民解放军的演练是对台美勾连挑衅升级，破坏台海和平稳定的严正警告，大陆阻止台美军事勾连挑衅升级，为的是维护两岸同胞的共同利益，维护台海和平稳定，维护台湾同胞和平安宁的生活，在某次台海演习中，解放军派出一架轰-6轰炸机迂回对一目标舰艇进行三次投弹攻击，已知轰炸机每次攻击时击中舰艇的概率都为，各次攻击彼此独立，舰艇被轰炸机击中一次而击沉的概率为，被轰炸机击中两次而击沉的概率为，若三次都击中，舰艇必定被击沉.
（1）求目标舰艇被我军轰炸机击中次数的分布列及期望，方差；
（2）求目标舰艇被击沉的概率；
（3）当目标舰艇被击沉时，求该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率.
16．（2024高二下·高州月考）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，是的中点，底面是菱形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
17．（2024高二下·高州月考）已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是等差数列，，如果等差数列的通项满足.令，求数列的前n项和.
18．（2024高二下·高州月考）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
19．（2024高二下·高州月考）已知函数.
（1）是的导函数，求的最小值；
（2）证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线方程的焦点坐标为，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以.
故答案为：D．
【分析】易得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的方程求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由，
当时，，令时，，
则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，令结合等比数列求和公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设 ,则 , ,由已知可知 ,解得 ,故 .
故答案为：D.
【分析】首先设出向量的坐标再由向量的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算公式代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：不选0时，偶数为2，4，再和从3个奇数中选一个奇数进行全排列，共种情况；
选0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，再从3个奇数中选一个奇数，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种情况，共种情况，
综上可知，组成没有重复数字的三位数个数为.
故答案为：B.
【分析】分不选0和选0两种情况讨论，结合排列组合求解即可.
5．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
即，
当时，，解得，
显然，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.
故答案为：D.
【分析】根据数列的关系，结合条件构造数列，再利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，切线方程为，
因为切线过原点，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：易知，由椭圆的定义可得：，
设，
在中，由余弦定理可得 ，
因为，所以，所以，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合椭圆定义用表示三角形得三边， 设，在中，利用余弦定理求得，再根据的范围列不等式，结合离心率的定义，解关于离心率的不等式即可得离心率的取值范围.
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的的通项为，
当或或时，为有理项，
当时，，故A正确；
当时，，故C正确；
当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先写二项式展开式的通项，当或或时为有理项计算即可.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、令，，，
当时，显然，则，函数在上单调递增，故，故A错误；
B、令定义域为，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，则，即，
令，其中，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，所以，即，
故当时，，
当且仅当时，两个等号同时成立，故，故B正确；
C、由B选项可知，当时，，，
上述两个不等式当且仅当时，等号成立，
所以，当且时，，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
不等式中等号不能同时成立，
即当且时，，故C正确；
D、令，其中，
则且不恒为零，则函数在上单调递增，
所以，当时，，即，
当时，，即，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可判断A；证明出、，即可判断B；利用B选项中的两个不等式即可判断C；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可判断D.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：复数，则，
则，，
不妨设，则，
A、值的中位数为，值的中位数为，且，故A错误；
B、值的极差为，值的极差为，且，
则两组数据的极差相同，故B正确；
C、记，
，
值的方差为，
值的方差为
，故两组数据的方差相同，故C正确；
D、由C选项可知，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的乘法可得出，设，利用中位数的概念即可判断A；利用极差的定义即可判断B；利用方差公式即可判断C；利用平均数公式即可判断D.
12．【答案】36
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：，
第一步，可以取，共3种，
第二步，可以取，共3种，
第三步，可以取，共2种，
第四步，可以取，共2种，
则共有种取法，即1260有36个不同的正因数.
故答案为：36.
【分析】将1260分解，再根据分步乘法计数原理计算即可.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，则数列的公差为，即，
则，可得，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 于 ，过点 作 于 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，又因为 ，且 ，所以 ，因此 ，所以 ，又因为直线 与圆 有公共点，所以 ，故 ，即 ，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心率 ，所以 ，故离心率的最大值为 ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，由 ，得 ，，利用双曲线的定义可得 ， ，得，又因为直线 与圆 有公共点，得，进而求出双曲线的离心率的最大值。
15．【答案】（1）解：由题知，击中次数服从，，
则；；
；，
得分布列如下：
X 0 1 2 3
P
，；
（2）解：记击中i次为事件，
，，，舰艇被击沉为事件B，
则，，，
，
即目标舰艇被击沉的概率为；
（3）解：根据（2）中数据：
，
即当目标舰艇被击沉时，该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率为.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望和方差公式即可；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解即可；
（3）根据（2）中结果，结合条件概率公式即可.
16．【答案】解：（1）证明：连接，由题意，可得三角形ABD为等边三角形，
因为侧面为等边三角形，是的中点，所以，
，，由，则，即，
又因为，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
由（1）知，，，则，
即为二面角的平面角，
则，，，
在中，由余弦定理可得，
则二面角的平面角的余弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接，证明，，从而证明平面，即可证明平面平面；
（2）取的中点，连接，，证明，从而说明即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理求解即可
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，解得，或，，
则或；
（2）解：设数列的公差为，因为，所以，
则，即，，，
又因为数列为等差数列，所以，即，
解得，即，，
当时，，
，，即数列是以24为首项，为公比的等比数列，
所以；
当时，，所以，
综上所述，或.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由题意列等式组解出和，即可得数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，可得，，进而根据等差数列的前三项成等差数列，可得，从而得到，，进而分或两种情况得到，求解即可.
18．【答案】（1）证明：因为点在抛物线上，所以，解得，
则抛物线，
设直线，，
联立，消整理可得，
由韦达定理得，又，所以，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，又，
所以为定值；
（2）解：由（1）可知，，，，
因此，整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，先求抛物线方程，再设直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求解.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在单调递增，且，则函数的最小值为0；
（2）证明：由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则.
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，可得，求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可；
（2）由（1）可得可知，当且仅当时等号成立，令，则，根据数列的裂项求和的方法和对数的运算性质证明即可.
1 / 1
