广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期5月第一次模拟数学试卷
1．（2024高二下·高州月考）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，，则双曲线的焦距长为：.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线方程，结合双曲线的性质求解即可.
2．（2024高二下·高州月考）已知数列的前几项为：，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、当时，，不满足，故A错误；
B、当时，，不满足，故B错误；
C、 数列的前几项为：…，即，，，，
故数列的一个通项公式可以为，故C正确.
D、当时，，不满足，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意，代值逐项分析判断即可.
3．（2024高二下·高州月考）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
.
故答案为：A.
【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解即可.
4．（2024高二下·高州月考）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件：某地四月份某日舌东风，事件：某地四月份某日下雨，
则在下雨条件下刮东风的概率为=
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
5．（2024高二下·高州月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当时，，与中的相乘得；
当时，，与中的相乘得，
则展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】先写二项式展开式的通项，再采用分类讨论法即可确定的系数即可.
6．（2024高二下·高州月考）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得 在方向上的投影向量为，，
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的计算公式求得，进而求.
7．（2024高二下·高州月考）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，可得，则，
故，
因为，所以，则，则使数列的前n项和的最小正整数n为7.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，则，利用裂项相消法求和即可.
8．（2024高二下·高州月考）设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，
故由可得，所以，整理得得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简不等式，再构造函数并对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出结论。
9．（2024高二下·高州月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由，
A、令，则，故A正确；
B、令，则，
因为，所以，故B正确；
C、由B可知：，故C错误；
D、，
令，则，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用赋值处理问题，令，整理即可判断ABC；利用求导可得，再令，代入计算即可判断D．
10．（2024高二下·高州月考）下列命题中，正确的有（ ）
A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大
B．已知随机变量服从二项分布，若，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．从装有大小 形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变，故A错误；
B、易知，解得，故B正确；
C、由正态分布的性质可得，则，故C正确；
D、由题意可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用方差的性质即可判断A；利用二项分布的期望公式和方差公式即可判断B；利用正态分布的对称性求解即可判断C；直接求解即可判断D.
11．（2024高二下·高州月考）（多选）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A．的最大值为5
B．的内切圆面积最大值为π
C．为定值1
D．若Q为中点，则l的方程为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，，，，，
A、，
当且仅当P，，Q三点共线时等号成立，则的最大值为5，故A正确；
B、设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得：
，∴，当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，则的内切圆面积最大值为，故B错误；
C、根据的内切圆的性质易得：，
则，即，故C正确；
D、若为中点，设，，
则，两式相减可得：，
所以，即，解得，
则l的方程为，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的几何性质，的等面积算法，点差法，分析求解判断即可.
12．（2024高二下·高州月考）已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线，化简为，则直线过定点，
曲线，化简可得，即曲线C：，
同一坐标系中，作出曲线与直线的图象，如图所示：
当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，
即，解得或，
由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：或.
【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合求解即可.
13．（2024高二下·高州月考）为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动，该校高二年级共8个班分别到3个革命老区开展研学游，每个班级只能去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级﹐则不同的安排方法有 种(用数字作答).
【答案】2940
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】把8个班分成2，2，4三个小组，再分配到3个革命老区，有 种方法；
把8个班分成2，3，3三个小组，再分配到3个革命老区，有 种方法；
所以不同的安排方法有
.
故答案为：2940
【分析】两种方法：把8个班分成2，2，4三个小组，再分配到3个革命老区；把8个班分成2，3，3三个小组，再分配到3个革命老区，最后可得答案。
14．（2024高二下·高州月考）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】520
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；数列的求和
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，即，
则，即，故的图象关于点对称，且；
又因为为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
将代入，得，则；
令，由，可得，则；
同理可得，则；
因为，，所以，则；，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故.
故答案为：520.
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式求解即可.
15．（2024高二下·高州月考）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，说明点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：取的中点为，连接，
因为分别为中点，：所以，即四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以面；
（2）解：在棱上存在点，使得二面角的平面角为，且为上靠近的三等分点，证明如下：
取中点为，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，过点作平行线，交于，则为的中点，，
因平面，平面，则，
过作的平行线，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，则，
因，则，故，
则，
设，由题可知，
，
设平面法向量为，则，
令，则，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
因为二面角的平面角为，
所以，
化简得，即，解得，则为上靠近的三等分点.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，可得四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可.
16．（2024高二下·高州月考）已知函数=的图象经过点
（1）若的最小正周期为，求的解析式；
（2）若，是否存在实数，使得在上单调 若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ∵的最小正周期为，
∴，
即，
∵图象经过点，
∴，
即，
∴的解析式 ；
（2）∵
∴是的一条对称轴，
则①，
在上单调，
由②得，
由①得，解得，
当时，在 上单调递增，在 上单调递减，
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)最小正周期为得到，再根据的图像过点，得到，求出.
(2)得到是的一条对称轴，的图像过点得到，联立得到， 在上单调 得到，最后验证单调取值范围.
17．（2024高二下·高州月考）已知点F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程.
【答案】（1）证明：易知抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，点，，
联立，消去整理可得，则
由韦达定理可得，，
因为，所以，
又因为，，，所以，
即，则O，Q，M三点共线；
（2）解：因为，所以，
则，即，
即，
则直线l的方程为.
【知识点】平面向量的坐标运算；三点共线
【解析】【分析】（1）设直线l的方程为，利用已知条件证明即可；
（2）根据向量坐标运算，求出m的值即可得直线的方程.
18．（2024高二下·高州月考）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.
（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：数列的前n项和分别为，满足，
当时，，两式相减得，，
又因为，，所以，解得，则，
则数列为等比数列，；
由，，得，
因此数列是以为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得，，即，
则，
于是，
两式相减得，，
因此，
又，即，
于是，而，当且仅当时等号成立，则，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得.
（2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求的最小值即可.
19．（2024高二下·高州月考）已知函数，．
（1）求的极小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故函数在处取得极小值，极小值为；
（2）解：要使，不等式恒成立，只需满足即可，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上取得唯一极小值，也是最小值，，
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
此时，
所以有，即，无解；
②当时，由可得，.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减.
所以，在取得唯一极大值，也是最大值；
（ⅰ）当时，有，此时在上单调递减，
所以，，
所以有，解得；
（ⅱ）当时，有，此时在上单调递增，
所以，，
所以有，即，无解；
（ⅲ）当时，有，此时在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以有，即，无解.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数的极值；
（2）根据已知可将不等式化为.根据（1）的结论可得出的最小值.求出，先说明时不满足.当时，研究函数的单调性以及极大值.然后根据与区间的3种关系，分别计算得出的最大值，进而得出关于的不等式组，解不等式组即可得出答案.
1 / 1广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期5月第一次模拟数学试卷
1．（2024高二下·高州月考）已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
2．（2024高二下·高州月考）已知数列的前几项为：，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·高州月考）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·高州月考）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·高州月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
6．（2024高二下·高州月考）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·高州月考）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024高二下·高州月考）设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·高州月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·高州月考）下列命题中，正确的有（ ）
A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大
B．已知随机变量服从二项分布，若，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．从装有大小 形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则
11．（2024高二下·高州月考）（多选）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A．的最大值为5
B．的内切圆面积最大值为π
C．为定值1
D．若Q为中点，则l的方程为
12．（2024高二下·高州月考）已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ．
13．（2024高二下·高州月考）为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动，该校高二年级共8个班分别到3个革命老区开展研学游，每个班级只能去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级﹐则不同的安排方法有 种(用数字作答).
14．（2024高二下·高州月考）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
15．（2024高二下·高州月考）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，说明点的位置；若不存在，说明理由．
16．（2024高二下·高州月考）已知函数=的图象经过点
（1）若的最小正周期为，求的解析式；
（2）若，是否存在实数，使得在上单调 若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
17．（2024高二下·高州月考）已知点F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程.
18．（2024高二下·高州月考）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.
（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024高二下·高州月考）已知函数，．
（1）求的极小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，，则双曲线的焦距长为：.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线方程，结合双曲线的性质求解即可.
2．【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、当时，，不满足，故A错误；
B、当时，，不满足，故B错误；
C、 数列的前几项为：…，即，，，，
故数列的一个通项公式可以为，故C正确.
D、当时，，不满足，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据题意，代值逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
.
故答案为：A.
【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件：某地四月份某日舌东风，事件：某地四月份某日下雨，
则在下雨条件下刮东风的概率为=
故答案为：C.
【分析】由题意，利用条件概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当时，，与中的相乘得；
当时，，与中的相乘得，
则展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】先写二项式展开式的通项，再采用分类讨论法即可确定的系数即可.
6．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得 在方向上的投影向量为，，
.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的计算公式求得，进而求.
7．【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，可得，则，
故，
因为，所以，则，则使数列的前n项和的最小正整数n为7.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，则，利用裂项相消法求和即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，
故由可得，所以，整理得得.
故答案为：C.
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简不等式，再构造函数并对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得证出结论。
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由，
A、令，则，故A正确；
B、令，则，
因为，所以，故B正确；
C、由B可知：，故C错误；
D、，
令，则，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】利用赋值处理问题，令，整理即可判断ABC；利用求导可得，再令，代入计算即可判断D．
10．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变，故A错误；
B、易知，解得，故B正确；
C、由正态分布的性质可得，则，故C正确；
D、由题意可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用方差的性质即可判断A；利用二项分布的期望公式和方差公式即可判断B；利用正态分布的对称性求解即可判断C；直接求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，，，，，
A、，
当且仅当P，，Q三点共线时等号成立，则的最大值为5，故A正确；
B、设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得：
，∴，当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，则的内切圆面积最大值为，故B错误；
C、根据的内切圆的性质易得：，
则，即，故C正确；
D、若为中点，设，，
则，两式相减可得：，
所以，即，解得，
则l的方程为，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的几何性质，的等面积算法，点差法，分析求解判断即可.
12．【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线，化简为，则直线过定点，
曲线，化简可得，即曲线C：，
同一坐标系中，作出曲线与直线的图象，如图所示：
当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，
即，解得或，
由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：或.
【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合求解即可.
13．【答案】2940
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】把8个班分成2，2，4三个小组，再分配到3个革命老区，有 种方法；
把8个班分成2，3，3三个小组，再分配到3个革命老区，有 种方法；
所以不同的安排方法有
.
故答案为：2940
【分析】两种方法：把8个班分成2，2，4三个小组，再分配到3个革命老区；把8个班分成2，3，3三个小组，再分配到3个革命老区，最后可得答案。
14．【答案】520
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；数列的求和
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，即，
则，即，故的图象关于点对称，且；
又因为为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
将代入，得，则；
令，由，可得，则；
同理可得，则；
因为，，所以，则；，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故.
故答案为：520.
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式求解即可.
15．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，
因为分别为中点，：所以，即四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以面；
（2）解：在棱上存在点，使得二面角的平面角为，且为上靠近的三等分点，证明如下：
取中点为，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，过点作平行线，交于，则为的中点，，
因平面，平面，则，
过作的平行线，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，则，
因，则，故，
则，
设，由题可知，
，
设平面法向量为，则，
令，则，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
因为二面角的平面角为，
所以，
化简得，即，解得，则为上靠近的三等分点.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，可得四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可.
16．【答案】（1） ∵的最小正周期为，
∴，
即，
∵图象经过点，
∴，
即，
∴的解析式 ；
（2）∵
∴是的一条对称轴，
则①，
在上单调，
由②得，
由①得，解得，
当时，在 上单调递增，在 上单调递减，
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)最小正周期为得到，再根据的图像过点，得到，求出.
(2)得到是的一条对称轴，的图像过点得到，联立得到， 在上单调 得到，最后验证单调取值范围.
17．【答案】（1）证明：易知抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，点，，
联立，消去整理可得，则
由韦达定理可得，，
因为，所以，
又因为，，，所以，
即，则O，Q，M三点共线；
（2）解：因为，所以，
则，即，
即，
则直线l的方程为.
【知识点】平面向量的坐标运算；三点共线
【解析】【分析】（1）设直线l的方程为，利用已知条件证明即可；
（2）根据向量坐标运算，求出m的值即可得直线的方程.
18．【答案】（1）证明：数列的前n项和分别为，满足，
当时，，两式相减得，，
又因为，，所以，解得，则，
则数列为等比数列，；
由，，得，
因此数列是以为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得，，即，
则，
于是，
两式相减得，，
因此，
又，即，
于是，而，当且仅当时等号成立，则，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得.
（2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求的最小值即可.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故函数在处取得极小值，极小值为；
（2）解：要使，不等式恒成立，只需满足即可，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上取得唯一极小值，也是最小值，，
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
此时，
所以有，即，无解；
②当时，由可得，.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减.
所以，在取得唯一极大值，也是最大值；
（ⅰ）当时，有，此时在上单调递减，
所以，，
所以有，解得；
（ⅱ）当时，有，此时在上单调递增，
所以，，
所以有，即，无解；
（ⅲ）当时，有，此时在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以有，即，无解.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数的极值；
（2）根据已知可将不等式化为.根据（1）的结论可得出的最小值.求出，先说明时不满足.当时，研究函数的单调性以及极大值.然后根据与区间的3种关系，分别计算得出的最大值，进而得出关于的不等式组，解不等式组即可得出答案.
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