浙江省衢温5+1联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江期中）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．（2024高二下·浙江期中）已知，则|z|2＝（ ）
A． B．1 C．2 D．5
4．（2024高二下·浙江期中）已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
5．（2024高二下·浙江期中）若α为锐角，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·浙江期中）已知定义在R上的函数满足对任意的，且都成立，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·浙江期中）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径高为．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是，则该雨量器收集的雨水体积（）为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·浙江期中）有一组样本数据的平均数为2024，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差等于的极差
10．（2024高二下·浙江期中）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定，其中小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，则（ ）
A． B．
C．时，小球运动速度最快 D．时，小球向下运动
11．（2024高二下·浙江期中）（多选）已知，的定义域为R，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C． D．关于对称
12．（2024高二下·浙江期中）若二项式的展开式中的系数是160，则实数 ．
13．（2024高二下·浙江期中）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 种．
14．（2024高二下·浙江期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．
15．（2024高二下·浙江期中）已知等差数列中，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前n项和为，求的值．
16．（2024高二下·浙江期中）如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形且，点在底面上的射影为边的中点，点分别为边的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角．
17．（2024高二下·浙江期中）已知．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间．
18．（2024高二下·浙江期中）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间，并求该考生得正分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得4分的概率；
（3）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
19．（2024高二下·浙江期中）已知，且，点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若，求面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】由题意，利用集合的补集、交集定义求解即可．
2．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线，可得，因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点到准线的距离为2.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则，故．
故答案为：B．
【分析】根据复数的模长的性质求解即可．
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则与可能平行、相交或异面，故A错误；
B、若，，则或，故B错误；
C、若，，由线面垂直的定义，必有，故C正确；
D、若，，则与平面可能平行，也可能相交或者在内，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析即可判断A；由直线与平面平行的性质分析即可判断B；由直线与平面垂直的性质分析即可判断C；由平面与平面垂直的性质分析即可判断D．
5．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为α为锐角， 所以，所以，
又因为，所以，所以，
则，
则．
故答案为：A．
【分析】根据α为锐角和的值，得到的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值，然后根据二倍角的正弦公式求出的值，再根据诱导公式及正弦函数为奇函数求解即可．
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为定义在上的函数满足对任意的，，
所以函数在R上单调递减，
又因为，
所以，即．
故答案为：D．
【分析】由函数单调性的定义分析可得函数在R上单调递减，再利用单调性比较大小即可．
7．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：将圆台补成圆锥，如图所示：
易得
设，则根据题意可知，则，解得，
设，则易知，则，解得，
则该雨量器收集的雨水体积为．
故答案为：B．
【分析】作出图形，求出圆台型雨水的上底面圆的半径，再根据圆台的体积公式，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由，得，即，
所以，
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，如图所示：
则MD⊥BC，，可得，，，
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值，
综上所述，当时，有最大值．
故答案为：D．
【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值即可．
9．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为样本数据的平均数为2024，
则，则的平均数为，
所以的平均数等于的平均数，故A正确；
B、例如，
可知的中位数为，
将按升序排列，
可知的中位数为2023，两者不相等，故B错误；
C、设样本数据的标准差为，
则，即，
可得的标准差，
所以的标准差不大于的标准差，故C错误；
D、因为样本数据的平均数为2024，
若，则、的极差均为0；
若不全部相等，不妨设是最小的数据，是最大的数据，
则，可知样本数据的极差为，
又因为数据的最小数据是，最大数据是，
所以数据的极差也是；
综上所述：的极差等于的极差，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据平均数、标准差、极差的定义即可判断ACD；举反例说明即可判断B.
10．【答案】B,C
【知识点】三角函数模型的应用-简谐运动
【解析】【解答】解：A、由小球从最高点出发，则时，，解得，又因为，所以，故A错误；
B、因为周期，所以，故B正确；
C、由，，
，所以时，小球运动速度最快，故C正确；
D、当，所以时，小球向上运动，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】由小球从最高点出发，求出的值即可判断A；通过周期，可求出即可判断B；通过导数，可计算瞬时速度即可判断C；利用周期性即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为，用替换x，得，
又因为，所以，
用x替换，得，所以是R上的偶函数，故A正确；
B、在中，令，则有，
又因为，所以，又因为的定义域为R，
所以不为奇函数，故B错误；
C、由，
可得，即，，
所以，所以函数的周期为8，
在中，令，则有，
又因为，所以，
在中，令，则有，
又因为为偶函数，所以，故C正确；
D、因为为奇函数，所以，
所以函数关于中心对称，且，；
又因为为偶函数，所以，
所以关于对称，且，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由为偶函数，可得，关于对称，及可靠判断D；由，可得，即有，即可判断A；用赋值法即可判断C；用赋值法可求得，又由是定义在R上的奇函数，即可判断B．
12．【答案】2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，则的系数为，解得．
故答案为：2．
【分析】写出二项式展开式的通项，令求解即可．
13．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将4个不同的小球分成3组，有种分组方法，
然后全排列放入3个不同的盒子，则不同的放法共有种．
故答案为：36．
【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理，结合排列组合求解即可．
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形，
设，因为，，则，
且，可得，，
又因为，则，
在中，则，
可得，
即，解得，
则椭圆C的离心率．
故答案为：．
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的定义可得，，再根据，两边平方可求椭圆C的离心率．
15．【答案】（1）解|：设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，即，
又因为，所以，即，，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，
则数列的前n项和，
可得．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和即可．
16．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
，平面，平面，
所以平面，
又因为，所以平面平面，
而平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，因为底面是边长为2的菱形且，所以，
，所以，
所以，
所以，，，
设平面的法向量为＝（x，y，z），
则，即，
令，得到，所以，
所以，，，
所以，
设直线B1C与平面B1BE所成的角为θ，，
所以，得到．
即直线与平面B1BE所成的角为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意可证得四边形为平行四边形，即证得，进而可证得平面，平面，再证平面平面，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间坐标系，利用空间向量法求解即可．
17．【答案】（1）解：当时，定义域为，，
且，，即切点坐标为，切线斜率为，
则的切线方程为，即；
（2）解：由（1）可知：的定义域为，，且
令，解得或或（舍去），
当，即时，则，
可知在内单调递增；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合导数的几何意义求解即可；
（2）根据已知条件，分类讨论根的大小，利用导数研究函数的单调性求解即可.
18．【答案】（1）解：依题意有，设“某题的答案是，该考生得分”，则，
（2）解：设“某题的答案是，该考生得正分”，则，
，
设“某题的答案是，该考生得4分”，则，
，
所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得4分的概率为，
（3）解：设方案一、二、三的得分分别为，，，
方案一：，，
即的分布列为：
2 3
则；
方案二：，，，
即的分布列为：
0 4 6
则；
方案三：，，
即的分布列为：
0 6
则，
，
以得分的数学期望作为判断依据选择方案一更恰当
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率乘法公式
【解析】【分析】本题考查古典概型的计算公式，条件概率的计算公式，离散型随机变量的分布列.
（1）设“某题的答案是，再求出样本空间和的个数，利用古典概型计算公式可求出答案；
（2）设“某题的答案是和设“某题的答案是，利用古典概型计算公式可求出，利用条件概率的计算公式可求出 该考生得4分的概率 ；
（3）设方案一、二、三的得分分别为，，，分别求出三种方案下，，的可能取值，再利用相互独立事件的概率求出对应的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出它们的数学期望，再比较数学期望的大小，可作出判断.
19．【答案】（1）解：根据双曲线的定义可知：C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为，则，可得，
故C的方程为；
（2）解：（ⅰ）由题意知是等边三角形，点T在第一象限，显然，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率分别为，
如下图所示：
则直线MN的方程为，直线OT的方程为，
设，则由，得，
可得，所以，且，
，
同理可得：，且，
若为等边三角形，则，
即，可得；
（ⅱ）若，则，
，
设，，故，
设，则，可得，
易知在上单调递增，上单调递减，
，∴，
即的面积的取值范围为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；
（2）（ⅰ）由直线分别与双曲线联立，得到的横坐标，进而求得，，再根据为等边三角形，得到即可求解；
（ⅱ）根据，再利用换元法求得的取值范围即可．
1 / 1浙江省衢温5+1联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】由题意，利用集合的补集、交集定义求解即可．
2．（2024高二下·浙江期中）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线，可得，因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点到准线的距离为2.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
3．（2024高二下·浙江期中）已知，则|z|2＝（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则，故．
故答案为：B．
【分析】根据复数的模长的性质求解即可．
4．（2024高二下·浙江期中）已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则与可能平行、相交或异面，故A错误；
B、若，，则或，故B错误；
C、若，，由线面垂直的定义，必有，故C正确；
D、若，，则与平面可能平行，也可能相交或者在内，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析即可判断A；由直线与平面平行的性质分析即可判断B；由直线与平面垂直的性质分析即可判断C；由平面与平面垂直的性质分析即可判断D．
5．（2024高二下·浙江期中）若α为锐角，且，则cos2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为α为锐角， 所以，所以，
又因为，所以，所以，
则，
则．
故答案为：A．
【分析】根据α为锐角和的值，得到的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值，然后根据二倍角的正弦公式求出的值，再根据诱导公式及正弦函数为奇函数求解即可．
6．（2024高二下·浙江期中）已知定义在R上的函数满足对任意的，且都成立，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为定义在上的函数满足对任意的，，
所以函数在R上单调递减，
又因为，
所以，即．
故答案为：D．
【分析】由函数单调性的定义分析可得函数在R上单调递减，再利用单调性比较大小即可．
7．（2024高二下·浙江期中）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径高为．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是，则该雨量器收集的雨水体积（）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：将圆台补成圆锥，如图所示：
易得
设，则根据题意可知，则，解得，
设，则易知，则，解得，
则该雨量器收集的雨水体积为．
故答案为：B．
【分析】作出图形，求出圆台型雨水的上底面圆的半径，再根据圆台的体积公式，即可求解．
8．（2024高二下·浙江期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由，得，即，
所以，
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，如图所示：
则MD⊥BC，，可得，，，
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值，
综上所述，当时，有最大值．
故答案为：D．
【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值即可．
9．（2024高二下·浙江期中）有一组样本数据的平均数为2024，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差等于的极差
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为样本数据的平均数为2024，
则，则的平均数为，
所以的平均数等于的平均数，故A正确；
B、例如，
可知的中位数为，
将按升序排列，
可知的中位数为2023，两者不相等，故B错误；
C、设样本数据的标准差为，
则，即，
可得的标准差，
所以的标准差不大于的标准差，故C错误；
D、因为样本数据的平均数为2024，
若，则、的极差均为0；
若不全部相等，不妨设是最小的数据，是最大的数据，
则，可知样本数据的极差为，
又因为数据的最小数据是，最大数据是，
所以数据的极差也是；
综上所述：的极差等于的极差，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据平均数、标准差、极差的定义即可判断ACD；举反例说明即可判断B.
10．（2024高二下·浙江期中）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定，其中小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，则（ ）
A． B．
C．时，小球运动速度最快 D．时，小球向下运动
【答案】B,C
【知识点】三角函数模型的应用-简谐运动
【解析】【解答】解：A、由小球从最高点出发，则时，，解得，又因为，所以，故A错误；
B、因为周期，所以，故B正确；
C、由，，
，所以时，小球运动速度最快，故C正确；
D、当，所以时，小球向上运动，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】由小球从最高点出发，求出的值即可判断A；通过周期，可求出即可判断B；通过导数，可计算瞬时速度即可判断C；利用周期性即可判断D．
11．（2024高二下·浙江期中）（多选）已知，的定义域为R，若，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C． D．关于对称
【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为，用替换x，得，
又因为，所以，
用x替换，得，所以是R上的偶函数，故A正确；
B、在中，令，则有，
又因为，所以，又因为的定义域为R，
所以不为奇函数，故B错误；
C、由，
可得，即，，
所以，所以函数的周期为8，
在中，令，则有，
又因为，所以，
在中，令，则有，
又因为为偶函数，所以，故C正确；
D、因为为奇函数，所以，
所以函数关于中心对称，且，；
又因为为偶函数，所以，
所以关于对称，且，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由为偶函数，可得，关于对称，及可靠判断D；由，可得，即有，即可判断A；用赋值法即可判断C；用赋值法可求得，又由是定义在R上的奇函数，即可判断B．
12．（2024高二下·浙江期中）若二项式的展开式中的系数是160，则实数 ．
【答案】2
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，则的系数为，解得．
故答案为：2．
【分析】写出二项式展开式的通项，令求解即可．
13．（2024高二下·浙江期中）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 种．
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将4个不同的小球分成3组，有种分组方法，
然后全排列放入3个不同的盒子，则不同的放法共有种．
故答案为：36．
【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理，结合排列组合求解即可．
14．（2024高二下·浙江期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形，
设，因为，，则，
且，可得，，
又因为，则，
在中，则，
可得，
即，解得，
则椭圆C的离心率．
故答案为：．
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的定义可得，，再根据，两边平方可求椭圆C的离心率．
15．（2024高二下·浙江期中）已知等差数列中，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前n项和为，求的值．
【答案】（1）解|：设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，即，
又因为，所以，即，，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，
则数列的前n项和，
可得．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和即可．
16．（2024高二下·浙江期中）如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形且，点在底面上的射影为边的中点，点分别为边的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
，平面，平面，
所以平面，
又因为，所以平面平面，
而平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，因为底面是边长为2的菱形且，所以，
，所以，
所以，
所以，，，
设平面的法向量为＝（x，y，z），
则，即，
令，得到，所以，
所以，，，
所以，
设直线B1C与平面B1BE所成的角为θ，，
所以，得到．
即直线与平面B1BE所成的角为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意可证得四边形为平行四边形，即证得，进而可证得平面，平面，再证平面平面，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间坐标系，利用空间向量法求解即可．
17．（2024高二下·浙江期中）已知．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间．
【答案】（1）解：当时，定义域为，，
且，，即切点坐标为，切线斜率为，
则的切线方程为，即；
（2）解：由（1）可知：的定义域为，，且
令，解得或或（舍去），
当，即时，则，
可知在内单调递增；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
当，即时，则有：
若，则；若，则；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合导数的几何意义求解即可；
（2）根据已知条件，分类讨论根的大小，利用导数研究函数的单调性求解即可.
18．（2024高二下·浙江期中）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间，并求该考生得正分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得4分的概率；
（3）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
【答案】（1）解：依题意有，设“某题的答案是，该考生得分”，则，
（2）解：设“某题的答案是，该考生得正分”，则，
，
设“某题的答案是，该考生得4分”，则，
，
所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得4分的概率为，
（3）解：设方案一、二、三的得分分别为，，，
方案一：，，
即的分布列为：
2 3
则；
方案二：，，，
即的分布列为：
0 4 6
则；
方案三：，，
即的分布列为：
0 6
则，
，
以得分的数学期望作为判断依据选择方案一更恰当
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率乘法公式
【解析】【分析】本题考查古典概型的计算公式，条件概率的计算公式，离散型随机变量的分布列.
（1）设“某题的答案是，再求出样本空间和的个数，利用古典概型计算公式可求出答案；
（2）设“某题的答案是和设“某题的答案是，利用古典概型计算公式可求出，利用条件概率的计算公式可求出 该考生得4分的概率 ；
（3）设方案一、二、三的得分分别为，，，分别求出三种方案下，，的可能取值，再利用相互独立事件的概率求出对应的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出它们的数学期望，再比较数学期望的大小，可作出判断.
19．（2024高二下·浙江期中）已知，且，点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）解：根据双曲线的定义可知：C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为，则，可得，
故C的方程为；
（2）解：（ⅰ）由题意知是等边三角形，点T在第一象限，显然，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率分别为，
如下图所示：
则直线MN的方程为，直线OT的方程为，
设，则由，得，
可得，所以，且，
，
同理可得：，且，
若为等边三角形，则，
即，可得；
（ⅱ）若，则，
，
设，，故，
设，则，可得，
易知在上单调递增，上单调递减，
，∴，
即的面积的取值范围为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；
（2）（ⅰ）由直线分别与双曲线联立，得到的横坐标，进而求得，，再根据为等边三角形，得到即可求解；
（ⅱ）根据，再利用换元法求得的取值范围即可．
1 / 1
