江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·南昌期末）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·南昌期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·南昌期末） 已知，：“”，：“”，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·南昌期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
5．（2024高二下·南昌期末）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·南昌期末）设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·南昌期末）已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A．3 B．2 C． D．
8．（2024高二下·南昌期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2024高二下·南昌期末）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②对于定义域上的任意 ，当 时，恒 ，则称函数 为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·南昌期末）已知，，且，则（ ）
A．有最小值5 B．有最小值6
C．ab有最大值 D．ab有最小值
11．（2024高二下·南昌期末）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·南昌期末）的值域为 ．
13．（2024高二下·南昌期末）已知圆，点A是圆C上任一点，抛物线的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则的最小值为
14．（2024高二下·南昌期末）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
15．（2024高二下·南昌期末）已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围.
16．（2024高二下·南昌期末）设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
17．（2024高二下·南昌期末）定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．
（1）求证：在上是单调递增函数
（2）解关于的不等式：
（3）已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·南昌期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19．（2024高二下·南昌期末）已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集 ，集合 ，所以 ，
所以 ；
故答案为：A
【分析】 进行补集和交集的运算即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，则函数的定义域为，
因为，所以，所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数的定义域求法求解函数的定义域，再结合具体函数定义域的求法求解即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，故是的必要但不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
5．【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】的否定为.
故答案为：D.
【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域
【解析】【解答】解：由题意可得，且函数图象，如图所示：
①当时，，函数单调递增， ，满足题意；
②当时， ， ，
，解得或，即；
③当时， ，，，
，解得，即 ；
④当时，，函数单调递减，则，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围为：.
故答案为：C.
【分析】根据的意义可得分段函数解析式，作出函数图象，分、、和四种情况下，结合单调性和函数值的大小关系构造不等式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
根据椭圆及双曲线的定义可得：，，
则，，
在中，由余弦定理得，
化简可得，即，
，当且仅当时等号成立，则，即的最大值为.
故答案为：D．
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，根据椭圆及双曲线的定义求得，，在中，利用余弦定理可得到，再利用基本不等式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：不等式转化为，
设，易知直线恒过定点，
由题意，可得函数的图象在直线的下方，
因为，所以，
设直线与曲线相切于点，则，
消去整理得，解得，
故切线的斜率为，解得，
又因为原不等式无整数解，所以当时，，由解得，
当直线绕着点旋转时可得，
故实数的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】原不等式转化为，设，可得函数的图象在直线的下方， 设直线与曲线相切于点， 利用导数的几何意义求得，再由不等式无整数解，列式求解实数a的范围即可.
9．【答案】A,B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由①知： 为定义域上的奇函数；由②知： 在定义域内单调递减；
对于A， 为 上的奇函数且在 上单调递减，符合“理想函数”定义，A符合题意；
对于B， 为 上的奇函数且在 上单调递减，符合“理想函数”定义，B符合题意；
对于C， 为 上的奇函数且在 上单调递增，不符合“理想函数”定义，C不符合题意；
对于D， 是 上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 由已知新定义知，函数在定义域上为奇函数且单调递减，结合各选项分别检验即可判断.
10．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.由可得，令，，则
，当且仅当时，等号成立，A符合题意，B不符合题意；
由，解得：，故，当且仅当时，等号成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合解均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，所以，
设函数定义域为，易知在上单调递增，
A、因为，函数在上单调递增，
所以，故A正确；
B、因为，且函数在上单调递增，
所以，故B正确；
C、取，满足，但是，故C错误；
D、由，得，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意得在上单调递增，再结合选项逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：设，则，则，
因为，所以，即，
故函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线，
因为抛物线上任意一点Р到直线l的距离为，过点作于点，则，
所以由抛物线的定义可知，
所以
，
当且仅当三点共线时等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
【分析】易知圆心和半径，利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，再利用三点共线求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，令，
因为不等式对任意的恒成立，
即，恒成立，
若，时，必有，不合题意，
则，由，解得，
由题意，可得函数的图象不穿过轴，则有两个正的零点且它们相同，
所以，化简可得，则，所以，
因为，则，
当且仅当，即时取等号，则的最大值为．
故答案为：．
【分析】令，由题意，得到以，其零点，确定，得到，将转化为表示，再利用基本不等式求解最值即可．
15．【答案】（1）解：因为，所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所诉：实数m的取值范围为；
（2）解：若，则当时，，解得；
当时，或，解得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
【知识点】并集及其运算
【解析】【分析】（1）由，可得，再分和讨论，根据列出关于实数的不等式组求解即可；
（2）由题意，分和两种情况讨论，列出关于实数的不等式组求解即可.
（1）由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有，
解得；
综上所诉：实数m的取值范围为.
（2）若，则有
当时，则有，
解得；
当时或
得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
16．【答案】（1）解：不等式，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使对一切实数x恒成立，只需，解得；
综上，实数m的取值范围为；
（2）解：当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，分和讨论，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求解即可；
（2）分、讨论，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
（1）由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
（2）当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
17．【答案】（1）证明：，且，
设，则，
则，即，
函数在上是单调递增函数；
（2）解：由（1）可得，即，解得，
即不等式的解集为；
（3）解：因为，所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，要使不等式恒成立，只需满足，
解得或，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义结合函数的性质证明即可；
（2）由（1）的结论，利用函数的单调性及定义域解不等式求解集即可；
（3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，列不等式组求解即可.
（1）任取，且，
设，则，
则，
即，
所以在上是单调递增函数.
（2）由（1）知，，
解得，
所以不等式的解集为.
（3）因为，
所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，
则不等式恒成立只需满足，
解得或，
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：连接，交于点F，连接，如图所示：
因为，，所以 ，
又因为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：不妨设，则，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设为平面的一个法向量，则，
即可取．
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点F，连接，由， 得，再由，得到，推出，最后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
（1）证明：如图，连接，交于点F，连接．
由，，所以．
又，所以，故．
又平面，平面，所以平面．
（2）不妨设，
则．
以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以．
设为平面的一个法向量，则有
即可取．
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
19．【答案】解：（I）设切点，
函数，求导可得，且，即，
因为点P在切线上，所以，
所以，，因此，
设，，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且的最大值为，
则的最大值为；
（Ⅱ）原方程即为，
设，则上述方程等价于，
设，则函数需有两个不同的零点，
因为在上单调递减，
且在上存在唯一实根，即，即，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
若，则，
，不合题意，舍去，
若，则，当时，则，
取，则；
当时，则，
取，则，
由此，且，，
要使函数有两个不同的零点，
则只需，
所以只需，
因为是关于的增函数，
且，
所以存在使得，所以当时，，
因为是关于的减函数，所以，
又因为，所以的最大整数值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（I）设切点坐标为，求导，由题意可得，因为切点在直线上，得，则，设函数
，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最大值，即可求得ab的最大值；
（Ⅱ）原方程化为，令进行换元，方程等价于，构造函数，原问题等价于函数需有两个不同的零点，对函数进行求导，根据函数的导函数的单调性，可得在上存在唯一实根，这样可以判断出函数的单调性，根据的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a的最大整数值．
1 / 1江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·南昌期末）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集 ，集合 ，所以 ，
所以 ；
故答案为：A
【分析】 进行补集和交集的运算即可.
2．（2024高二下·南昌期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，即，则函数的定义域为，
因为，所以，所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数的定义域求法求解函数的定义域，再结合具体函数定义域的求法求解即可.
3．（2024高二下·南昌期末） 已知，：“”，：“”，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，故是的必要但不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高二下·南昌期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
∴，
当且仅当x=y=3取得等号，则x+2y的最小值为9.
故选：C
【分析】由题得 ，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
5．（2024高二下·南昌期末）已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】的否定为.
故答案为：D.
【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法求解即可.
6．（2024高二下·南昌期末）设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域
【解析】【解答】解：由题意可得，且函数图象，如图所示：
①当时，，函数单调递增， ，满足题意；
②当时， ， ，
，解得或，即；
③当时， ，，，
，解得，即 ；
④当时，，函数单调递减，则，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围为：.
故答案为：C.
【分析】根据的意义可得分段函数解析式，作出函数图象，分、、和四种情况下，结合单调性和函数值的大小关系构造不等式求解即可.
7．（2024高二下·南昌期末）已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
根据椭圆及双曲线的定义可得：，，
则，，
在中，由余弦定理得，
化简可得，即，
，当且仅当时等号成立，则，即的最大值为.
故答案为：D．
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，根据椭圆及双曲线的定义求得，，在中，利用余弦定理可得到，再利用基本不等式求解即可．
8．（2024高二下·南昌期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：不等式转化为，
设，易知直线恒过定点，
由题意，可得函数的图象在直线的下方，
因为，所以，
设直线与曲线相切于点，则，
消去整理得，解得，
故切线的斜率为，解得，
又因为原不等式无整数解，所以当时，，由解得，
当直线绕着点旋转时可得，
故实数的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】原不等式转化为，设，可得函数的图象在直线的下方， 设直线与曲线相切于点， 利用导数的几何意义求得，再由不等式无整数解，列式求解实数a的范围即可.
9．（2024高二下·南昌期末）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②对于定义域上的任意 ，当 时，恒 ，则称函数 为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由①知： 为定义域上的奇函数；由②知： 在定义域内单调递减；
对于A， 为 上的奇函数且在 上单调递减，符合“理想函数”定义，A符合题意；
对于B， 为 上的奇函数且在 上单调递减，符合“理想函数”定义，B符合题意；
对于C， 为 上的奇函数且在 上单调递增，不符合“理想函数”定义，C不符合题意；
对于D， 是 上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 由已知新定义知，函数在定义域上为奇函数且单调递减，结合各选项分别检验即可判断.
10．（2024高二下·南昌期末）已知，，且，则（ ）
A．有最小值5 B．有最小值6
C．ab有最大值 D．ab有最小值
【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.由可得，令，，则
，当且仅当时，等号成立，A符合题意，B不符合题意；
由，解得：，故，当且仅当时，等号成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合解均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
11．（2024高二下·南昌期末）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，所以，
设函数定义域为，易知在上单调递增，
A、因为，函数在上单调递增，
所以，故A正确；
B、因为，且函数在上单调递增，
所以，故B正确；
C、取，满足，但是，故C错误；
D、由，得，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意得在上单调递增，再结合选项逐项判断即可.
12．（2024高二下·南昌期末）的值域为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：设，则，则，
因为，所以，即，
故函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求解即可.
13．（2024高二下·南昌期末）已知圆，点A是圆C上任一点，抛物线的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则的最小值为
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线，
因为抛物线上任意一点Р到直线l的距离为，过点作于点，则，
所以由抛物线的定义可知，
所以
，
当且仅当三点共线时等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
【分析】易知圆心和半径，利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，再利用三点共线求解即可.
14．（2024高二下·南昌期末）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，令，
因为不等式对任意的恒成立，
即，恒成立，
若，时，必有，不合题意，
则，由，解得，
由题意，可得函数的图象不穿过轴，则有两个正的零点且它们相同，
所以，化简可得，则，所以，
因为，则，
当且仅当，即时取等号，则的最大值为．
故答案为：．
【分析】令，由题意，得到以，其零点，确定，得到，将转化为表示，再利用基本不等式求解最值即可．
15．（2024高二下·南昌期末）已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所诉：实数m的取值范围为；
（2）解：若，则当时，，解得；
当时，或，解得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
【知识点】并集及其运算
【解析】【分析】（1）由，可得，再分和讨论，根据列出关于实数的不等式组求解即可；
（2）由题意，分和两种情况讨论，列出关于实数的不等式组求解即可.
（1）由得，
当时，则有，
解得；
当时，则有，
解得；
综上所诉：实数m的取值范围为.
（2）若，则有
当时，则有，
解得；
当时或
得或，
综上所诉：实数m取值范围为.
16．（2024高二下·南昌期末）设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）解：不等式，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使对一切实数x恒成立，只需，解得；
综上，实数m的取值范围为；
（2）解：当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，分和讨论，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求解即可；
（2）分、讨论，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
（1）由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
（2）当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
17．（2024高二下·南昌期末）定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，．
（1）求证：在上是单调递增函数
（2）解关于的不等式：
（3）已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：，且，
设，则，
则，即，
函数在上是单调递增函数；
（2）解：由（1）可得，即，解得，
即不等式的解集为；
（3）解：因为，所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，要使不等式恒成立，只需满足，
解得或，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义结合函数的性质证明即可；
（2）由（1）的结论，利用函数的单调性及定义域解不等式求解集即可；
（3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，列不等式组求解即可.
（1）任取，且，
设，则，
则，
即，
所以在上是单调递增函数.
（2）由（1）知，，
解得，
所以不等式的解集为.
（3）因为，
所以由对所有的成立，
可得对恒成立，即恒成立，
令，
则不等式恒成立只需满足，
解得或，
即实数的取值范围为.
18．（2024高二下·南昌期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点E在上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，交于点F，连接，如图所示：
因为，，所以 ，
又因为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：不妨设，则，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设为平面的一个法向量，则，
即可取．
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点F，连接，由， 得，再由，得到，推出，最后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
（1）证明：如图，连接，交于点F，连接．
由，，所以．
又，所以，故．
又平面，平面，所以平面．
（2）不妨设，
则．
以D为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以．
设为平面的一个法向量，则有
即可取．
设为平面的一个法向量，则有
即可取，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
19．（2024高二下·南昌期末）已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）
【答案】解：（I）设切点，
函数，求导可得，且，即，
因为点P在切线上，所以，
所以，，因此，
设，，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且的最大值为，
则的最大值为；
（Ⅱ）原方程即为，
设，则上述方程等价于，
设，则函数需有两个不同的零点，
因为在上单调递减，
且在上存在唯一实根，即，即，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
若，则，
，不合题意，舍去，
若，则，当时，则，
取，则；
当时，则，
取，则，
由此，且，，
要使函数有两个不同的零点，
则只需，
所以只需，
因为是关于的增函数，
且，
所以存在使得，所以当时，，
因为是关于的减函数，所以，
又因为，所以的最大整数值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（I）设切点坐标为，求导，由题意可得，因为切点在直线上，得，则，设函数
，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最大值，即可求得ab的最大值；
（Ⅱ）原方程化为，令进行换元，方程等价于，构造函数，原问题等价于函数需有两个不同的零点，对函数进行求导，根据函数的导函数的单调性，可得在上存在唯一实根，这样可以判断出函数的单调性，根据的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a的最大整数值．
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