中心对称(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称及其性质
1.(2023·凉山州中考)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(D)
A.(2,3) B.(-2,-3)
C.(-3,2) D.(-2,3)
2.如图所示,已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论错误的是(D)
A.∠ABC=∠A'B'C' B.∠AOC=∠A'OC'
C.AB=A'B' D.OA=OC'
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C',那么对称中心的坐标为(B)
A.(0,0) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(0,-1)
4.中心对称是一种特殊的旋转,其旋转角是 180° .
5.如图,已知AB=3,AC=2,∠D=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 5 .
6.【易错警示题·概念不清】如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,若点A的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为 (4,1) .
7.如图所示,AB∥CD∥x轴,且AB=CD=3,A点坐标为(-1,1),若C(1,-1).
(1)写出B,D坐标;
【解析】(1)∵AB∥CD∥x轴,A点坐标为(-1,1),点C(1,-1),
∴点B,D的纵坐标分别是1,-1,
∵AB=CD=3,∴B(2,1),D(-2,-1).
(2)A,B,C,D坐标之间有何特征
【解析】(2)∵A(-1,1),C(1,-1)横、纵坐标互为相反数,
∴A,C关于原点对称,同理,B,D关于原点对称.
知识点2 中心对称作图
8.如图所示的图形是由三个半圆组成的,点O是大半圆的圆心,且AC=CD=BD,与此图形关于点O成中心对称的图形是(C)
9.画出四边形ABCD关于点O的中心对称图形.
【解析】如图所示:
【B层 能力进阶】
10.下列各图中,四边形ABCD是正方形,其中阴影部分的两个三角形成中心对称的是(A)
11.(2023·泰安泰山区质检)在直角坐标系中,已知点A(2a,a-b+1),B(b,a+1)关于原点对称,则a,b的值是(A)
A.-,1 B.-,-1
C.,-1 D.,1
12.如图,在平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n-1A2nB2n(n是正整数)的顶点A2n的坐标是(A)
A.(4n-1,-)
B.(4n-1,)
C.(4n+1,-)
D.(4n+1,)
13.如图,△ABO与△CDO关于O点成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
【证明】∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称,∴BO=DO,AO=CO,
∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,∴FO=EO,
在△FOD和△EOB中,
∴△FOD≌△EOB,∴FD=BE.
14.(2024·烟台芝罘区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-1,4), B(-4,3),C(-2,1).
(1)平移△ABC,若点A的对应点A1的坐标为(5,4),画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△ABC以点(0,1)为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A2B2C2;
(3)已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,则旋转中心点P的坐标是 .
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)连接A1A2,B1B2,C1C2,交于点P,
∴旋转中心点P的坐标为(3,1).
答案:(3,1)
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知某个图形关于两平行直线依次作出某一图形的轴对称图形,其最后的图形可以由原图形经过一次平移而得到.
假如把这两条平行直线换成相交直线,又能得到什么结论呢 如图,已知△ABC,直线a,b相交于点O,先画出△ABC关于直线a对称的△A'B'C',然后画出△A'B'C'关于直线b对称的△A″B″C″,你能发现△ABC和△A″B″C″有什么关系吗
猜想:在此图中,若再增加什么条件,能使△ABC与△A″B″C″关于点O成中心对称呢
【解析】∵△ABC和△A'B'C'关于直线a对称,
△A'B'C'和△A″B″C″关于直线b对称,∴OA=OA'=OA″,∴△ABC绕两直线的交点旋转得到△A″B″C″.
猜想:添加条件a⊥b.
理由如下:∵△ABC与△A″B″C″关于点O成中心对称,
∴AA″经过点O,∵△ABC和△A'B'C'关于直线a对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线b对称,∴OA=OA'=OA″,
∴△AA'A″是直角三角形,∴AA'⊥A'A″,
由轴对称的性质,AA'⊥a,A'A″⊥b,∴a⊥b. 中心对称(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称及其性质
1.(2023·凉山州中考)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,-3)
C.(-3,2) D.(-2,3)
2.如图所示,已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论错误的是( )
A.∠ABC=∠A'B'C' B.∠AOC=∠A'OC'
C.AB=A'B' D.OA=OC'
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C',那么对称中心的坐标为( )
A.(0,0) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(0,-1)
4.中心对称是一种特殊的旋转,其旋转角是 .
5.如图,已知AB=3,AC=2,∠D=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是 .
6.【易错警示题·概念不清】如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,若点A的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为 .
7.如图所示,AB∥CD∥x轴,且AB=CD=3,A点坐标为(-1,1),若C(1,-1).
(1)写出B,D坐标;
(2)A,B,C,D坐标之间有何特征
知识点2 中心对称作图
8.如图所示的图形是由三个半圆组成的,点O是大半圆的圆心,且AC=CD=BD,与此图形关于点O成中心对称的图形是( )
9.画出四边形ABCD关于点O的中心对称图形.
【B层 能力进阶】
10.下列各图中,四边形ABCD是正方形,其中阴影部分的两个三角形成中心对称的是( )
11.(2023·泰安泰山区质检)在直角坐标系中,已知点A(2a,a-b+1),B(b,a+1)关于原点对称,则a,b的值是( )
A.-,1 B.-,-1
C.,-1 D.,1
12.如图,在平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2n-1A2nB2n(n是正整数)的顶点A2n的坐标是( )
A.(4n-1,-)
B.(4n-1,)
C.(4n+1,-)
D.(4n+1,)
13.如图,△ABO与△CDO关于O点成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.
14.(2024·烟台芝罘区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-1,4), B(-4,3),C(-2,1).
(1)平移△ABC,若点A的对应点A1的坐标为(5,4),画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△ABC以点(0,1)为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A2B2C2;
(3)已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,则旋转中心点P的坐标是 .
【C层 创新挑战(选做)】
15.已知某个图形关于两平行直线依次作出某一图形的轴对称图形,其最后的图形可以由原图形经过一次平移而得到.
假如把这两条平行直线换成相交直线,又能得到什么结论呢 如图,已知△ABC,直线a,b相交于点O,先画出△ABC关于直线a对称的△A'B'C',然后画出△A'B'C'关于直线b对称的△A″B″C″,你能发现△ABC和△A″B″C″有什么关系吗
猜想:在此图中,若再增加什么条件,能使△ABC与△A″B″C″关于点O成中心对称呢
