平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对边相等
1.如图, ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是(C)
A.(-4,1) B.(4,-2) C.(4,1) D.(2,1)
2.如图, ABCD的周长为30,AD∶AB=3∶2,那么BC的长度是(A)
A.9 B.12 C.15 D.18
3.(2023·济南市中区开学)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,连接DE,BF,使得∠ADE=∠CBF.求证:AE=CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,
在△ADE与△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF.
4.在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A等于(B)
A.50° B.130° C.100° D.65°
知识点2 平行四边形的对角相等
5.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3,则其中较小的内角是(B)
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于点E,则∠BCE的度数为 22° .
7.如图,在 ABCD中,点M,N分别是对角线BD上的两点,且BM=DN,连接AN,CM.求证:∠ANM=∠CMN.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM,
∵BM=DN,
∴BN=DM,
在△ABN与△CDM中,
,
∴△ABN≌△CDM(SAS),
∴∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN.
【B层 能力进阶】
8.在 ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
9.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE=3,AF=4,若 ABCD的周长为56,则BC的长为(B)
A.14 B.16 C.28 D.32
10.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是(B)
A.1 B.2 C.2.5 D.3
11.在平面直角坐标系中,已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(a,b),B(-3,7),C(-a,-b),则点D的坐标是 (3,-7) .
12. (2023·菏泽质检)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,且AC+BD=36,AB=10,则线段AC的长为 .
13. (2024·日照东港区期末)如图,在 ABCD中,E,F两点在对角线BD上,连接AE,CF,若AE∥CF,求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CB∥AD,CB=AD,∴∠CBF=∠ADE,
∵AE∥CF,∴∠BFC=∠DEA,
在△BCF和△DAE中,
∴△BCF≌△DAE(AAS),∴BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,∴BE=DF.
14.如图,在 ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC延长线于点F.
(1)求证:CF=AB;
【证明】(1)在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠CFE=∠EAB,
∵点E是BC的中点,∴CE=BE.
在△CEF和△BEA中,
∴△CEF≌△BEA(AAS),∴CF=AB.
(2)连接BD,BF,当∠BCD=90°时,求证:BD=BF.
【证明】(2)由(1)可得:CF=AB,
在 ABCD中,AB=CD,∴CF=CD,
∵∠BCD=90°,即BC⊥DF,
∴BC垂直平分DF,∴BD=BF.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力)在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积;
【解析】(1)作BO⊥AD于点O,如图1所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠D=30°,
∴∠AEB=∠CBE,∠BAO=∠D=30°,
∴BO=AB=,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=,
∴S△ABE=AE·BO=××=;
(2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.
【解析】(2)作AQ⊥BE交DF的延长线于点P,垂足为Q,连接PB,PE,如图2所示:
∵AB∥CD,AF⊥CD,
∴AF⊥AB,∴∠BAF=90°,
∵AQ⊥BE,∴∠ABG=∠FAP,
在△ABG和△FAP中,
∴△ABG≌△FAP(ASA),∴AG=FP,
∵AB=AE,AQ⊥BE,∴∠ABE=∠AEB,BQ=EQ,
∴PB=PE,∴∠PBE=∠PEB,
∴∠ABP=∠AEP,∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ABP+∠BPC=180°,∠BCP=∠D,
∵∠AEP+∠PED=180°,∴∠BPC=∠PED,
在△BPC和△PED中,
∴△BPC≌△PED(AAS),∴PC=ED,
∴ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC.平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对边相等
1.如图, ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是( )
A.(-4,1) B.(4,-2) C.(4,1) D.(2,1)
2.如图, ABCD的周长为30,AD∶AB=3∶2,那么BC的长度是( )
A.9 B.12 C.15 D.18
3.(2023·济南市中区开学)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,连接DE,BF,使得∠ADE=∠CBF.求证:AE=CF.
4.在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A等于( )
A.50° B.130° C.100° D.65°
知识点2 平行四边形的对角相等
5.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3,则其中较小的内角是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于点E,则∠BCE的度数为 .
7.如图,在 ABCD中,点M,N分别是对角线BD上的两点,且BM=DN,连接AN,CM.求证:∠ANM=∠CMN.
【B层 能力进阶】
8.在 ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
9.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE=3,AF=4,若 ABCD的周长为56,则BC的长为( )
A.14 B.16 C.28 D.32
10.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
11.在平面直角坐标系中,已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(a,b),B(-3,7),C(-a,-b),则点D的坐标是 .
12. (2023·菏泽质检)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,且AC+BD=36,AB=10,则线段AC的长为 .
13. (2024·日照东港区期末)如图,在 ABCD中,E,F两点在对角线BD上,连接AE,CF,若AE∥CF,求证:BE=DF.
14.如图,在 ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC延长线于点F.
(1)求证:CF=AB;
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力)在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积;
(2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.
