平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=4,BD=6,则AB的长可能是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图, ABCD中,两条对角线相交于点O,AB⊥AC,AD=5 cm,OC=2 cm,则对角线BD的长为( )
A. cm B.8 cm C.3 cm D.2 cm
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=14,AB=4.则△OCD的周长为 .
4.如图, ABCD中,AC与BD相交于点O,AE⊥BD于E,BD=20,BE=7,AE=4,则AC的长等于 .
5.如图, ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC,OA以及 ABCD的面积.
知识点2 综合应用平行四边形的性质
6.下列说法正确的是( )
A.平行四边形是轴对称图形
B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
7.如图,点O是 ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是( )
A.OE=OF B.AE=BF
C.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF
8.如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥AC交边BC于点E,连接AE,若∠ABC=60°,∠BAE=∠DAC,则∠BAE= °.
【B层 能力进阶】
9.如图,已知 ABCD,点E是边BC上的动点,以AE为边构造 AEFG,使点D在边FG上,当点E由B往C运动的过程中, AEFG面积的变化情况是( )
A.一直增大 B.保持不变
C.先增大后减小 D.先减小后增大
10.(2024·济南莱芜区质检) OABC在平面直角坐标系中的位置如图,∠AOC=45°,OA=1,OC=2,把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转,使点A落在y轴正半轴上,则旋转后点B的对应点B'的坐标为( )
A.(,) B.(+1,)
C.(2,3) D.(,+1)
11.在平面直角坐标系中, ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将 ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是 .
12.如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上两个点,且BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AD=AE,∠DFC=140°,求∠DAE的度数.
13.如图,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,点E,F分别在射线OA与射线OC上.
(1)当AE=AO,CF=CO时,求证:BE=DF;
(2)当AE=AO,CF=CO时,BE与DF还相等吗 (不写理由)
(3)当AE=3AO,CF=3CO时,BE与DF还相等吗 (不写理由)
(4)你能得出一个一般性的结论吗
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识)探究:如图①, ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)直线EF是否将 ABCD的面积二等分 若是,请说明理由;
(3)应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,即两块地的分割线经过点P,请你作图帮助张大爷把地分开. 平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=4,BD=6,则AB的长可能是(D)
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图, ABCD中,两条对角线相交于点O,AB⊥AC,AD=5 cm,OC=2 cm,则对角线BD的长为(D)
A. cm B.8 cm C.3 cm D.2 cm
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=14,AB=4.则△OCD的周长为 11 .
4.如图, ABCD中,AC与BD相交于点O,AE⊥BD于E,BD=20,BE=7,AE=4,则AC的长等于 10 .
5.如图, ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC,OA以及 ABCD的面积.
【解析】∵ ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC,
∴BC=8,则AC==6,
∴AO=CO=3,
∴S ABCD=AC×BC=6×8=48.
知识点2 综合应用平行四边形的性质
6.下列说法正确的是(D)
A.平行四边形是轴对称图形
B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
7.如图,点O是 ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是(A)
A.OE=OF B.AE=BF
C.∠DOC=∠OCD D.∠CFE=∠DEF
8.如图, ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥AC交边BC于点E,连接AE,若∠ABC=60°,∠BAE=∠DAC,则∠BAE= 40 °.
【B层 能力进阶】
9.如图,已知 ABCD,点E是边BC上的动点,以AE为边构造 AEFG,使点D在边FG上,当点E由B往C运动的过程中, AEFG面积的变化情况是(B)
A.一直增大 B.保持不变
C.先增大后减小 D.先减小后增大
10.(2024·济南莱芜区质检) OABC在平面直角坐标系中的位置如图,∠AOC=45°,OA=1,OC=2,把平行四边形OABC绕点O逆时针旋转,使点A落在y轴正半轴上,则旋转后点B的对应点B'的坐标为(D)
A.(,) B.(+1,)
C.(2,3) D.(,+1)
11.在平面直角坐标系中, ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将 ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是 (4,-1) .
12.如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上两个点,且BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠ABE=∠CDF,
又∵BE=DF,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF;
(2)若AD=AE,∠DFC=140°,求∠DAE的度数.
【解析】(2)由(1)知,△ABE≌△CDF,则∠AEB=∠DFC=140°.∴∠DEA=40°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠DEA=40°.
∴∠DAE=180°-2∠ADE=100°.
13.如图,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,点E,F分别在射线OA与射线OC上.
(1)当AE=AO,CF=CO时,求证:BE=DF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,∴∠BAE=∠DCF,
∵AE=OA,CF=OC,∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE和△CDF(SAS),∴BE=DF;
(2)当AE=AO,CF=CO时,BE与DF还相等吗 (不写理由)
【解析】(2)当AE=AO,CF=CO时,同理可证△ABE和△CDF(SAS),得到BE=DF;
(3)当AE=3AO,CF=3CO时,BE与DF还相等吗 (不写理由)
【解析】(3)当AE=3AO,CF=3CO时,同理可证△ABE和△CDF(SAS),得到BE=DF;
(4)你能得出一个一般性的结论吗
【解析】(4)当AE和CF分别是OA和OC的相同倍数时,BE=DF.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、应用意识)探究:如图①, ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:OE=OF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,∵
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)直线EF是否将 ABCD的面积二等分 若是,请说明理由;
【解析】(2)直线EF将 ABCD的面积二等分,理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,∴△AOB≌△COD,
由(1)可知,△AOE≌△COF,
同理得△DOE≌△BOF,
∴S△AOB=S△COD,S△AOE=S△COF,S△DOE=S△BOF,
∴S四边形AEFB=S△AOB+S△AOE+S△BOF=S△COD+S△COF+S△DOE=S四边形DEFC,
因此,直线EF将 ABCD的面积二等分.
(3)应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,即两块地的分割线经过点P,请你作图帮助张大爷把地分开.
【解析】(3)如图所示,连接AC,BD交于点O,作直线OP,则直线OP两侧的四边形面积相等.
