平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AB∥CD,要判定四边形ABCD为平行四边形,可添加条件( )
A.AD=BC B.∠CDB=∠ABD
C.AC平分∠DAB D.AD∥BC
2.(教材溯源·P132T2)(2023·淄博中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边BC和AD上的点,连接AE,CF,且AE∥CF.
求证:(1)∠1=∠2;
(2)△ABE≌△CDF.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图,∠MON=∠PMO,OP=x-3,OM=4,ON=3,MN=5,MP=11-x.
求证:四边形OPMN是平行四边形.
知识点3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4. (教材再开发·P132T4改编)如图所示,木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘,从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度,然后将曲尺移动到另一处(紧靠木板边缘),如果两次读数相同,说明木板两个边缘平行,其中道理是 .
5.请你从下列条件:①AB=CD,②AD=BC,③AB∥CD,④AD∥BC中任选两个,使它们能判定四边形ABCD是平行四边形.共有 种情况符合要求.
6.(2024·菏泽定陶区期末)已知如图,AD,BF相交于点O,点E,C在BF上,BE=FC,AC=DE,AB=DF,
(1)求证:△ABC≌△DFE;
(2)连接BD,FA,求证:四边形ABDF是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是( )
A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形
C.两个锐角三角形 D.两个全等三角形
8.如图,在3×3的正方形网格中,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以画( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=3时,线段BC的长为 .
10.如图, ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以4 cm/s的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有 次.
11. (2023·济宁任城区质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线AC上的两点,∠1=∠2.
(1)求证:AE=CF;
(2)求证:四边形EBFD是平行四边形.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,且AO=OC,过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)连接BE,若∠BAD=100°,∠DBF=2∠ABE,求∠ABE的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
13. (模型观念、推理能力)如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2. 平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AB∥CD,要判定四边形ABCD为平行四边形,可添加条件(D)
A.AD=BC B.∠CDB=∠ABD
C.AC平分∠DAB D.AD∥BC
2.(教材溯源·P132T2)(2023·淄博中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边BC和AD上的点,连接AE,CF,且AE∥CF.
求证:(1)∠1=∠2;
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥EC,
又∵AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形.
∴∠1=∠2.
(2)△ABE≌△CDF.
【证明】(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴AE=FC,AF=CE,
∴BE=FD,
在△ABE和△CDF中,
∵
∴△ABE ≌△CDF(SSS).
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图,∠MON=∠PMO,OP=x-3,OM=4,ON=3,MN=5,MP=11-x.
求证:四边形OPMN是平行四边形.
【证明】在△MON中,OM=4,ON=3,MN=5,
因此,OM2+ON2=42+32=25,MN2=52=25,
∴OM2+ON2=MN2,
∴△MON是直角三角形.
∴∠MON=∠PMO=90°,
因此,在Rt△POM中,OP=x-3,OM=4,MP=11-x,
由勾股定理可得,OM2+MP2=OP2,即:42+(11-x)2=(x-3)2,解得:x=8.
∴OP=x-3=8-3=5,MP=11-x=11-8=3,
∴OP=MN,MP=ON,
∴四边形OPMN是平行四边形.
知识点3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4. (教材再开发·P132T4改编)如图所示,木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘,从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度,然后将曲尺移动到另一处(紧靠木板边缘),如果两次读数相同,说明木板两个边缘平行,其中道理是 平行四边形的对边平行 .
5.请你从下列条件:①AB=CD,②AD=BC,③AB∥CD,④AD∥BC中任选两个,使它们能判定四边形ABCD是平行四边形.共有 4 种情况符合要求.
6.(2024·菏泽定陶区期末)已知如图,AD,BF相交于点O,点E,C在BF上,BE=FC,AC=DE,AB=DF,
(1)求证:△ABC≌△DFE;
【证明】(1)∵BE=FC,
∴BE+CE=FC+CE,即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)连接BD,FA,求证:四边形ABDF是平行四边形.
【证明】(2)由(1)可知,△ABC≌△DFE,∴∠ABC=∠DFE,∴AB∥DF,
又∵AB=DF,∴四边形ABDF是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是(D)
A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形
C.两个锐角三角形 D.两个全等三角形
8.如图,在3×3的正方形网格中,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以画(D)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=3时,线段BC的长为 3 .
10.如图, ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以4 cm/s的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有 3 次.
11. (2023·济宁任城区质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线AC上的两点,∠1=∠2.
(1)求证:AE=CF;
【证明】(1)如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠3=∠4,
∵∠1=∠3+∠5,∠2=∠4+∠6,∠1=∠2,
∴∠5=∠6,
∵在△ADE与△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF;
(2)求证:四边形EBFD是平行四边形.
【证明】(2)∵∠1=∠2,∴DE∥BF.
又∵由(1)知△ADE≌△CBF,∴DE=BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,且AO=OC,过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
【解析】(1)∵AD∥BC,∴∠OAD=∠OCB,
在△AOD和△COB中,,
∴△AOD≌△COB(ASA),∴AD=CB,
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形;
(2)连接BE,若∠BAD=100°,∠DBF=2∠ABE,求∠ABE的度数.
【解析】(2)设∠ABE=x,则∠DBF=2x,由(1)得:
四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD,
∵EF⊥BD,∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB,
∵AD∥BC,∴∠EDB=∠DBF,∴∠EBD=∠EDB=∠DBF=2x,∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB=180°,∴100°+x+2x+2x=180°,解得x=16°,即∠ABE=16°.
【C层 创新挑战(选做)】
13. (模型观念、推理能力)如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
【证明】(1)∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E,
∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA,∴∠DAD'=∠DED',
∴四边形DAD'E是平行四边形,∴DE=AD',
∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABDC,
∴CED'B,∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
【证明】(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA,
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2.
